অনুশীলনী-৫.৪
সমাধান করঃ
১. (2x+3)(y-1)=14, (x-3)(y-2)=1
সমাধানঃ
(2x+3)(y-1)=14……(i)
(x-3)(y-2)=1……(ii)
(i) নং হতে,
(2x+3)(y-1)=14
14
14
14+2x+3
2x+17
2x+17
2x+17-4x-6
11-2x
y-2 এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
11-2x
বা, (x-3)(11-2x)=-2x-3
বা, 11x-33-2x2+6x=-2x-3
বা, 11x-33-2x2+6x+2x+3=0
বা, -2x2+19x-30=0
বা, 2x2-19x+30=0
বা, 2x2-15x-4x+30=0
বা, x(2x-15)-2(2x-15)=0
বা, (x-2)(2x-15)=0
বা, 2x-15=0 অথবা, x-2=0
বা, 2x=15 বা, x=2
বা, x=15/2
এখন, x=15/2 (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
2(15/2)+17
15+17
32
16
x=2 (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
2.2+17
4+17
21
=3
∴ (x,y)=(15/2,16/9), (2,3)
২. (x-2)(y-1)=3, (x+2)(2y-5)=15
সমাধানঃ
(x-2)(y-1)=3……(i)
(x+2)(2y-5)=15…..(ii)
(i) হতে,
(x-2)(y-1)=3
3
3
3
3
3+4y-4
4y-1
এখন, x+2 এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
(x+2)(2y-5)=15
4y-1
বা, (4y-1)(2y-5)=15(y-1)
বা, 8y2-2y-20y+5=15y-15
বা, 8y2-2y-20y+5-15y+15=0
বা, 8y2-37y+20=0
বা, 8y2-5y-32y+20=0
বা, y(8y-5)-4(8y-5)=0
বা, (y-4)(8y-5)=0
বা, (8y-5)=0 অথবা, y-4=0
বা, 8y=5 বা, y=4
বা, y=5/8
y=5/8 সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,
3
3
3
3✕8
=-8+2
=-6
y=4 সমীকরণ (iii) এ বসিয়ে পাই,
3
3
=1+2
=3
∴ (x,y)=(3,4), (-6,5/8)
৩. x2=7x+6y, y2=7y+6x
সমাধানঃ
x2=7x+6y……(i)
y2=7y+6x…..(ii)
এখন, (i) থেকে (ii) নং বিয়োগ করে পাই,
x2-y2=7(x-y)-6(x-y)
বা, x2-y2=x-y
বা, (x-y)(x+y)-(x-y)=0
বা, (x-y)(x+y-1)=0
বা, x+y-1=0 অথবা, x-y=0
বা, x=1-y..(iii) বা, x=y…..(iv)
এখন,
x=1-y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
(1-y)2=7(1-y)+6y
বা, 12+y2-2.1.y=7-7y+6y
বা, 1+y2-2y=7-y
বা, 1+y2-2y-7+y=0
বা, y2-y-6=0
বা, y2-3y+2y-6=0
বা, y(y-3)+2(y-3)=0
বা, (y-3)(y+2)=0
বা, y-3=0 অথবা, y+2=0
বা, y=3 বা, y=-2
(iii) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
y=3 এর জন্য x=1-3=-2
y=-2 এর জন্য x=1-(-2)=1+2=3
আবার, x=y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
y2=7y+6y
বা, y2=13y
বা, y2-13y=0
বা, y(y-13)=0
বা, y-13=0 অথবা, y=0
বা, y=13
(iv) নং এ y এর মান বসিয়ে পাই,
y=13 এর জন্য x=13
y=0 এর জন্য x=0
∴ (x,y)=(0,0), (13,13), (3,-2), (-2,3)
৪. x2=3x+2y, y2=3y+2x
সমাধানঃ
x2=3x+2y…….(i)
y2=3y+2x…….(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
x2-y2=x-y
বা, (x-y)(x+y)=x-y
বা, (x-y)(x+y)-(x-y)=0
বা, (x-y)(x+y-1)=0
বা, x+y-1=0 অথবা, x-y=0
বা, x=1-y বা, x=y
এখন, x=1-y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
(1-y)2=3(1-y)+2y
বা, 1+y2-2y=3-3y+2y
বা, 1+y2-2y=3-y
বা, 1+y2-2y-3+y=0
বা, y2-y-2=0
বা, y2-2y+y-2=0
বা, y(y-2)+1(y-2)=0
বা, (y+1)(y-2)=0
বা, y+1=0 অথবা, y-2=0
বা, y=-1 বা, y=2
এখন, x=1-y বলে
y=-1 এর জন্য x=1-(-1)=1+1=2
y=2 এর জন্য x=1-2=-1
আবার, x=y সমীকরণ (i) এ বসিয়ে পাই,
y2=3y+2y
বা, y2=5y
বা, y2-5y=0
বা, y(y-5)=0
বা, y-5=0 অথবা, y=0
বা, y=5
এখন, x=y বলে
y=5 এর জন্য x=5
y=0 এর জন্য x=0
∴ (x,y)=(0,0), (5,5), (2,-1), (-1,2)
৫. x+(4/y)=1, y+(4/x)=25
সমাধানঃ
x+4/y=1…….(i)
y+4/x=25…….(ii)
(i) হতে পাই,
