9-10 H Math 1.2

 

প্রথম অধ্যায়: সেট ও ফাংশন (Set and Function)

অনুশীলনী ১.২

১. {(2,2),(4,2),(2,10),(7,7)} অন্বয়ের ডোমেন কোনটি?

ক) {2,4,5,7}     খ)  {2,2,10,7}   

গ) {2,4,10,7}    ঘ) {2,4,7}

উত্তরঃ ক

২. S={(x,y):x∈A, y∈A এবং y=x²} এবং A={-2,-1,0,1,2} নিচের কোনটি S অন্বয়ের সদস্য?

ক) (2,4)    খ) (-4,4)   গ) (-1,1)   ঘ) (1,-1)

উত্তরঃ গ

[y=x² তে x=-1 বসালে y=(-1)²=1 হবে, অর্থাৎ (x,y)=(-1,1)]

৩. যদি S={(1,4),(2,1),(3,0),(4,1),(5,4)} হয় তবে,

(i) S অন্বয়ের রেঞ্জ {4,1,0}

(ii) S অন্বয়ের বিপরীত অন্বয়, S^-1={(4,1),(1,2),(0,3),(1,4),(4,5)}

(iii) S অন্বয়টি একটি ফাংশন

উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.    খ) ii. ও iii.    গ) i. ও iii.   ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ খ

৪. যদি F(x)=√(x-1) হয় তবে F(10)=কত?

ক) 9.    খ) 3.    গ) -3.    ঘ) √10.

উত্তরঃ খ

৫. S={(x,y) : x²+y²-25=0 এবং x≥0} হলে,

(i) অন্বয়টি ফাংশন নয়।

(ii) অন্বয়টির লেখচিত্র একটি অর্ধবৃত্ত।

(iii) অন্বয়টির লেখচিত্র x অক্ষের উপর অর্ধতলে থাকবে।

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.    খ) ii. ও iii.    গ) i. ও iii.   ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ক

৬. F(x)=√(x-1)=5 হলে x এর মান কত?

ক) 5.    খ) 24.     গ) 25.     ঘ) 26.

উত্তরঃ ঘ

৭. F(x)=√(x-1) ফাংশনটির ডোমেন নিচের কোনটি?

ক) ডোম F={x∈R : x≠1}    খ) ডোম F={x∈R : x≥1}

গ) ডোম F={x∈R : x≤1}     ঘ) ডোম F={x∈R : x>1}    

উত্তরঃ খ

৮. (i) নিচে প্রদত্ত S অন্বয়গুলোর ডোমেন, রেঞ্জ ও বিপরীত অন্বয় নির্ণয় কর।

(ii) S অথবা S^-1 অন্বয়গুলো ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

(iii) ফাংশনগুলো এক-এক কিনা নির্ধারণ কর।

ক) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}

খ) S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

গ) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)} 

ঘ) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

ঙ) S={(2,1),(2,2),(2,3)}

সমাধানঃ

(ক)

(i) এখানে, S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}

ডোম S={1,2,3,4}

রেঞ্জ S={5,10,15,20}

S^-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}

(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।

আবার, S^-1 অন্বয়েরও একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S^-1 অন্বয়টিও একটি ফাংশন।

(iii) S={(1,5),(2,10),(3,15),(4,20)}

S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।

∴S এক-এক ফাংশন।

আবার, S^-1={(5,1),(10,2),(15,3),(20,4)}

S^-1 ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন ভিন্ন।

∴S^-1 এক-এক ফাংশন।

(খ)

(i) এখানে, S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

ডোম S={-3,-2,-1,0,1,2,3}

রেঞ্জ R={-1,0,3,8}

S^-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}

(ii) এখানে S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।

আবার, S^-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (0,-1) এবং (0,1)। সুতরাং S^-1 একটি ফাংশন নয়।

(iii)  S={(-3,8),(-2,3),(-1,0),(0,-1),(1,0),(2,3),(3,8)}

এই ফাংশনের একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। কিন্তু দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে। যেমনঃ (-3,8) ও (3,8)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

