অনুশীলনী-৩.২
১. নিচের বামের চিত্রে XY রেখাংশে AB এর লম্ব অভিক্ষেপ কোনটি?
ক) AB খ) BC গ) AC ঘ) XY
উত্তরঃ খ
২. উপরের ডানের চিত্রে কোনটি লম্ববিন্দু?
ক) D খ) E গ) F ঘ) O
উত্তরঃ ঘ
৩. একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি মধ্যমার দৈর্ঘ্য 3 সেমি হলে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য কত?
ক) 4.5 সেমি খ) 3.46 সেমি গ) 4.24 সেমি ঘ) 2.59 সেমি
উত্তরঃ খ
উপরের চিত্রে D, E, F যথাক্রমে BC, AC ও AB এর মধ্যবিন্দু। সেই আলোকে ৪-৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৪. G বিন্দুর নাম কী?
ক) লম্ববিন্দু খ) অন্তঃকেন্দ্র গ) ভরকেন্দ্র ঘ) পরিকেন্দ্র
উত্তরঃ গ
৫. △ABC এর শীর্ষ বিন্দু তিনটি দিয়ে অঙ্কিত বৃত্তের নাম কী?
ক) পরিবৃত্ত খ) অন্তুর্বৃত্ত গ) বহির্বৃত্ত ঘ) নববিন্দুবৃত্ত
উত্তরঃ ক
৬. △ABC এর ক্ষেত্রে নিচের কোনটি এ্যাপোলোনিয়াসের উপপাদ্যকে সমর্থন করে?
ক) AB2+AC2=BC2 খ) AB2+AC2=2(AD2+BD2)
গ) AB2+AC2=2(AG2+GD2) ঘ) AB2+AC2=2(BD2+CD2)
উত্তরঃ খ
৭. ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ যেকোনো বিন্দু P থেকে BC ও CA এর উপর PD ও PE লম্ব অঙ্কন করা হয়েছে। যদি ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে, তবে প্রমাণ কর যে, PO রেখা AB এর উপর লম্ব, অর্থাৎ PO⊥AB।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, P, ABC ত্রিভুজের পরিবৃত্তস্থ যেকোনো একটি বিন্দু। PD⊥BC ও PE⊥AC। ED রেখাংশ AB কে O বিন্দুতে ছেদ করে । প্রমাণ করতে হবে যে, PO রেখা AB এর উপর লম্ব, অর্থাৎ PO⊥AB।
প্রমাণঃ
আমরা জানি, পরিবৃত্তস্থ কোনো বিন্দু হতে কোনো ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের ওপর অঙ্কিত লম্বত্রয়ের পাদবিন্দুগুলো সমরেখ।
এখানে, PD⊥BC, PE⊥AC এবং ED রেখাংশ Ab কে O বিন্দুতে ছেদ করায় D, E, O সমরেখ। সুতরাং O বিন্দু অবশ্যই P হতে AB এর ওপর লম্বের পাদবিন্দু হবে।
অর্থাৎ PO⊥AB (প্রমাণিত)।
৮. △ABC এর ∠C সমকোণ। C থেকে অতিভুজের উপর অঙ্কিত লম্ব CD হলে, প্রমাণ কর যে, CD2=AD.BD।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর ∠C=900। CD, AB এর উপর লম্ব। প্রমাণ করতে হবে যে, CD2=AD.BD।
প্রমাণঃ
△ABD-এ ∠BDC=900 [CD, AB এর উপর লম্ব]
CB2=CD2+BD2
বা, CD2=CB2-BD2……….(i)
একইভাবে, △ADC-এ
CD2=AC2-AD2………(ii)
এখন, (i)+(ii) করে পাই,
2CD2=AC2+CB2-BD2-AD2
বা, 2CD2=AB2-BD2-AD2 [△ABC-এ ∠C=900; AB2=AC2+CB2]
বা, 2CD2=(AD+BD)2-BD2-AD2 [AB=AD+BD]
বা, 2CD2=AD2+BD2+2AD.BD-BD2-AD2
বা, 2CD2=2AD.BD
বা, CD2=AD.BD [প্রমাণিত]
৯. △ABC এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব AD, BE ও CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AO.OD=BO.OE=CO.OF।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর শীর্ষত্রয় থেকে বিপরীত বাহুগুলোর উপর লম্ব AD, BE ও CF রেখাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AO.OD=BO.OE=CO.OF।
প্রমাণঃ
△BOF ও △COE-এ
∠OFB=∠OEC=900 [CF⊥AB, BE⊥AC]
এবং ∠BOF=∠COE [বিপ্রতীপ কোণ]
ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।
∴ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
অতএব,
BO OF
বা, BO.OE=CO.OF………..(i)
আবার,
△BOD ও △AOE-এ