xy+4=y…..(iii) [y দ্বারা গুণ করে]
(ii) হতে পাই,
xy+4=25x…..(iv) [x দ্বারা গুণ করে]
(iii)-(iv) করে পাই,
0=y-25x
বা, y=25x
y এর মান (ii). নং এ বসিয়ে পাই,
25x+4/x=25
বা, 25x2+4=25x [x দ্বারা গুণ করে]
বা, 25x2-25x+4=0
বা, 25x2-20x-5x+4=0
বা, 5x(5x-4)-1(5x-4)=0
বা, (5x-1)(5x-4)=0
বা, 5x-1=0 অথবা, 5x-4=0
বা, 5x=1 বা, 5x=4
বা, x=1/5 বা, x=4/5
এখন, y=25x বলে,
x=1/5 এর জন্য y=25✕1/5=5
x=4/5 এর জন্য y=25✕4/5 =20
∴ (x,y)=(1/5,5), (4/5, 20)
৬. y+3=4/x, x-4=5/3y
সমাধানঃ
y+3=4/x……(i)
x-4=5/3y……(ii)
(i) নং হতে,
y=4/x-3
(ii) নং হতে,
x-4=5/3y
বা, 3xy-12y=5…(iii)
(iii) নং এ y=4/x-3 বসিয়ে
3x(4/x-3)-12(4/x-3)=5
বা, 12-9x-48/x+36=5
বা, 12x-9x2-48+36x=5x [x দ্বারা গুণ করে]
বা, 12x-9x2-48+36x-5x=0
বা, -9x2+43x-48=0
বা, 9x2-43x+48=0
বা, 9x2-27x-16x+48=0
বা, 9x(x-3)-16(x-3)=0
বা, (9x-16)(x-3)=0
বা, 9x-16=0 অথবা, x-3=0
বা, 9x=16 বা, x=3
বা, x=16/9
এখন,
x এর মানের জন্য y=4/x-3 এর মান নির্ণয় করিঃ
x=16/9 এর জন্য
4
4✕9
=9/4-3
9-12
=-3/4
এবং x=3 এর জন্য
4
4-9
=-5/3
∴ (x,y)=(16/9,-3/4), (3,-5/3)
৭. xy-x2=1, y2-xy=2
সমাধানঃ
xy-x2=1…..(i)
y2-xy=2……(ii)
(i) নং হতে পাই, x(y-x)=1……(iii)
(ii) নং হতে পাই, y(y-x)=2……(iv)
(iii) ÷ (iv) করে পাই,
x(y-x)
বা, y(y-x)=2x(y-x)
বা, 2x(y-x)-y(y-x)=0
বা, (y-x)(2x-y)=0
বা, (2x-y)=0 অথবা, y-x=0
বা, 2x=y বা, y=x
বা, y=2x
এখন y=2x, (i). নং এ বসিয়ে পাই,
x.2x-x2=1
বা, 2x2-x2=1
বা, x2=1
বা, x=±1
তাহলে, y=2x=2.(±1)=±2
আবার, y=x, (i). নং এ বসিয়ে পাই,
x.x-x2=1
বা, x2-x2=1
বা, 0=1 [অসম্ভব]
∴ (x,y)=( ±1, ±2)
৮. x2-xy=14, y2+xy=60
সমাধানঃ
x2-xy=14…….(i)
y2+xy=60……(ii)
(i) নং হতে পাই,
-xy=14-x2
বা, xy=x2-14
x2-14
বা, y= x-14/x…….(iii)
(ii) নং এ y= x-14/x বসিয়ে পাই,
(x-14/x)2+x(x-14/x)=60
বা, x2+(14/x)2-2.x.14/x+x2-14=60
বা, x2+196/x2-28-x2-14-60=0
বা, 2x2+196/x2-102=0
বা, 2x4+196-102x2 [x2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 2x4-102x2+196
বা, 2(x4-51x2+98)=0
বা, x4-51x2+98=0
বা, x4-49x2-2x2+98=0
বা, x2(x2-49)-2(x2-49)=0
বা, (x2-2)(x2-49)=0
বা, (x2-49=0 অথবা, x2-2=0
বা, x2=49 বা, x2=2
বা, x=±7 বা, x=±√2
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y= x-14/x নির্ণয় করিঃ
x=7 এর জন্য y=7-14/7=7-2=5
x=-7 এর জন্য y=-7-14/-7=-7+2=-5
x=√2 এর জন্য
y=√2 -14/√2
বা, √2y=2-14 [√2 দ্বরা গুণ করে]
বা, √2y=-12
বা, y=-12/√2
-12.√2
-12.√2
=-6√2
x=-√2 এর জন্য
y=-√2-14/-√2
বা, -√2y=2-14 [-√2 দ্বারা গুণ করে]
বা, -√2y=-12
বা, √2y=12
বা, √2.√2y=12.√2 [√2 দ্বারা ঘুন করে]
বা, 2y=12.√2
বা, y=6√2 [2 দ্বারা ভাগ করে]
∴ (x,y)=(7,5), (-7,-5), (√2,-6√2), (-√2,6√2)
৯. x2+y2=25, xy=12
সমাধানঃ
x2+y2=25…….(i)
xy=12……(ii)
(ii) নং হতে পাই,
y=12/x…..(iii)
y এর মান (i). নং এ বসিয়ে পাই,
x2+(12/x)2=25
বা, x2+144/x2=25
x4+144
বা, x4+144=25x2
বা, x4-25x2+144=0
বা, x4-16x2-9x2+144
বা, x2(x2-16)-9(x2-16)=0
বা, (x2-9)(x2-16)
বা, x2-9=0 অথবা, x2-16=0
বা, x2=9 বা, x2=16
বা, x=±3 বা, x=±4
এখন, x=3,-3,4,-3 বসিয়ে y=12/x নির্ণয় করিঃ
x=3 হলে y=12/3=4
x=-3 হলে y=12/-3=-4
x=4 হলে y=12/4=3
x=-4 হলে y=12/-4=-3
∴ (x,y)=(3,4), (-3,-4), (4,3), (-4,-3)
১০.