∴S এক-এক ফাংশন নয়।

আবার,

S^-1={(8,-3),(3,2),(0,-1),(-1,0),(0,1),(3,2),(8,3)}

S^-1 এ একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট (0,-1) ও (0,1) ক্রমজোড় আছে। কাজেই এটি ফাংশন নয়। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

(গ)

(i) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)} 

ডোম S={½,1,5/2 }

রেঞ্জ S={-2,-1,0,1,2}

S^-1={(0,½), (1,1), (-1,1), (2,5/2),(-2,5/2)}

(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (1,1) এবং (1,-1)।

∴ S ফাংশন নয়।

S^-1  এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই।

∴ S^-1 একটি ফাংশন।

(iii) S={(½,0),(1,1),(1,-1),(0,0),(5/2,2),(5/2,-2)} 

যেহেতু S ফাংশন নয় তাই S এক-এক ফাংশন নয়।

S^-1={(0,½), (1,1), (-1,1), (2,5/2),(-2,5/2)}

S^-1 এর ফাংশনটির একই দ্বিতীয় উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমন (1,1) ও (-1,1)। সুতরাং এটি এক-এক ফাংশন নয়।

(ঘ)

(i) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

ডোম S={-3,-1,0,1,3}

রেঞ্জ S={-3,-1,0,13}

S^-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

(ii) S এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S একটি ফাংশন।

S^-1 এরও একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S^-1 একটি ফাংশন।

(iii) S={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

S ফাংশনের ডোমেনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S এক-এক ফাংশন।

S^-1={(-3,-3),(-1,-1),(0,0),(1,1),(3,3)}

S^-1 ফাংশনের ডোমনের ভিন্ন ভিন্ন সদস্যের প্রতিচ্ছবি ভিন্ন। সুতরাং S^-1 এক-এক ফাংশন।

(ঙ)

(i) S={(2,1),(2,2),(2,3)}

ডোম S={2}

রেঞ্জ S={1,2,3}

S^-1={(1,2),(2,2),(3,2)}

(ii) S এর একই প্রথম উপাদানবিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় আছে, যেমনঃ (2,1) ও (2,2)। সুতরাং S ফাংশন নয়।

S^-1 এর একই প্রথম উপাদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় নেই। সুতরাং S^-1 ফাংশন।

(iii) S ফাংশন নয় তাই এক-এক নয়।

S^-1 ফাংশনটির একই দ্বিতীয় উপদান বিশিষ্ট একাধিক ক্রমজোড় রয়েছে। যেমনঃ (1,2), (2,2), (3,2)।

সুতরাং ফাংশনটি S^-1 এক-এক নয়।

৯. F(x)=√(x-1) দ্বারা বর্ণিত ফাংশনের জন্য

ক) F(1), F(5) এবং F(10) নির্ণয় কর।

খ) F(a²+1) নির্ণয় কর যেখানে a∈R

গ) F(x)=5 হলে, x নির্ণয় কর।

ঘ) F(x)=y হলে, x নির্ণয় কর যেখানে y≥0।

সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)

∴ F(1)=√(1-1)=√0=0

F(5)=√(5-1)=√4=2

F(10)=√(10-1)=√9=3

(খ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1)

F(a²+1)= √(a²+1-1)= √a²=।a।

(গ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=5

∴ √(x-1)=5

বা, x-1=25 [বর্গ করে]

বা, x=25+1

বা, x=26

(ঘ) দেওয়া আছে, F(x)=√(x-1) এবং F(x)=y

∴ √(x-1)=y

বা, x-1=y² [বর্গ করে]

বা, x=1+y²

১০. F : R -àR, F(x)=x³ ফাংশনের জন্য

ক) ডোম F এবং রেঞ্জ F নির্ণয় কর।

খ) দেখাও যে, F এক-এক ফাংশন।

গ) F^-1 নির্ণয় কর।

ঘ) দেখাও যে, F^-1 একটি ফাংশন।

সমাধানঃ

ক) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x³

x এর যে সকল বাস্তব মানের জন্য F(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে সেগুলো F(x) এর ডোমেন হবে।

∴ ডোম F=R

আবার, x এর বাস্তব মানের জন্য y বা x³ ও বাস্তব হবে।

সুতরাং রেঞ্জ F=R.    

