অনুশীলনী-৪
১. ∠x = 600 হলে ∠x এর সম্পূরক কোণের অর্ধেকের মান কত?
ক) 300 খ) 600 গ) 1200 ঘ) 1800
উত্তরঃ খ
[ব্যাখ্যাঃ 600 এর সম্পূরক কোণ = 1200 – 600 = 1200; 1200 এর অর্ধেক = 600]
২. 3.5 সেমি, 4.5 সেমি এবং 5.5 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি বৃত্ত পরস্পরকে বহিস্পর্শ করলে কেন্দ্রত্রয় দ্বারা উৎপন্ন ত্রিভুজের পরিসীমা কত সেমি?
ক) 54 খ) 40.5 গ) 27 ঘ) 13
উত্তরঃ গ
[ব্যাখ্যাঃ
পরিসীমা=3.5+4.5+4.5+5.5+5.5+3.5=27 সেমি]
নিচের চিত্র হতে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
৩. ∠ADC এর মান কত?
ক) 300 খ) 450 গ) 600 ঘ) 750
উত্তরঃ খ
[ব্যাখ্যাঃ
AC2+AE2
=62+62
=36+36
=72
CE2
=(6√2)2
=36✕2
=72
AC2+AE2=CE2 যা পিথাগোরাসের উপপাদ্যের শর্ত পূরণ করে।
∴ ∠CAE=900
তাহলে, ∠CAD=900
∴ ∠ACD+∠ADC=900
AC=AD বলে, ∠ACD=∠ADC
তাহলে, ∠ADC = 900/2=450]
৪. △ADC ও △AEC এর ক্ষেত্রফলের অনুপাত কত?
ক) 2 : 1 খ) 1 : 1 গ) 1 : 2 ঘ) 1 : √2
উত্তরঃ খ
[ব্যাখ্যাঃ △ADC ও △AEC উভয়ই সমকোণী;
△ADC এর ক্ষেত্রফল=½✕AC✕AD=½✕6✕6=18
△AEC এর ক্ষেত্রফল=½✕AC✕AE=½✕6✕6=18
অনুপাত = 18 : 18 = 1 : 1 ]
৫. ত্রিভুজের দুইটি কোণ ও তাদের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর দেওয়া আছে, ত্রিভুজতি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
কোনো ত্রিভুজের দুইটি কোণ ∠A ও ∠B এবং কোণদ্বয়ের বিপরীত বাহুদ্বয়ের অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রশ্মি AM এর A বিন্দুতে ∠A=∠MAD আঁকি।
(b) AD এর থেকে AE=d অংশ কেটে নিই।
(c) E বিন্দুতে ∠DEB=½(∠A+∠B) আঁকি যার EB রেখা AM কে B বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) B বিন্দুতে ∠EBC=∠DEB আঁকি যার BC রেখা AD কে C বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ABC-ই নির্ণের ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
△ABC-এ
∠CAB=∠A
∠ABC=∠ABE+∠EBC
=(∠CEB-∠CAB)+ ∠CEB
=2∠CEB-∠CAB
=2*½(∠A+∠B)- ∠A
=∠A+∠B-∠A
=∠B
এবং
AC-BC
=AE+EC-BC
=d+EC-BC
=d+BC-BC [∠EBC=∠DEB বলে EC=BC]
=d যা দুই বাহুর অন্তর।
তাহলে, △ABC-ই নির্ণের ত্রিভুজ।
৬. ত্রিভুজের ভূমি, ভূমি সংলগ্ন কোনদ্বয়ের অন্তর ও অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের অন্তর ∠x ও অপর বাহুদ্বয়ের সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা BM থেকে BC=a অংশ কেটে নিই।
(b) BC এর C বিন্দুতে ∠BCD=½∠x আঁকি।
(c) CD এর C বিন্দুতে CP লম্ব আঁকি।
(d) B কে কেন্দ্র করে s এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা CP কে Q বিন্দুতে ছেদ করে। B,Q যোগ করি।
(e) CP এর C বিন্দুতে ∠BQC এর সমান করে ∠QCA আঁকি।
(f) CA রেখা BQ কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
চিত্রানুসারে,
BC=a=ভূমি।
AB+AC=AB+AQ [∠ACQ=∠AQC, অতএব, AC=AQ]
=BQ
=s
=ভূমি ভিন্ন অপর দুই বাহুর সমষ্টি।
∠ACB-∠ABC
=∠ACK+∠KCB-∠KBC
=(900-∠ACQ)+∠KCB-∠KBC [∠KCQ=900]
=(900-∠AQC)+∠KCB-∠KBC [∠ACQ=∠AQC]
={900-(900-∠AKC)}+∠KCB-∠KBC [∠KCQ=900 বলে ∠AQC=900-∠AKC]
=∠AKC+∠KCB-∠KBC
=∠KBC+∠KCB+∠KCB-∠KBC
=2∠KCB
=2✕½∠x
=∠x যা ভূমি সংলগ্ন কোণদ্বয়ের অন্তর।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
৭. ভূমি, শিরঃকোণ ও অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি ত্রিভুজের ভূমি a, শিরকোণ ∠x; অপর কোণদ্বয়ের সমষ্টি (1800-∠x) দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা BD এর উপর একটি বিন্দু A লই।
(b) A বিন্দুতে ∠BAE=∠x আঁকি।
(c) B কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি যা AE কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) B, C; B, C’ যোগ করি। তাহলে, △ABC বা △ABC’ –ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