∠ODB=∠OEA=900 [AD⊥BC, BE⊥AC]
এবং ∠BOD=∠AOE [বিপ্রতীপ কোণ]
ত্রিভুজ দুইটি সদৃশকোণী।
∴ত্রিভুজ দুইটি সদৃশ।
অতএব,
BO OD
বা, AO.OD=BO.OE………..(ii)
এখন সমীকরণ (i) ও (ii) হতে পাই,
∴AO.OD=BO.OE=CO.OF (প্রমাণিত)
১০. AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AB2=AC.AP+BD.BP।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে,
AB ব্যাসের উপর অঙ্কিত অর্ধবৃত্তের দুইটি জ্যা AC ও BD পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2=AC.AP+BD.BP।
অঙ্কনঃ
A,D; B,C ও C,D যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABD এর ∠ADB=900 [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]
∴ AB2=AD2+BD2………….(i)
একইভাবে,
△ABC এ
AB2=BC2+AC2………(ii)
(i)+(ii) করে পাই,
AB2+AB2=AD2+BC2+AC2+BD2
বা, 2AB2= AD2+BC2+AC2+BD2…..(iii)
আবার,
△APD এর ∠ADB=900 [∠ADB অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]
AP2=AD2+DP2
বা, AD2=AP2-DP2
একইভাবে,
△PBC এ
PB2=BC2+PC2
বা, BC2=PB2-PC2
এখন,
AD2 ও BC2 এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
2AB2=AP2-DP2+PB2-PC2+AC2+BD2
বা, 2AB2=AP2-(BD-BP)2+PB2-(AC-AP)2+AC2+BD2
বা, 2AB2=AP2-(BD2+BP2-2BD.BP)+PB2-(AC2+AP2-2AC.AP)+AC2+BD2
বা, 2AB2=AP2-BD2-BP2+2BD.BP+PB2-AC2-AP2+2AC.AP+AC2+BD2
বা, 2AB2=2BD.BP+2AC.AP
বা, AB2=BD.BP+AC.AP [প্রমাণিত]
১১. কোনো সমবাহু ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ 3 সেমি হলে ঐ ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O, ABC সমবাহু ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র, তাহলে এর ব্যাসার্ধ OA=OB=OC=3 সেমি (দেওয়া আছে)। বাহুর দৈর্ঘ্য AB=BC=CA=a (ধরি) নির্ণয় করতে হবে।
বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ঃ
AD⊥BC আঁকি যা BC কে D বিন্দুতে ছেদ করে। AD⊥BC হওয়ায় △ABD ও △ACD উভয়ে সমকোণী ত্রিভুজ।
△ABD ও △ACD ত্রিভুজদ্বয়ের অতিভুজ AB=অতিভুজ AC [ABC সমবাহু বলে]
এবং AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △ACD
∴ BD=CD অর্থাৎ AD একটি মধ্যমা।
এখন, যেহেতু D,BC এর মধ্যবিন্দু এবং AD⊥BC সেহেতু AD অবশ্যই কেন্দ্র O দিয়ে যাবে।
অনুরুপভাবে, প্রমাণ করা যায় যে, B ও C শীর্ষ হতে অঙ্কিত মধ্যমা দুইটিও O বিন্দু দিয়ে যায়। সুতরাং O, △ABC এর ভরকেন্দ্র।
∴ AO : OD = 2 : 1
বা, AO/OD=2/1
বা, OD= ½AO
বা, OD=½✕3 সেমি
বা, OD=3/2 সেমি
এবং BD=½ BC = ½ a সেমি
আবার, OBD সমকোণী ত্রিভুজে,
OB2=OD2+BD2
বা, (3)2=(3/2)2+(a/2)2
বা, 9=(9/4)+(a.a/4)
বা, 36=9+a2 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]
বা, a2=36-9
বা, a2=27
বা, a=√27
বা, a=3√3 সেমি।
বা, AB=BC=CA=3√3 সেমি।
অর্থাৎ, প্রদত্ত ত্রিভুজের প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য 3√3 সেমি।
১২. ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A হতে ভূমি BC এর উপর অঙ্কিত লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R হলে প্রমাণ কর যে, AB2=2R.AD।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ ABC এ AB=AC। A হতে BC এর ওপর অঙ্কিত লম্ব AD এবং ত্রিভুজের পরিব্যাসার্ধ R। প্রমাণ করতে হবে যে, AB2=2R.AD.