খ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x³

ধরি, x₁, x₂ ∈ ডোম F

∴ F(x₁)=F(x₂)

বা, x₁³=x₂³

বা, x₁=x₂

সুতরাং, F এক-এক ফাংশন (দেখানো হলো)

গ) দেওয়া আছে, F : R -àR, F(x)=x³

ধরি, F(x)=y

বা, x=F^-1(y)

এখন, y=x³

বা, x³=y

বা, x=y^1/3

∴ F^-1(y)=y^1/3

বা, F^-1(x)=x^1/3

ঘ) গ হতে পাই, F^-1(x)=x^1/3

এখানে, F^-1(x) এর ডোম =R এবং x এর সকল বাস্তক মানের জন্য F^-1(x)=x^1/3 এর একটি অনন্য মান পাওয়া যাবে।

∴ F^-1(x) একটি ফাংশন (দেখানো হলো)

১১. ক) f : R à R একটি ফাংশন যা f(x)=ax+b; a,b ∈ R দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

খ) f : [0,1]à[0,1]ফাংশনটি f(x)=√(1-x²) দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে, দেখাও যে, f এক-এক এবং সার্বিক।

সমাধানঃ

(ক) দেওয়া আছে, f(x)=ax+b

ধরি, x₁, x₂ ∈ ডোম f

এখন, f(x₁)=f(x₂) এর জন্য f এক-এক ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি x₁=x₂ হয়।

এখন, f(x₁)=ax₁+b এবং f(x₂)=ax₂+b

∴ f(x₁)=f(x₂)

বা, ax₁+b= ax₂+b

বা, ax₁=ax₂

বা, x₁=x₂

অতএব, প্রদত্ত ফাংশন এক-এক ফাংশন।

এখন ধরি, y=f(x)=ax+b

বা, y=ax+b

বা, ax=y-b

            y-b

বা, x=------------

              a

এখন, f(x)=ax+b

       y-b             y-b

∴ f(--------)=a.---------+b

         a                 a

            =y-b+b

            =y

            =f(x)

অতএব, ফাংশটি অনটু বা সার্বিক।

(খ) দেওয়া আছে, f(x)= √(1-x²)

তাহলে, f(a)= √(1-a²) এবং f(b)=√(1-b²)

যদি f(a)=f(b) হয়, তবে

√(1-a²)= √(1-b²)

বা, 1-a²=1-b²

বা, -a²=-b²

বা, a²=b²

বা, a=b

অতএব, ফাংশনটি এক-এক ফাংশন।

আবার ধরি, y=f(x)=√(1-x²)

বা, y²=1-x²

বা, x²=1-y²

বা, x=√(1-y²)

এখন, f(x)=√(1-x²)

f(√{1-y²})=√[1-{√(1-y²)}²]

          =√{1-(1-y²)}

          =√(1-1+y²)

          =√y²

          =y

          =f(x)

∴ ফাংশনটি সার্বিক বা অনটু।  

১২. ক) যদি f : RàR এবং g : RàR ফাংশনদ্বয় f(x)=x³+5 এবং g(x)=(x-5)^1/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে দেখাও যে, g=f^-1।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=x³+5 এবং g(x)=(x-5)^1/3

ধরি, y=f(x)=x³+5

বা, y=x³+5   এবং y=f(x)

বা, x³=y-5      বা, x=f^-1(y)…….(i)

বা, x=(y-5)^1/3……(ii)

(i) ও (ii) হতে,

f^-1(y)=(y-5)^1/3

বা, f^-1(x)=(x-5)^1/3

বা, f^-1(x)=g(x) [দেওয়া তথ্য হতে]

বা, g=f^-1 (দেখানো হলো)