△ABC-এ
BC=a=ভূমি।
∠BAC=∠x=শিরকোণ
তাহলে, ∠ABC+∠BCA=1800-∠x [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 1800 বলে]
আবার,
△ABC’-এ
BC’=a=ভূমি।
∠BAC’=∠x=শিরকোণ
তাহলে, ∠ABC’+∠BC’A=1800-∠x
∴ △ABC বা △ABC’ –ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
৮. ভূমি, শিরঃকোণ ও অপর কোণদ্বয়ের অন্তর দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
কোনো ত্রিভুজের ভূমি a, শিরকোণ ∠x এবং অপর কোণদ্বয়ের অন্তর ∠y দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা CX থেকে CB=a অংশ কেটে নিই।
(b) C বিন্দুতে CB এর উপর CY লম্ব আঁকি।
(c) C বিন্দুতে ∠YCD=½∠x আঁকি এবং ∠DCF=½∠y আঁকি।
(d) B বিন্দুতে ∠CBE=½∠y আঁকি।
(e) BE রেখা CA কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) B বিন্দুতে ∠EBA=∠FEB আঁকি।
(g) BA রেখা CF কে A বিন্দুতে ছেদ করে; তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
∠CAB
=1800-(∠AEB+∠EBA)
=1800-(∠AEB+∠AEB) [অঙ্কনানুসারে, ∠AEB=∠EBA]
=1800-2∠AEB
=1800-2(∠ACB+∠CBE)
=1800-2{900-(½∠x+½∠y)+½∠y}
=1800-2(900-½∠x-½∠y+½∠y)
=1800-2(900-½∠x)
=1800-1800+∠x
=∠x যা শিরকোণ।
CB=a যা ভূমি।
∠ABC-∠ACB
=∠ABE+∠EBC-∠ACB
=∠AEB+∠EBC-∠ACB [অঙ্কনানুসারে, ∠AEB=∠EBA]
=∠ACB+∠EBC+∠ECB-∠ACB
=2∠EBC
=2.½.∠y
=∠y যা কোণদ্বয়ের অন্তর।
তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
৯. সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রশ্মি BE থেকে BD=s অংশ কেটে নিই।
(b) D বিন্দুতে ∠BDG=450 আঁকি।
(c) B বিন্দুতে a এর সমান করে বৃত্তচাপ আঁকি যা DG কে A ও A’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) B,A; B,A’ যোগ করি।
(e) A ও A” বিন্দুতে ∠DAC=450 এবং ∠DA’C’=450 আঁকি।
(f) AC ও A’C’ রেখা BD কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ABC বা △A’BC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
△ABC-এ
AB=a যা অতিভুজ।
BC+AC
=BC+DC [∠CDA=∠DAC=450 বলে AC=DC]
=BD
=s যা দুই বাহুর সমষ্টি।
আবার,
∠CDA=∠DAC=450 বলে ∠DCA=900
∴ ACB=900 অর্থাৎ △ABC সমকোণী ত্রিভুজ।
তাহলে △ABC নির্ণেয় ত্রিভুজ।
একইভাবে, △A’BC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১০. ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ, উচ্চতা ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি ত্রিভুজের ভূমি সংলগ্ন একটি কোণ ∠x, এর উচ্চতা h ও অপর দুই বাহুর সমষ্টি s দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রশ্মি BD এর B বিন্দুতে ∠DBG=∠x আঁকি।
(b) BD এর B বিন্দুতে BF লম্ব আঁকি।
(c) BF থেকে BE=h কেটে নিই।
(d) E বিন্দুতে BF এর উপর EA লম্ব আঁকি যা BG কে A বিন্দুতে ছেদ করে।
(e) A বিন্দু কে কেন্দ্র করে AP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্তচাপ আঁকি যা BD কে C ও C’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) A,C এবং A,C’ যোগ করি। তাহলে, △ABC বা △ABC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
AE।।BD; A হলো △ABC বা △ABC’ এর শীর্ষবিন্দু।
অতএব, BE=h যা △ABC বা △ABC’ এর উচ্চতা।
BA+AC’=BA+AP=BP=s যা দুই বাহুর সমষ্টি [AP=AC]
BA+AC=BA+AP=BP=s যা দুই বাহুর সমষ্টি [APP=AC’]
ABC=ABC’=x যা ভূমি সংলগ্ন কোণ।
∴ △ABC বা △ABC’ নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১১. ক) সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ও অপর দুই বাহুর অন্তর দেওয়া আছে, ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ a এবং অপর দুই বাহুর অন্তর d দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা EF এর E বিন্দুতে ∠FEN=450 আঁকি।
(b) NE কে B পর্যন্ত বর্ধিত করি যেন EB=d হয়।