অঙ্কনঃ
AD-কে বর্ধিত করি, যেন তা পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করে। C,E যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ADC ও △ACE এ
∠ADC=∠ACE
[অর্ধবৃত্তস্থ ∠ACE=900 এবং AD,BC এর ওপর লম্ব বলে ∠ADC=900]
∠EAC সাধারণ কোণ।
এবং অবশিষ্ট ∠ACD=অবশিষ্ট ∠AEC.
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী তথা সদৃশ।
অতএব,
AD AC
[সদৃশকোণী ত্রিভুজদ্বয়ের অনুরুপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]
বা, AC2=AE.AD
বা, AB2=AE.AD……..(i)
আবার, সমকোণী ত্রিভুজ ABD ও ACD এর মধ্যে
অতিভুজ AB=অতিভুজ AC
AD সাধারণ বাহু।
∴ △ABD ≅ △ACD
∴ BD=CD
অর্থাৎ, AD⊥BC এবং AD,BC এর সমদ্বিখজন্ডক।
∴ AD বৃত্তের কেন্দ্র দিয়ে যায়।
[কেন্দ্র থেকে জ্যায়ের ওপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখন্ডিত করে]
∴ AE, △ABC এর পরিব্যাস।
∴AE=2R
তাহলে, (i) হতে পাই,
AB2=2R.AD (প্রমাণিত)
১৩. ABC ত্রিভুজের ∠A এর সমদ্বিখন্ডক BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। দেখাও যে, AD2=AB.AC-BD.DC।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △ABC এর ∠A এর সমদ্বিখন্ডক রেখাংশ BC কে D বিন্দুতে এবং ABC পরিবৃত্তকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AD2=AB.AC-BD.DC.
অঙ্কনঃ C,E যোগ করি।
প্রমাণঃ
△ABD ও △ACE-এ
∠BAD=∠CAE [AD, ∠A এর সমদ্বিখন্ডক]
এবং ∠ABD=∠AEC [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]
অতএব, অবশিষ্ট ∠ADB=অবশিষ্ট ∠ACE
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী।
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে,
AD AB
[দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]
বা, AB.AC=AD.AE……(i)
আবার, △ABD ও △CDE এ
∠ABD=∠CED [একই বৃত্তাংশস্থিত কোণ]
এবং ∠ADB=∠CDE [বিপ্রতীপ কোণ]
অতএব, অবশিষ্ট ∠BAD=অবশিষ্ট ∠DCE
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশকোণী।
∴ ত্রিভুজদ্বয় সদৃশ।
তাহলে,
BD AD
[দুইটি সদৃশ ত্রিভুজের অনুরুপ বাহুগুলোর অনুপাত সমান]
বা, AD.DE=BD.DC…..(ii)
এখন, সমীকরণ (i) হতে পাই,
AB.AC=AD.AE
বা, AB.AC =AD(AD+DE)
বা, AB.AC =AD.AD+AD.DE
বা, AB.AC =AD2+AD.DE
বা, AD2=AB.AC-AD.DE
বা, AD2=AB.AC-BD.DC [সমীকরণ (ii) হতে মান বসিয়ে]
অর্থাৎ, AD2=AB.AC-BD.DC (দেখানো হলো)
১৪. ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। দেখাও যে, △ABC : △AEF = AB2 : AE2।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, ABC ত্রিভুজের AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব। E,F যোগ করি। দেখাতে হবে যে, △ABC : △AEF = AB2 : AE2।
প্রমাণঃ
∠BEC=∠BFC=এক সমকোণ [AC ও AB বাহুর উপর যথাক্রমে BE ও CF লম্ব]
যেহেতু কোণ দুইটি BC এর একই পাশে অবস্থিত সেহেতু B,C,E,F বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
∴ BCEF চতুর্ভুজটি বৃত্তস্থ।
এখন, △ABC ও △AEF এর মধ্যে
∠AEF=∠ABC
এবং ∠AFE=∠ACB
[বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের একটি বাহু বর্ধিত করলে উৎপন্ন বহিঃস্থকোণ বিপরীত অন্তঃস্থকোণের সমান]
∠A সাধারন কোণ।
∴ △ABC ও △AEF সদৃশ
তাহলে,
△ABC AB2
বা, △ABC : △AEF = AB2 : AE2 (দেখানো হলো)
১৫. △PQR এ PM, QN ও RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করেছে।
ক) O বিন্দুটির নাম কী? O বিন্দু PM কে কী অনুপাতে বিভক্ত করে?
