প্রথম অধ্যায়ঃ সেট ও ফাংশন (Set and Function)
অনুশীলনী ১.১
১. (i) কোন সেটের সদস্য সংখ্যা 2n হলে, এর উপসেটের সংখ্যা হবে 4n।
(ii) সকল মূলদ সংখ্যার সেট Q={P/Q : p,q ∈ Z, q≠0}
(iii) a, b ∈ R; (a,b)={x:x∈R এবং a<x<b}
উপরের উক্তিগুলোর আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i ও ii খ) ii ও iii গ) i ও iii ঘ) i, ii ও iii
উত্তরঃ ঘ
প্রত্যেক n∈N এর জন্য An={n,2n,3n,……} হলে (২-৪) নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২. A1∩A2 এর মান নিচের কোনটি?
ক) A1 খ) A2 গ) A3 ঘ) A4
উত্তরঃ খ
[A1={1,2,3,4…..}; A2={2,4,6,………}
∴A1∩A2={2,4,6,………}=A2]
৩. নিচের কোনটি A3∩A6 এর মান নির্দেশ করে?
ক) A2 খ) A3 গ) A4 ঘ) A6
উত্তরঃ ঘ
৪. A2∩A3 এর পরিবর্তে নিচের কোনটি লেখা যায়?
ক) A3 খ) A4 গ) A5 ঘ) A6
উত্তরঃ ঘ
৫. দেওয়া আছে, U={x:1≤x≤20, x∈Z}, A={x;x বিজোড় সংখ্যা} এবং B={x;x মৌলিক সংখ্যা}। নিচের সেটগুলো তালিকা পদ্ধতিতে লিপিবদ্ধ করঃ
ক) A খ) B গ) C={x:x∈A এবং x∈B} ঘ) D={x:x∈A অথবা x∈B}
সমাধানঃ
U={x:1≤x≤20, x∈Z}
={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}
(ক) A={x;x বিজোড় সংখ্যা}
∴ A={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
(খ) B={x;x মৌলিক সংখ্যা}
∴ B={3,5,7,11,13,17,19}
(গ) C={x:x∈A এবং x∈B}
={x:x∈A∩B}
এখন, A∩B
={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∩{3,5,7,11,13,17,19}
={3,5,7,11,13,17,19}
={x:x মৌলিক সংখ্যা এবং x≤20}
∴ C={3,5,7,11,13,17,19}
(ঘ) D={x:x∈A অথবা x∈B}
={x:x∈A∪B}
এখন, A∪B
={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}∪{3,5,7,11,13,17,19}
={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
={x:x বিজোড় সংখ্যা এবং 3≤x≤20}
∴ D={1,3,5,7,9,11,13,15,17,19}
৬. ভেনচিত্রে A ও B সেটের উপাদানগুলোর সংখ্যা দেখানো হয়েছে। যদি n(A)=n(B) হয়, তবে নির্ণয় কর
ক) x এর মান
খ) n(AUB)
গ) n(B/A)
সমাধানঃ
(ক) ভেনচিত্র থেকে পাই,
n(A)=3x+x
n(B)=x+2x+8
প্রশ্নানুসারে,
n(A)=n(B)
বা, 3x+x=x+2x+8
বা, 4x=3x+8
বা, 4x-3x=8
বা, x=8
(খ) ভেনচিত্র থেকে পাই,
n(AUB)
=3x+x+2x+8
=6x+8
=6✕8+8 [x=8]
=48+8
=56
(গ) ভেনচিত্র থেকে পাই,
n(B/A)
=(x+2x+8)-(3x+x)
=3x+8-3x-x
=8-x
=8-8 [x=8]
=0
৭. যদি U={x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা} A={x:x≥5}⊂U এবং B={x:5x<12}⊂U তবে n(A∩B) এবং n(A’∪B) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
U={x:x ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা}
={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,……….}
A={x:x≥5}⊂U
={5,6,7,8,9,10,……….}
B={x:5x<12}⊂U
={1,2} [x এর মান 1,2 হলে 5x<12 হবে]
এখন,
A’=U-A
={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…….}-{5,6,7,8,9,10,…..}
={1,2,3,4}
তাহলে,
(A∩B)
={5,6,7,8,9,10,……….}∩{1,2}
= ∅
∴ n(A∩B)=0
আবার,
(A’∪B)
={1,2,3,4}∪{1,2}