(c) B কেন্দ্র করে একটি বৃত্তচাপ আঁকি যা EF কে C বিন্দুতে ছেদ করে। B, C যোগ করি।
(d) C বিন্দুতে ∠ECA=450 আঁকি।
(e) CA রেখা BN কে A বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
দুই বাহুর অন্তর
=AB-AC
=AE+EB-AC
=AE+EB-AE [∠AEC=∠ECA=450 বলে AE=AC]
=EB
=d
△AEC-এ
∠AEC=∠ECA=450
বা, ∠AEC+∠ECA=450+450=900
তাহলে, অপর কোণ ∠EAC=900 [ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি 1800]
অর্থাৎ, ∠BAC=900
তাহলে, ABC সমকোণী. ত্রিভুজ. আর এর অতিভুজ BC=a.
∴ △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
খ) একটি ত্রিভুজের মধ্যমাত্রয় দেয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁক।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
একটি ত্রিভুজের তিনটি মধ্যমা l, m, n দেওয়া আছে। ত্রিভুজটি আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) l, m, n এর প্রত্যকটি মধমা কে সমান তিন ভাগে ভাগ করি।
সমান তিন ভাগে করার পদ্ধতিঃ
(i) যেকোনো কোণ ∠clf আঁকি।
(ii) যেকোনো ব্যাসার্ধ নিয়ে lf থেকে lx কেটে নিই।
(iii) একই ব্যাসার্ধ নিয়ে xy ও yz কেটে নিই।
(iv) z,c যোগ করি।
(v) yc।।yb।।ya আঁকি যা lc কে a ও b বিন্দুতে ছেদ করে।
(vi) তাহলে, l মধ্যমা la, ab, bc তে সমান তিন ভাগে বা l/3 এ বিভক্ত হলো।
(vii) একইভাবে m, n কে সমান তিন ভাগে ভাগ করি।
(b) যেকোনো রেখা AM থেকে AP=l অংশ কেটে নিই।
(c) AP থেকে AX=(l/3) এবং XG=(l/3) কেটে নিই।
(d) X কে কেন্দ্র করে (n/3) এবং G কে কেন্দ্র করে (m/3) এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি যারা পরস্পর R বিন্দুতে ছেদ করে।
(e) A, R যোগ করে N পর্যন্ত বর্ধিত করি।
(f) RN থেকে RB=AR কেটে নিই।
(g) BP যোগ করে O পর্যন্ত বর্ধিত করি।
(h) PO থেকে PC=BP কেটে নিই।
(i) A, C যোগ করি। তাহলে △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
চিত্র হতে পাই,
AP=l (অঙ্কনানুসারে)
BP=PC (অঙ্কনানুসারে)
তাহলে, AP এর একটি মধ্যমা।
এখন G ভরকেন্দ্র হলে,
GR=m/3 (অঙ্কনানুসারে)
যেহেতু G ভরকেন্দ্র GR=m/3 (অঙ্কনানুসারে) সেহেতু GC=2m/3 হবে [মধ্যমাত্রয় তাদের ছেদবিন্দুতে বা ভরকেন্দ্রে পরস্পরকে 1 : 2 অনুপাতে বিভক্ত করে]
তাহলে, RC মধ্যমা আঁকলে তা m এর সমান হবে।
অর্থাৎ RC=m
একইভাবে B,G দিয়ে অঙ্কিত মধ্যমা=n হবে।
তাহলে,
△ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১২. এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখাকে এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে এবং অপর একটি বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্ত ও PQ একটি সরলরেখা দেওয়া আছে। এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন করতে হবে যা PQ এর একটি বিন্দু A ও প্রদত্ত বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র O থেকে PQ এর উপর OD লম্ব আঁকি।
(b) DO কে বর্ধিত করি যা বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) E, A যোগ করি; EA প্রদত্ত বৃত্তের পরিধিকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) A বন্দুতে AM লম্ব আঁকি।
(e) OB কে বর্ধিত করি যা AM কে O’ বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) O’ কে কেন্দ্র করে O’A এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত আঁকি। তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণঃ
আমরা যেহেতু O’A এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করেছি সেহেতু ABC বৃত্তটি PQ এর A বিন্দু স্পর্শ করে যায়। এখন AO’=O’B হলে বৃত্তটি B বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
এখন,
△OEB-এ
OE=OB [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∠OEB=∠EBO…….(i)
আবার,
∠EBO=∠O’BA ……(ii) [বিপ্রতীপ কোণ]
(i) ও (ii) হতে পাই,