সমাধানঃ
O বিন্দুটির নাম হলো ভরকেন্দ্র।
O বিন্দু PM কে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
খ) △PQR হতে PQ2+PR2=2(PM2+QM2) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত কর।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △PQR-এ PM, QN, RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। PQ2+PR2=2(PM2+QM2) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠা করতে হবে।
অঙ্কনঃ
P হতে OR এর উপর PD লম্ব আঁকি।
সম্পর্ক প্রতিষ্ঠাঃ
△PQM-এ ∠PMQ সূক্ষ্মকোণ
∴ PQ2=PM2+QM2-2QM.DM…..(i)
[সূক্ষ্মকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]
আবার, △PMR-এ ∠PMR স্থূলকোণ
∴ PR2=PM2+MR2+2MR.DM…..(ii)
[স্থূলকোণের ক্ষেত্রে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের বিস্তৃতি হতে]
(i)+(ii) করে পাই,
PQ2+ PR2= PM2+QM2-2QM.DM+PM2+MR2+2MR.DM
=(PM2+PM2)+(QM2+MR2)-2QM.DM+2MR.DM
=(PM2+PM2)+(QM2+QM2)-2QM.DM+2QM.DM [মধ্যমা বলে QM=MR]
=2PM2+2QM2
=2(PM2+QM2)
∴ PQ2+PR2=2(PM2+QM2) সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হলো।
গ) দেখাও যে, △PQR এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টির তিনগুণ।
সমাধানঃ
বিশেষ নির্বচনঃ
দেওয়া আছে, △PQR-এ PM, QN, RS মধ্যমাত্রয় O বিন্দুতে ছেদ করে। দেখাতে হবে যে, PQR এর বাহু তিনটির বর্গের সমষ্টি O বিন্দু হতে শীর্ষবিন্দু তিনটির দূরত্বের বর্গের সমষ্টির তিনগুণ অর্থাৎ PQ2+PR2+QR2=3(OP2+OR2+OQ2)
প্রমাণঃ
খ হতে পাই,
PQ2+PR2=2(PM2+QM2)
বা, PQ2+PR2=2PM2+2QM2
বা, PQ2+PR2=2PM2+2. (½.QR)2 [M, QR এর মধ্যবিন্দু বলে; কারন PM মধ্যমা]
বা, PQ2+PR2=2PM2+2. ¼.QR2
বা, PQ2+PR2=2PM2+ ½QR2…….(i)
অনুরুপভাবে পাই,
PQ2+QR2=2QN2+ ½.PR2…….(ii)
এবং,
QR2+PR2=2SR2+ ½PQ2…….(iii)
(i)+(ii)+(iii) করে পাই,
PQ2+PR2+ PQ2+QR2+QR2+PR2=2PM2+ ½QR2+2QN2+ ½.PR2+2SR2+ ½PQ2
বা, 2(PQ2+QR2+PR2)=2(PM2+QN2+SR2)+ ½(PQ2+QR2+PR2)
বা, 4(PQ2+QR2+PR2)=4(PM2+QN2+SR2)+(PQ2+QR2+PR2) [উভয়পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]
বা, 4(PQ2+QR2+PR2)- (PQ2+QR2+PR2)= 4(PM2+QN2+SR2)
বা, 3(PQ2+QR2+PR2)=4(PM2+QN2+SR2)
বা, 3(PQ2+QR2+PR2)=4PM2+4QN2+4SR2…..(iv)
আমরা জানি, ত্রিভুজের মধ্যমাগুলো সম্পাত বিন্দুতে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করে।