x+y x-y 10
x2-y2=3
সমাধানঃ
x+y x-y 10
x2-y2=3……(ii)
(i) নং হতে পাই,
(x+y)2+(x-y)2 10
2(x2+y2) 10
বা, 3.2.(x2+y2)=10(x2-y2)
বা, 3.2.(x2+y2)=10.3 [(ii) নং হতে মান বসিয়ে]
বা, x2+y2=5……(iii) [6 দ্বারা ভাগ করে]
(ii)+(iii) করে পাই,
2x2=8
বা, x2=4
বা, x=±2
(ii)-(iii) করে পাই,
-2y2=-2
বা, 2y2=2
বা, y2=1
বা, y=±1
∴ (x,y)=( ±2, ±1)
১১. x2+xy+y2=3, x2-xy+y2=7
সমাধানঃ
x2+xy+y2=3……(i)
x2-xy+y2=7…….(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
2xy=-4
বা, xy=-2
বা, y=-2/x…….(iii)
(i) নং এ y=-2/x বসিয়ে পাই,
x2+x(-2/x)+(-2/x)2=3
বা, x2-2+4/x2=3
বা, x4-2x2+4=3x2 [x2 দ্বারা গুণ করে]
বা, x4-2x2-3x2+4=0
বা, x4-5x2+4=0
বা, x4-4x2-x2+4=0
বা, x2(x2-4)-1(x2-4)=0
বা, (x2-1)(x2-4)=0
বা, x2-1=0 অথবা, x2-4=0
বা, x2=1 বা, x2=4
বা, x=±1 বা, x=±2
x এর বিভিন্ন মানের জন্য y=-2/x নির্ণয় করিঃ
x=1 হলে y=-2/1=-1
x=-1 হলে y=-2/-1=1
x=2 হলে y=-2/2=-1
x=-2 হলে y=-2/-2=1
∴ (x,y)=(1,-1), (-1,1), (2,1), (-2,1)
১২. 2x2+3xy+y2=20, 5x2+4y2=41
সমাধানঃ
2x2+3xy+y2=20……(i)
5x2+4y2=41……(ii)
(i) নং কে (ii) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,
2x2+3xy+y2
বা, 82x2+123xy+41y2=100x2+80y2
বা, 82x2+123xy+41y2-100x2-80y2=0
বা, -18x2+123xy-39y2=0
বা, 18x2-123xy+39y2=0
বা, 6x2-41xy+13y2=0
বা, 6x2-39xy-2xy+13y2=0
বা, 3x(2x-13y)-y(2x-13y)=0
বা, (2x-13y)(3x-y)=0
বা, 2x-13y=0 অথবা, 3x-y=0
বা, 2x=13y বা, y=3x……..(iv)
বা, y=2x/13……(iii)
এখন, y=2x/13 সমীকরণ (ii) এ বসিয়ে পাই,
5x2+4(2x/13)2=41
বা, 5x2+4.(4x2/169)=41
বা, 845x2+16x2=6929 [169 দ্বারা গুণ করে]
বা, 861x2=6929
বা, 21x2=169 [41 দ্বারা ভাগ করে]
বা, x2=169/21
বা, x=±√(169/21)=±13/√21=±13√21/21=±13/√21
(iii) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
যখন, x=13/√21
তখন,
y=
13
2.13
2
যখন, x=-13/√21
তখন,
y=
-13
-2.13
-2
আবার, (ii) নং এ y=3x বসিয়ে পাই,
5x2+4(3x)2=41
বা, 5x2+4.9x2=41
বা, 5x2+36x2=41
বা, 41x2=41
বা, x2=41/41
বা, x2=1
বা, x=±1
(iv) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
যখন x=1 তখন y=3.1=3
যখন x=-1 তখন y=3(-1)=-3
∴ (x,y)=(13/√21,2/√21), (-13/√21,-2/√21), (1,3), (-1,-3)
0 Comments