∠OEB=∠O’BA…….(iii)
আবার,
PQ এর উপর DE ও AM লম্ব বলে DE।।AM এবং EA তাদের ছেদক বলে
∠OEB=∠O’AB……(iv)
(iii) ও (iv) হতে পাই
∠O’BA=∠O’AB
বা, O’B=O’A
অর্থাৎ বৃত্তটি B বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।
১৩. এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা একটি নির্দিষ্ট বৃত্তকে এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে এবং অপর একটি বৃত্তকে কোনো বিন্দুতে স্পর্শ করে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্ত যার পরিধিতে একটি নির্দিষ্ট বিন্দু B এবং R কেন্দ্রবিশিষ্ট অপর একটি বৃত্ত। এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা B বিন্দু ও R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের কোনো বিন্দুকে স্পর্শ করে যায়।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) O, B যোগ করে F পর্যন্ত করি।
(b) B বিন্দু দিয়ে BD স্পর্শক আঁকি।
(c) BD এর উপর RP লম্ব আঁকি।
(d) PR কে এমন ভাবে বৃদ্ধি করি যেন R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধিকে E বিন্দুতে ছেদ করে।
(e) E, B যোগ করি যা R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের পরিধিকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
(f) R, C যোগ করে বর্ধিত করি যেন OF কে Q বিন্দুতে ছেদ করে।
(g) Q কে কেন্দ্র করে QC বা QB এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত আঁকি। তাহলে ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
প্রমাণঃ
QB ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত অঙ্কন করলে অঙ্কিত বৃত্ত B বিন্দু স্পর্শ করে যাবে। এখন যদি QB=QC হয় তাহলে অঙ্কিত বৃত্ত C বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
△CER-এ CR=RE [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ ∠RCE=∠REC…..(i)
আবার অঙ্কনানুসারে, BF।।DE এবং BE তাদের ছেদক বলে,
∠QBC=∠REC…..(ii)
(i) ও (ii) হতে পাই,
∠RCE=∠QBC……(iii)
আবার অঙ্কনানুসারে, ∠BCQ=∠RCE…..(iv) [বিপ্রতীপ কোণ]
(iii) ও (iv) হতে পাই,
∠BCQ=∠QBC
বা, QB=QC
তাহলে অঙ্কিত বৃত্ত C বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
∴ ABC ই নির্ণেয় ত্রিভুজ।
১৪. এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা একটি নির্দিষ্ট সরলরেখাকে কোনো বিন্দুতে এবং একটি বৃত্তকে এর কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে স্পর্শ করে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, PQ একটি নির্দিষ্ট সরলরেখা এবং O কেন্দ্রবিশিষ্ট একটি বৃত্তে C একটি নির্দিষ্ট বিন্দু। এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা C বিন্দু ও PQ এর যেকোনো বিন্দুকে স্পর্শ করে যায়।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) O, C যোগ করি।
(b) C বিন্দুর স্পর্শক EM আঁকি যা PQ কে E বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) ∠MEQ এর সমদ্বিখন্ডক রেখা EN আঁকি।
(d) OC কে R পর্যন্ত করি যা EN কে R বিন্দুতে ছেদ করে।
(e) R থেকে PQ এর উপর PA লম্ব আঁকি।
(f) R কে কেন্দ্র করে RA বা RC এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে ABC বৃত্ত আঁকি। তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণঃ
R কেন্দ্র ও RC ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত C কে স্পর্শ করে যাবে এবং RC=RA হলে বৃত্তটি A বিন্দুকেও স্পর্শ করে যাবে।
এখন,
△ECR ও △EAR এ
∠ECR=∠EAR=900 [RA⊥PQ ও OC⊥EM]
∠CER=∠AER [EN সমদ্বিখন্ডক রেখা]
ER সাধারণ বাহু
∴ △ECR ≅ △EAR
তাহলে, RC=RA
অর্থাৎ R কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত C ও A কে স্পপর্শ করে যাবে।
তাহলে ABC-ই নির্ণেয় বৃত্ত।
