9-10 H Math 5.2

 অনুশীলনী-৫.২

সমাধান করঃ

১. √(x-4)+2=√(x+12)

সমাধানঃ

√(x-4)+2=√(x+12)

বা,  {√(x-4)+2}²={√(x+12)}²

বা,  x-4+4+2√(x-4).2=x+12

বা,  x+4√(x-4)=x+12

বা,  4√(x-4)=x+12-x

বা,  4√(x-4)=12

বা,  √(x-4)=12/4

বা,  √(x-4)=3

বা,  {√(x-4)}²=3²

বা,  x-4=9

বা,  x=9+4

বা,  x=13

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=13 হলে,

বামপক্ষ=√(13-4)+2=√9+2=3+2=5

ডানপক্ষ=√(13+12)=√25=5

∴x=13 প্রদত্ত সমীকরণের বীজ।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ x=13

২. √(11x-6)=√(4x+5)-√(x-1)

সমাধানঃ

√(11x-6)=√(4x+5)-√(x-1)

বা,  11x-6=4x+5+x-1-2.√(4x+5)√(x-1) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  11x-6-4x-5-x+1=-2.√(4x+5)√(x-1)

বা,  6x-10=-2.√(4x+5)√(x-1)

বা,  2(3x-5)=-2.√(4x+5)√(x-1)

বা,  3x-5=-√(4x+5)√(x-1)

বা,  (3x-5)²={-√(4x+5)√(x-1)}²

বা,  9x²-30x+25=(4x+5)(x-1)

বা,  9x²-30x+25=4x²+5x-4x-5

বা,  9x²-30x+25=4x²+x-5

বা,  9x²-30x-4x²-x+5+25=0

বা,  5x²-31x+30=0

বা,  5x²-6x-25x+30=0

বা,  x(5x-6)-5(5x-6)=0

বা,  (x-6)(5x-6)=0

বা,  x-6=0         অথবা, 5x-6=0

বা,  x=6            বা,  5x=6

                        বা,  x=6/5

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=(6/5) হলে, প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

=√{11✕(6/5)-6}

=√{(66/5)-6}

=√{(66-30)/5}

=√(36/5)

=6/√5

ডানপক্ষ

=√{4✕(6/5)+5}-√{(6/5)-1}

=√{(24+25)/5}-√{(6-5)/5}

=√(49/5)- √(1/5)

=(7/√5)-(1/√5)

=6/√5

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ।

আবার,

x=5 হলে প্রদত্ত সমীকরনের

বামপক্ষ=√(11.5-6)= √(55-6)= √49=7

ডানপক্ষ=√(4.5+5)- √(5-1)= √25-√4=5-2=3

∴বামপক্ষ≠ডানপক্ষ।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ x=6/5

৩. √(2x+7)+√(3x-18)=√(7x+1)

সমাধানঃ

√(2x+7)+√(3x-18)=√(7x+1)

বা,  {√(2x+7)+√(3x-18)}²={√(7x+1)}² [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  2x+7+3x-18+2.√(2x+7).√(3x-18)=7x+1

বা,  2.√(2x+7).√(3x-18)=7x+1-2x-7-3x+18

বা,  2.√(2x+7).√(3x-18)=2x+12

বা,  2.√(2x+7).√(3x-18)=2(x+6)

বা,  √(2x+7).√(3x-18)=x+6 [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  {√(2x+7).√(3x-18)}²=(x+6)² [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  (2x+7)(3x-18)=x²+12x+36

বা,  6x²+21x-36x-126=x²+12x+36

বা,  6x²-15x-126=x²+12x+36

বা,  6x²-15x-126-x²-12x-36=0

বা,  5x²-27x-162=0

বা,  5x²-45x+18x-162=0

বা,  5x(x-9)+18(x-9)=0

বা,  (5x+18)(x-9)=0

বা,  x-9=0         অথবা, 5x+18=0

বা,  x=9            বা,  5x=-18

                       বা,  x=-18/5

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=9 হলে প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

=√(2.9+7)+√(3.9-18)

=√(18+7)+√(27-18)

=√25+√9

=5+3

=8

ডানপক্ষ

=√(7.9+1)

=√(63+1)

=√64

=8

∴ বামপক্ষ=ডানপক্ষ

আবার,

x=-18/5 হলে প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

=√{2(-18/5)+7}+√{3(-18/5)-18}

=√{7-(36/5)}+√{(-54/5)-18}

=√{(35-36)/5}+√{(-54-90)/5}

=√(-1/5)+√(-144/5) যা অসম্ভব।

∴বামপক্ষ≠ডানপক্ষ

∴ নির্ণেয় সমাধানঃ x=9

৪. √(x+4)+√(x+11)=√(8x+9)

সমাধানঃ

√(x+4)+√(x+11)=√(8x+9)

বা,  {√(x+4)+√(x+11)}²={√(8x+9)}² [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  x+4+x+11+2.√(x+4).√(x+11)=8x+9