={1,2,3,4}
∴ n(A’∪B’)=4
৮. যদি U={x:x জোড় পূর্ণসংখ্যা} A={x:3x≥25}⊂U এবং B={x:5x<12}⊂U তবে n(A∩B) এবং n(A’∩B’) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
U={x:x জোড় পূর্ণসংখ্যা}
={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}
A={x:3x≥25}⊂U
={10,12,14,……}
B={x:5x<12}⊂U
={….,-4,-2,0,2}
A’=U-A
={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}-{10,12,14,……}
={…,-4,-2,0,2,4,6,8}
B’=U-B
={…,-4,-2,0,2,4,6,8,10,12,14,……..}- {….,-4,-2,0,2}
={4,6,8,10,……}
এখন,
(A∩B)
={10,12,14,……}∩{….,-4,-2,0,2}
=∅
∴ n(A∩B)=0
আবার,
(A’∩B’)
={…,-4,-2,0,2,4,6,8}∩{4,6,8,10,……}
={4,6,8}
∴ n(A’∩B’)=3
৯. দেখাও যে, ক) A/A=∅ খ) A/(A/A)=A।
সমাধানঃ
(ক) ধরি, x∈A/A
তাহলে, x∈A এবং x∉A
বা, x∈(A∩A’)
বা, x∈∅
∴ A/A⊂∅
আবার, ∅⊂A/A
∴ A/A=∅ [দেখানো হলো]
(খ) ধরি, x∈A/(A/A)
তাহলে, x∈A এবং x∉A/A
বা, x∈A এবং x∉∅ [A/A=∅; ক হতে]
বা, x∈A
∴ A/(A/A) ⊂ A
আবার ধরি, x∈A
তাহলে, x∈A এবং x∉∅
বা, x∈A এবং x∉(A/A)
বা, x∈A/(A/A)
∴ A⊂ A/(A/A)
সুররাং, A/(A/A)=A [দেখানো হলো]
১০. দেখাও যে, A✕(BUC)=(A✕B)U(A✕C)।
সমাধানঃ
সংজ্ঞানুসারে,
A✕(BUC)
={(x,y) : x ∈ A, y ∈ (BUC)}
={(x,y) : x ∈ A, (y ∈ B অথবা y ∈ C)}
={(x,y) : (x ∈ A, y ∈ B) অথবা (x ∈ A, y ∈ C)}
={(x,y) : (x,y) ∈ (A✕B) অথবা (x,y) ∈ (A✕C)}
={(x,y) : (x,y) ∈ (A✕B) U (A✕c)}
=(A✕B) U (A✕C)
∴ A✕(BUC) ⊂ (A✕B)U(A✕C)
আবার,
(A✕B)U(A✕C)
={(x,y) : (x,y) ∈ A✕B অথবা (x,y) ∈ A✕C}
={(x,y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা x ∈ A, y ∈ C}
={(x,y) : x ∈ A, y ∈ B অথবা y ∈ C}
={(x,y) : x ∈ A, y ∈ (BUC)}
={(x,y) : (x,y) ∈ A✕(BUC)
= A✕(BUC)
∴ (A✕B)U(A✕C) ⊂ A✕(BUC)
সুতরাং, A✕(BUC)=(A✕B)U(A✕C) [দেখানো হলো]
১১. যদি A⊂B এবং C⊂D হয় তবে দেখাও যে, (A✕C) ⊂ (B✕D)
সমাধানঃ
ধরি, (x,y) ∈ (A✕C)
তাহলে,
x ∈ A, y ∈ C
বা, x ∈ B, y ∈ D [A⊂B এবং C⊂D]
বা, (x,y) ∈ (B✕D)
∴ (A✕C) ⊂ (B✕D) [দেখানো হলো]
১২. দেখাও যে, A={1,2,3,…n} এবং B={1,2,2n, …, 2n-1} সেট দুইটি সমতুল।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A={1,2,3,…n} এবং B={1,2,2n, …, 2n-1}
A ও B সেটদ্বয়ের মধ্যে একটি এক-এক মিল নিন্মে দেখানো হলোঃ
A: | B: | |
1 2 3 … n | ß-------à ß-------à ß-------à | 1 2 22 |
১৩. দেখাও যে, স্বাভাবিক সংখ্যাসমূহের বর্গের সেট S={1,4,9,16,25,36,…..} একটি অনন্ত সেট।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, S={1,4,9,16,25,36,…..}
={12,22,32,42,52,62,……..n2,……}
স্বাভাবিক সংখ্যার সেট N={1,2,3,…….n…….}
এখন আমরা N ও S এর মধ্যে একটি এক-এক মিল নিন্মোক্তভাবে দেখাতে পারি,
N: | S: | |
1 2 3 4 … n … | ß-----à ß-----à ß-----à ß-----à | 1 4 9 16 … n2 … |
সুতরাং, N ও S সমতুল। যেহেতু N স্বাভাবিক সংখ্যার সেট, N একটি অনন্ত সেট।
সুতরাং, S সেটটি ও একটি অনন্ত সেট। (দেখানো হলো)