অতএব,
PO 2
OM 1
OM+PO 1+2
[যোজন করে]
PM 3
বা, 2PM=3PO
বা, 4PM2=9PO2
একইভাবে, 4QN2=9QO2; 4SR2=9OR2
এই মানগুলো (iv) নং এ বসিয়ে পাই,
3(PQ2+QR2+PR2)= 9PO2+9QO2+9OR2
বা, 3(PQ2+QR2+PR2)= 9(PO2+QO2+OR2)
বা, (PQ2+QR2+PR2)= 3(PO2+QO2+OR2) [দেখানো হলো]
১৬. নিচের চিত্রে S, O যথাক্রমে △ABC এর পরিকেন্দ্র ও লম্ববিন্দু। AP মধ্যমা, BC=a, AC=b এবং AB=c।
ক) OA এবং SP এর মধ্যে সম্পর্ক নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি, কোনো ত্রিভুজের লম্ব বিন্দু থেকে শীর্ষের দূরত্ব ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র থেকে ঐ শীর্ষের বিপরীত বাহুর দূরত্বের দ্বিগুণ। △ABC এর লম্ব বিন্দু O থেকে A শীর্ষের দূরত্ব OA এবং পরিকেন্দ্র S থেকে A শীর্ষের বিপরীত বাহু BC এর দূরত্ব SP.
∴ OA=2SP
ইহাই OA ও SP এর মধ্যে সম্পর্ক।
খ) দেখাও যে, S, G, O একই সরল রেখায় অবস্থিত।
সমাধানঃ
চিত্রে S হলো △ABC এর পরিকেন্দ্র এবং O হলো △ABC এর লম্ববিন্দু। AP হলো ত্রিভুজটির একটি মধ্যমা। S,O এর সংযোগ রেখা SO এবং AP পরস্পরকে G বিন্দুতে ছেদ করে। তাহলে G বিন্দু ভরকেন্দ্র হলে S, G, O একই সরল রেখায় অবস্থিত হবে।
এখন, ক হতে পাই, OA=2SP.
এখন যেহেতু AD ও SP উভয়ই BC এর ওপর লম্ব সেহেতু AD।।SP.
এখন AD।।SP এবং AP এদের ছেদক।
∴ ∠PAD=∠APS [একান্তর কোণ]
অর্থাৎ, ∠OAG=∠SPG.
এখন, △AGO এবং △PGS এর মধ্যে
∠OAG=∠SPG [একান্তর কোণ]
∠AGO=∠PGS [বিপ্রতীপ্ কোণ]
∴ অবশিষ্ট ∠AOG=অবশিষ্ট ∠PSG
∴ △AGO এবং △PGS সদৃশকোণী।
সুতরাং,
AG OA
AG 2SP
[(i) নং হতে]
বা, AG : GP = 2 : 1
অর্থাৎ G বিন্দু AP মধ্যমাকে 2 : 1 অনুপাতে বিভক্ত করেছে।
∴ G বিন্দু △ABC এর ভরকেন্দ্র।
অর্থাৎ S, G, O একই সরলরেখায় অবস্থিত (দেখানো হলো)
গ) ∠C সূক্ষ্মকোণ হলে, a.CD=b.CE সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত কর।
সমাধানঃ
AD⊥BC হওয়ায় △ABC এর ∠ACB সূক্ষ্মকোণ এবং CD, BC বাহুতে AC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।
∴ AB2=AC2+BC2-2BC.CD……(i)
এবং CE, AC বাহুতে BC বাহুর লম্ব অভিক্ষেপ।
∴ AB2=BC2+AC2-2AC.CE……(ii)
(i) ও (ii) নং হতে পাই,
AC2+BC2-2BC.CD=BC2+AC2-2AC.CE
বা, -2BC.CD=-2AC.CE
বা, BC.CD=AC.CE
বা, a.CD=b.CE [সমীকরণটি প্রতিষ্ঠিত হলো]
0 Comments