বা,  2x+15+2.√(x+4).√(x+11)=8x+9

বা,  2.√(x+4).√(x+11)=8x+9-2x-15

বা,  2.√(x+4).√(x+11)=6x-6

বা,  2.√(x+4).√(x+11)=2(3x-3)

বা,  √(x+4).√(x+11)=(3x-3)

বা,  {√(x+4).√(x+11)}²=(3x-3)² [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  (x+4)(x+11)=9x²+9-2.3x.3

বা,  x²+4x+11x+44=9x²+9-18x

বা,  x²+15x+44-9x²-9+18x=0

বা,  -8x²+33x+35=0

বা,  8x²-33x-35=0

বা,  8x²-40x+7x-35=0

বা,  8x(x-5)+7(x-5)=0

বা,  (8x+7)(x-5)=0

বা,  x-5=0         অথবা, 8x+7=0

বা,  x=5            বা,  8x=-7

                        বা,  x=-7/8

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=5 হলে প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

=√(5+4)+√(5+11)

=3+4

=7

ডানপক্ষ

=√(8✕5+9)

=√49

=7

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ

আবার, x=-7/8 হলে প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

=√{(-7/8)+4}+√{(-7/8)+11}

=√{(-7+32)/8}+√{(-7+88)/8}

=√(25/8)+√(81/8)

=(5/√8)+(9/√8)

=(5+9)/√8

=14/√8

=14/2√2

=7/√2

ডানপক্ষ

=√{8(-7/8)+9}

=√(-7+9)

=√2

∴বামপক্ষ≠ডানপক্ষ

∴ নির্ণেয় সমাধানঃ x=5

৫. √(11x-6)=√4x+5)+√(x-1)

সমাধানঃ

√(11x-6)=√4x+5)+√(x-1)

বা,  11x-6=4x+5+x-1+2.√4x+5)√(x-1) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  11x-6-4x-5-x+1=2√(4x²+5x-4x-5)

বা,  6x-10=2√(4x²+x-5)

বা,  2(3x-5)=2√(4x²+x-5)

বা,  3x-5=√(4x²+x-5)

বা,  9x²+25-2.3x.5=4x²+x-5 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  9x²+25-30x-4x²-x+5=0

বা,  5x²-31x+30=0

বা,  5x²-6x-25x+30=0

বা,  x(5x-6)-5(5x-6)=0

বা,  (x-5)(5x-6)=0

বা,  x-5=0         অথবা, 5x-6=0

বা,  x=5            বা,  5x=6

                        বা,  x=6/5

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=5 হলে প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

√(11✕5-6)

=√(55-6)

=√49

=7

ডানপক্ষ

=√(4✕5+5)+√(5-1)

=√(20+5)+√4

=√25+√4

=5+2

=7

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ

আবার,

x=6/5 হলে প্রদত্ত সমীকরণের

বামপক্ষ

=√{11✕(6/5)}

=√{(66/3)-6}

=√{(66-30)/5}

=√(36/5)

=6/√5

ডানপক্ষ

=√{4✕(6/5)+5}+√{(6/5)-1}

=√{(24/5)+5}+√{(6-5)/5}

=√{24+25)/5}+√(1/5)

=√(49/5)+√(1/5)

=(7/√5)+(1/√5)

=8/√5

∴বামপক্ষ≠ডানপক্ষ

∴ নির্ণেয় সমাধানঃ x=5

৬. √(x²-8)+√(x²-14)=6

সমাধানঃ

√(x²-8)+√(x²-14)=6

বা,  √(x²-14)=6-√(x²-8)

বা,  x²-14=36+x²-8-2.6.√(x²-8) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  x²-14=28+x²-12√(x²-8)

বা,  x²-14-28-x²=-12√(x²-8)

বা,  -42=-12√(x²-8)

বা,  42=12√(x²-8)

বা,  7=2√(x²-8) [উভয়পক্ষকে 6 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  49=4(x²-8) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  49=4x²-32

বা,  4x²=49+32

বা,  4x²=81

বা,  2x=±9 [বর্গমূল করে]

বা,  x=±9/2

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=9/2 হলে

বামপক্ষ

√{(9/2)²-8)}+√{(9/2)²-14)}

=√{(81/4)-8}+√{(81/4)-14}

=√{(81-32)/4}+√{(81-56)/4}

=√(49/4)+√(25/4)

=(7/2)+(5/2)

=(7+5)/2

=12/2

=6

=ডানপক্ষ

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ

আবার,

x=-9/2 হলে

বামপক্ষ

√{(-9/2)²-8)}+√{(-9/2)²-14)}

=√{(81/4)-8}+√{(81/4)-14}

=√{(81-32)/4}+√{(81-56)/4}

=√(49/4)+√(25/4)

=(7/2)+(5/2)

=(7+5)/2

=12/2

=6

=ডানপক্ষ

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ

অর্থাৎ, x=±9/2

৭. √(x²-6x+9)-√(x²-6x+6)=1

সমাধানঃ

√(x²-6x+9)-√(x²-6x+6)=1

বা,  √(y+9)-√(y+6)=1 [x²-6x=y ধরে]

বা,  √(y+9)=√(y+6)+1

বা,   y+9=y+6+1+2.√(y+6) [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  y+9-y-6-1=2√(y+6)