১৫. ভিন্ন ভিন্ন ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট এরুপ তিনটি বৃত্ত আঁক যেন তারা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, তিনটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ যথাক্রমে a, b ও c. এই ব্যাসার্ধগুলি দিয়ে তিনটি বৃত্ত আঁকতে হবে যেন এরা পরস্পরকে বহিঃস্পর্শ করে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) যেকোনো রেখা AD থেকে AB=a+b অংশ কেটে নিই।
(b) B কে কেন্দ্র করে b+c এবং A কে কেন্দ্র করে a+c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে AD এর একই পাশে দুইটি বৃত্তচাপ আঁকি। বৃত্তচাপ দুটি পরস্পরকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) A, C; B, C যোগ করি।
(d) A কে কেন্দ্র করে a এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে; B কে কেন্দ্র করে b এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে এবং C কে কেন্দ্র করে c এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। তাহলে A, B ও C কেন্দ্র বিশিষ্ট তিনটি বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমানঃ
AB=a+b
তাহলে, A ও B কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।
BC=b+c
তাহলে, B ও C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।
AC=a+c
তাহলে, A ও C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত দুইটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।
অতএব, A, B, C কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্ত তিনটি পরস্পর বহিঃস্পর্শ করবে।
১৬. O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের AB জ্যা এর P যেকোনো বিন্দু। P বিন্দু দিয়ে অপর একটি জ্যা CD অঙ্কন করতে হবে যেন CP2=AP.PB হয়।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্রবিশিষ্ট কোনো বৃত্তের AB জ্যা এর P যেকোনো বিন্দু দেওয়া আছে। P বিন্দু দিয়ে অপর একটি জ্যা CD অঙ্কন করতে হবে যেন CP2=AP.PB হয়।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) O, P যোগ করি।
(b) P বিন্দুতে OP এর উপর PC লম্ব আঁকি যা বৃত্তের পরিধিকে C বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) CP কে D পর্যন্ত বর্ধিত করে CD জ্যা আঁকি। তাহলে CD-ই নির্ণেয় জ্যা।
প্রমাণঃ
প্রমাণের জন্য C, A; B, D যোগ করি।
এখন, △CAP ও △BDP এর মধ্যে,
∠CAP=∠BDP [বৃত্তের একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ]
∠ACP=∠ABD [বৃত্তের একই চাপের উপর পরিধিস্থ কোণ]
∠APC=∠BPD [বিপ্রতীপ কোণ]
∴ △CAP ও △BDP সদৃশকোণী তথা সদৃশ
তাহলে,
CP AP
বা, CP.DP=AP.PB
বা, CP.CP=AP.PB [OP⊥CD বলে CP=DP; জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে]
বা, CP2=AP.PB
তাহলে, CD-ই নির্ণেয় জ্যা।
১৭. সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের ভূমি 5 সেমি এবং সমান সমান বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি।
ক) ত্রিভুজটি অঙ্কন কর।
সমাধানঃ
অঙ্কিত চিত্র নিন্মরুপঃ
খ) ত্রিভুজটির পরিবৃত্ত অঙ্কন করে ব্যাসার্ধ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত আঁকতে হবে অর্থাৎ এমন একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা ত্রিভুজের তিনটি শীর্ষ A, B ও C দিয়ে যায়। এবং বৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয় করতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) AB ও AC এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক EM ও FN আঁকি। লম্ব সমদ্বিখন্ডকদ্বয় পরস্পর O বিন্দুতে ছেদ করে।
(b) O কে কেন্দ্র করে OA এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। তাহলে অঙ্কিত বৃত্ত-ই হলো ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্ত।
পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ নির্ণয়ঃ
ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A হতে BC এর উপর AD লম্ব আঁকি।
তাহলে,
△ABD-এ
AB2=BD2+AD2
বা, b2=(a/2)2+AD2
বা, 62=(5/2)2+AD2
বা, AD2=62-(2.5)2
বা, AD2=36-6.25
বা, AD2=29.75
বা, AD=5.45 সেমি।
আবার, △ABC-এর পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ R হলে,
AB.AC=2R.AD [ব্রক্ষ্ম গুপ্তের উপপাদ্য অনুসারে]
বা, 2R✕5.45=6✕6
বা, R=36/10.9
বা, R=3.3 সেমি
∴ ত্রিভুজটির ব্যাসার্ধ= 3.3 সেমি।
গ) এমন একটি বৃত্ত অঙ্কন কর যা পূর্বে অঙ্কিত পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান একটি বৃত্তকে P বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং বৃত্তের বহিঃস্থ কোন বিন্দু Q দিয়ে যায়।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
পূর্বে অঙ্কিত পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3.3 সেমি এর সমান একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র C ও পরিধিতে নির্দিষ্ট একটি বিন্দু P এবং বৃত্তের বহিস্থ একটি বিন্দু Q। একটি বৃত্ত আঁকতে হবে যা P ও Q কে স্পর্শ করে যাবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) P, Q যো গ করি।
(b) PQ এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক রেখা AB আঁকি।
(c) C, P যোগ করে বর্ধিত করি যা AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) O কে কেন্দ্র করে OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে বৃত্ত আঁকি। O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।
প্রমাণঃ
O, Q যোগ করি।
AB রেখা PQ এর লম্বসমদ্বিখন্ডক বলে, △POR ও △QOR উভয়ই সমকোণী ত্রিভুজ যেখানে
PR=QR [AB লম্ব সমদ্বিখন্ডক বলে]
OR সাধারণ বাহু।
∠ORP=∠ORQ=900 [অঙ্কনানুসারে]
∴ △POR ≅ △QOR
তাহলে, OP=OQ
অর্থাৎ, OP এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে অঙ্কিত বৃত্ত যেমন P বিন্দুকে স্পর্শ করে তেমনি Q কে ও স্পর্শ করবে।
তাহলে, O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তই নির্ণেয় বৃত্ত।
১৮. O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি এবং O হতে 5 সেমি দূরে T বিন্দু অবস্থিত।
ক) তথ্যানুসারে চিত্র আঁক।
সমাধানঃ
তথ্যানুসারে অঙ্কিত বৃত্ত নিন্মরুপঃ
খ) T হতে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁক। (অঙ্কনের চিহ্ন ও বিবরণ আবশ্যক)
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
O কেন্দ্র বিশিষ্ট একটি বৃত্তে ও বহিস্থ T একটি বিন্দু। T হতে বৃত্তে দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে।
অঙ্কনের বিবরণঃ
(a) O, T যোগ করি।
(b) OT এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক AB আঁকি যা OT কে M বিন্দুতে ছেদ করে।
(c) M কে কেন্দ্র করে OM বা MT এর সমান ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আঁকি যা O কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তকে P ও Q বিন্দুতে ছেদ করে।
(d) P, T; Q, T যোগ করি। তাহলে PT ও QT নির্ণেয় স্পর্শক।
প্রমাণঃ
P, O; Q, O যোগ করি। এখন বৃত্তের স্পর্শকের শর্তানুসারে, OP⊥PT ও OQ⊥QT হলে PT ও QT স্পর্শক হবে।
অঙ্কন অনুসারে, ∠OPT=∠OQT=900 [কারণ M কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠OPT ও ∠OQT অর্ধবৃত্তস্থ কোণ ]
তাহলে PT ও QT নির্ণেয় স্পর্শক।
গ) পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রশ্নানুসারে, OT=5 সেমি; OP=OQ=3 সেমি।
∠OPT=∠OQT=900 [কারণ M কেন্দ্র বিশিষ্ট বৃত্তে ∠OPT ও ∠OQT অর্ধবৃত্তস্থঃ কোণ ]
△OPT-এ
OT2=OP2+PT2
বা, 52=32+PT2
বা, PT2=52-32
বা, PT2=25-9
বা, PT2=16
বা, PT=4 সেমি।
একইভাবে, △OQT-হতে পাই, QT=4 সেমি।
∴ PT+QT=4+4 সেমি =8 সেমি।
∴ স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্যের সমষ্টি 8 সেমি।
0 Comments