খ) যদি f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4 দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়, তবে y=f^-1(x) নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f : RàR ফাংশনটি f(x)=5x-4

ধরি, a=f(x)=5x-4

বা, a=5x-4   অথবা, a=f(x)

বা, 5x=a+4      বা, x=f^-1(a)…..(i)

           a+4

বা, x=---------- …..(ii)

             5

(i) ও (ii) হতে পাই,

              a+4

f^-1(a)= -------------

                5

                  x+4

বা, f^-1(x)=-------------

                    5

                    x+4

∴ y=f^-1(x)=---------

                      5

১৩. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।

ক) S={(x,y) : 2x-y+5=0}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

2x-y+5=0

বা, y=2x+5 থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	-1
y	5	7	3

∴ L={(0,5),(1,7),(-1,3),(2,9),(-2,1)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

খ) S={(x,y) : x+y=1}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x+y=1

বা, y=1-x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	-2
y	1	0	3

∴ L={(0,1),(1,0),(-2,3)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

গ) S={(x,y) : 3x+y=4}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

3x+y=4

বা, y=4-3x থেকে x ও y এর কয়েকটি সংশ্লিষ্ট মান নিচের ছকে নির্ণয় করা হলো-

x	0	1	2
y	4	1	-2

∴ L={(0,4),(1,1),(2,-2)} ⊂S

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর S এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন।

ঘ) S={(x,y) : x=-2}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x=-2 তে y যুক্ত কোনো প্পদ নেই। y এর মান যাই হোক না কেন x এর মান সর্বদাই -2. S অন্বয়ের লেখচিত্র হলো y অক্ষের সমান্তরাল রেখা যা মূলবিন্দু হতে 2 একক বামে অবস্থিত।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল রেখার ওপর অসংখ্য বিন্দু আছে। সুতরাং এটি একটি ফাংশন নয়।

১৪. S অন্বয়ের লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং অন্বয়টি ফাংশন কিনা তা লেখচিত্র থেকে নির্ণয় কর।

ক) S={(x,y) : x²+y²=25}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x²+y²=25

বা, (x-0)²+(y-0)²=5²

∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 5. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 5 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে। নিচে তা দেখানো হলো।

লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,5) ও (0,-5) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।

খ) S={(x,y) : x²+y=9}

সমাধানঃ

S-এর বর্ণনাকারী সমীকরণ,

x²+y²=9

বা, (x-0)²+(y-0)²=3²

∴S এর লেখ একটি বৃত্ত যার কেন্দ্র (0,0) এবং ব্যাসার্ধ 3. ছক কাগজে (0,0) বিন্দু পাতন করে একে 3 একক ব্যাসার্ধ নিয়ে একটি বৃত্ত আকলেই S এর লেখ পাওয়া যাবে। নিচে তা দেখানো হলো।

লেখচিত্রে দেখা যায় y অক্ষের ওপর দুইটি বিন্দু (0,3) ও (0,-3) অবস্থিত। সুতরাং S একটি ফাংশন নয়।

১৫. দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

ক) F(x+1) এবং F(½)  এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

F(x+1)=2(x+1)-1

            =2x+2-1

            =2x+1

F(½)=2.(½)-1

            =1-1

            =0  

খ) F(x) ফাংশনটি এক.এক. কিনা তা যাচাই কর, যখন x,y∈R।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, F(x)=2x-1

∴ F(a)=2a-1 এবং F(b)=2b-1

এখন, F(a)=F(b) এর জন্য

2a-1=2b-1

বা, 2a=2b

বা, a=b

সুতরাং ফাংশনটি এক-এক।

গ) F(x)=y হলে x এর তিনটি পূর্ণ সাংখ্যিক মানের জন্য y এর মান নির্ণয় কর এবং y=2x-1 সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

F(x)=y

বা, F(x)=2x-1=y  [y=2x-1]

বা, 2x=y+1

বা, x=½(y+1)