বা,  2=2√(y+6)

বা,  1=√(y+6)

বা,  1=y+6 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  y+6-1=0

বা,  y+5=0

বা,  x²-6x+5=0 [y এর মানব বসিয়ে]

বা,  x²-5x-x+5=0

বা,  x(x-5)-1(x-5)=0

বা,  (x-1)(x-5)=0

বা,  x-1=0         অথবা, x-5=0

বা,  x=1            বা,  x=5

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=1 হলে

বামপক্ষ

=√(1²-6.1+9)-√(1²-6.1+6)

=√(1-6+9)- √(1-6+6)

=√4-√1

=2-1

=1

=ডানপক্ষ

আবার,

x=5 হলে

বামপক্ষ

=√(5²-6.5+9)-√(5²-6.5+6)

=√(25-30+9)- √(25-30+6)

=√4-√1

=2-1

=1

=ডানপক্ষ

অর্থাৎ,

x=5, 1

৮. √(x-2)-√(x-9)=1

সমাধানঃ

√(x-2)-√(x-9)=1

বা,  √y-√(y-7)=1 [y=x-2 ধরে]

বা,  -√(y-7)=1-√y

বা,  √(y-7)=1-√y

বা,  y-7=1+y-2.1.√y [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  y-7-1-y=-2√y

বা,  -8=-2√y

বা,  4=√y

বা,  4=√(x-2) [মান বসিয়ে]

বা,  16=x-2 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  x=16+2

বা,  x=18

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=18 হলে

বামপক্ষ

=√(18-2)-√(18-9)

=√16-√9

=4-3

=1

=ডানপক্ষ।

অর্থাৎ, x=18

৯. 6√{2x/(x-1)}+5√{(x-1)/2x}=13

সমাধানঃ

ধরি,

√{2x/(x-1)}=p; তাহলে, √{(x-1)/2x}=1/p

অতএব, প্রদত্ত সমীকরণ

6P+5(1/P)=13

       6P²+5

বা,   ---------- = 13

           P

বা,  6P²+5=13P

বা,  6P²-13P+5=0

বা,  6P²-10P-3P+5=0

বা,  2P(3P-5)-1(3P-5)=0

বা,  (2P-1)(3P-5)=0

বা,  2P-1=0       অথবা, 3P-5=0

বা,  2P=1          বা,  3P=5

বা,  P= ½          বা,  P=5/3

তাহলে,

√{2x/(x-1)}=½

বা,  2x/(x-1)=¼ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  8x=x-1

বা,  8x-x=-1

বা,  7x=-1

বা,  x=-1/7

এবং,

√{2x/(x-1)}=5/3

বা,  2x/(x-1)=25/9 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  18x=25x-25

বা,  18x-25x=-25

বা,  -7x=-25

বা,  7x=25

বা,  x=25/7

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=-1/7 হলে P= ½

তাহলে,

বামপক্ষ

=6.½+5.2

=3+10

=13

=ডানপক্ষ

আবার,

x=25/7 হলে P=5/3

তাহলে,

বামপক্ষ

=6.(5/3)+5(3/5)

=2.5+3

=10+3

=13

=ডানপক্ষ।

অর্থাৎ,

x=-1/7, 25/7

১০. √{(x-1)/(3x+2)}+2√{(3x+2)/(x-1)}=3

সমাধানঃ

ধরি, √{(x-1)/(3x+2)}=a

∴√{(3x+2)/(x-1)}=1/a

তাহলে, প্রদত্ত সমীকরণ

a+2(1/a)=3…….(i)

বা,  a+(2/a)=3

        a²+2

বা,  --------- = 3

          a

বা,  a²+2=3a

বা,  a²-3a+2=0

বা,  a²-2a-a+2=0

বা,  a(a-2)-1(a-2)=0

বা,  (a-1)(a-2)=0

বা,  a-1=0         অথবা, a-2=0

বা,  a=1            বা,  a=2

তাহলে,

√{(x-1)/(3x+2)}=1

বা,  (x-1)/(3x+2)=1  [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  x-1=3x+2

বা,  x-1-3x-2=0

বা,  -2x-3=0

বা,  -2x=3

বা,  x=-3/2

এবং

√{(x-1)/(3x+2)}=2

বা,  (x-1)(3x+2)=4 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা,  x-1=12x+8

বা,  x-1-12x-8=0

বা,  -11x-9=0

বা,  -11x=9

বা,  x=-9/11

শুদ্ধি পরীক্ষাঃ

x=-3/2 হলে তখন a=1.

a=1 (i) নং এর বামপক্ষে বসিয়ে পাই,

1+2(1/1)

=1+2

=3

=ডানপক্ষ

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ

আবার, x=-9/11 হলে তখন a=2.

a=2 (i) নং এর বামপক্ষে বসিয়ে পাই,

2+2(1/2)

=2+1

=3

=ডানপক্ষ

∴বামপক্ষ=ডানপক্ষ

∴ নির্ণেয় সমাধানঃ x= -9/11; -3/2