এখন, y=1 হলে, ½(1+1)= ½✕2=1     

y=3 হলে, ½(3+1)= ½✕4=2    

y=5 হলে, ½(5+1)= ½✕6=3

∴ x এর তিনটি মান 1,2,3

এখানে, ক্রমজোড় তিনটি (1,1), (2,3), (3,5)

এবং এই তিনটি বিন্দু দ্বারা অঙ্কিত লেখচিত্র নিন্মরূপঃ

১৬. f : RàR এবং g : RàR ফাংশন দুইটি যথাক্রমে f(x)=3x+3 এবং g(x)=(x-3)/3 দ্বারা সংজ্ঞায়িত।

ক) g^-1(-3) এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

           x-3

g(x)=-------------

              3

ধরি, y=g(x)

            x-3

বা, y=-------------

               3

বা, 3y=x-3

বা, x=3y+3……..(i)

আবার, y=g(x)

বা, x=g^-1(y)…….(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

g^-1(y)=3y+3

বা, g^-1(-3)=3.(-3)+3

            =-9+3

            =-6

খ) f(x) সার্বিক ফাংশন কিনা তা নির্ধারণ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f : RàR এবং f(x)=3x+3

ধরি, y=f(x)

বা, y=3x+3

বা, 3x=y-3

             y-3

বা, x=-------------

               3

এখন, f(x)=3x+3

         y-3                y-3

∴ f (----------)=3.-----------+3

           3                   3

                        =y-3+3

                        =y

                        =f(x)

∴ ফাংশনটি সার্বিক।

গ) দেখাও যে, g=f^-1।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=3x+3

ধরি, y=f(x)

বা, y=3x+3

বা, 3x=y-3

           y-3

বা, x=--------- ….(i)

            3

এখন,

y=f(x)

বা, x=f^-1(y)……(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

            y-3

f^-1(y)=------------

              3

                  x-3

বা, f^-1(x)=----------....(iii)

                    3

আবার, দেওয়া আছে,

           x-3

g(x)=-------------……(iv)

              3

(iii) ও (iv) হতে পাই,

f^-1(x)=g(x)

বা, g=f^-1 (দেখানো হলো)

১৭. দেওয়া আছে, f(x)= √(x-4)

ক) f(x) এর ডোমেন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)= √(x-4)

x এর মান ডোমেন হলে f(x) এর মান হবে রেঞ্জ।

f(x) এর বাস্তব মান পাওয়া যাবে যদি এবং কেবল যদি

 x-4≥0 হয়

বা, x≥4 হয়।

সুতরাং ডোম f={x∈R : x≥4}

খ) f(x) এক-এক ফাংশন কিনা নির্ধারণ কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=√(x-4)

∴ f(a)= √(a-4)  এবং f(b)= √(b-4)

এখন, f(a)=f(b) এর জন্য ফাংশনটি এক-এক হবে যদি এবং কেবল যদি a=b হয়।

এখন, f(a)=f(b) হলে,

√(a-4)= √(b-4)

বা, a-4=b-4 [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, a=b

∴ ফাংশনটি এক-এক।

গ) f^-1(x) ফাংশন কিনা তা লেখচিত্রের সাহায্যে নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=√(x-4)

ধরি, y=f(x)

বা, x=f^-1(y)…….(i)

এবং y=f(x)=√(x-4)

বা, y=√(x-4)

বা, y²=x-4

বা, x-4=y²

বা, x=y²+4……(ii)

(i) ও (ii) হতে পাই,

f^-1(y)=y²+4

বা, f^-1(x)=x²+4

x এর কয়েকটি মানের জন্য f^-1(x) এর মান নির্ণয় করি।

x	-1	0	1
f-1(x)	5	4	5

L={(-1,5),(0,4),(1,5)}

এখন, উপরোক্ত বিন্দুগুলো নিয়ে নিচের লেখচিত্র আঁকি।

লেখচিত্রে, y অক্ষের সমান্তরাল কোনো রেখার ওপর f^-1(x) এর দুইটি বিন্দু নেই। সুতরাং এটি একটি ফাংশন। 

The End