১৪. প্রমাণ কর যে, n(A)=p, n(B)=q এবং A∩B=∅ হলে n(A∪B)=p+q।
সমাধানঃ
আমরা জানি, যে কোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
এখানে, n(A)=p, n(B)=q এবং A∩B=∅
∴ n(A∪B)=p+q+n(∅)
বা, n(A∪B)=p+q+0
বা, n(A∪B)=p+q (প্রমাণিত)
১৫. প্রমাণ কর যে, A,B,C সান্ত সেট হলে, n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)
সমাধানঃ
আমরা জানি, যে কোনো সান্ত সেট A ও B এর জন্য
n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)
এখন, n(A∪B∪C)=n[A∪(B∪C)]
=n(A)+n(B∪C)-n[A∩(B∪C)]
=n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n[A∩B)∪(A∩C)]
= n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)+n[A∩B)∩(A∩C)]
= n(A)+n(B)+n(C)-n(B∩C)-n(A∩B)-n(A∩C)+n(A∩B∩C)
∴ n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C) (প্রমাণিত)
১৬. A={a,b,x} এবং B={c,y} সার্বিক সেট U={a,b,c,x,y,z} এর উপসেট হলে,
ক) যাচাই কর যে, (i) A⊂B’ (ii) A∪B’=B’ (iii) A’∩B=B
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A={a,b,x} এবং B={c,y} সার্বিক সেট U={a,b,c,x,y,z}
(i) B’=U-B
={a,b,c,x,y,z}-{c,y}
={a,b,x,z}
∴ A⊂B’ (যাচাই করা হলো)
(ii) B’=U-B
={a,b,c,x,y,z}-{c,y}
={a,b,x,z}
A∪B’={a,b,x}∪{a,b,x,z}={a,b,x,z}
∴ A∪B’=B’ (যাচাই করা হলো)
(iii) A’=U-A={a,b,c,x,y,z}-{a,b,x}={c,y,z}
A’∩B={c,y,z}∩{c,y}={c,y}=B
∴ A’∩B=B (যাচাই করা হলো)
খ) নির্ণয় করঃ (A∩B)∪(A∩B’)
সমাধানঃ
A∩B={a,b,x}∩{c,y}=∅
B’=U-B
={a,b,c,x,y,z}-{c,y}
={a,b,x,z}
∴ A∩B’={a,b,x}∩{a,b,x,z}={a,b,x}
সুতরাং, (A∩B)∪(A∩B’)= ∅∪{a,b,x}={a,b,x}
১৭. কোনো শ্রেণির 30 জন শিক্ষার্থীর মধ্যে 19 জন অর্থনীতি, 17 জন ভূগোল, 11 জন পৌরনীতি, 12 জন অর্থনীতি ও ভূগোল, 4 জন পৌরনীতি ও ভূগোল, 7 জন অর্থনীতি ও পৌরনীতি এবং 3 জন তিনটি বিষয়ই নিয়েছে। কতজন শিক্ষার্থী তিনটি বিষয়ে কোনটিই নেয়নি?
সমাধানঃ
মনে করি, মোট শিক্ষার্থীর সেট S, অর্থনীতি নেওয়া শিক্ষার্থীর সেট E, ভূগোল নেওয়া শিক্ষার্থীর সেট G এবং পৌরনীতি নেওয়া শিক্ষার্থীর সেট C. তিনটির অন্তত যে কোনো একটি নিয়েছে এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা (E∪G∪C). সুতরাং তিনটির কনটাই নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা=n(S)-n(E∪G∪C).
এখানে, n(E)=19, n(G)=17, n(C)=11, n(E∩G)=12, n(C∩G)=4, n(E∩C)=7, n(E∩G∩C)=5.
এখন, n(E∪G∪C)=n(E)+n(G)+n(C)-n(G∩C)-n(E∩G)-n(E∩C)+n(E∩G∩C)
=19+17+11-4-12-7+5
=52-23
=29
∴ কোন বিষয় নেয়নি এমন শিক্ষার্থীর সংখ্যা= n(S)-n(E∪G∪C)=30-29=1.
১৮. নিচের ভেনচিত্রে সার্বিক সেট U=A∪B∪C
ক) যদি n(A∩B)=n(B∩C) হয়, তবে x এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, n(A∩B)=n(B∩C)
বা, x=4 [ভেনচিত্র হতে]
খ) যদি n(B∩C’)=n(A’∩C) হয়, তবে y এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, n(B∩C’)=n(A’∩C)
বা, x+6=4+y (ভেনচিত্র হতে)
বা, 4+6=4+y [x=4]
বা, 6=y
বা, y=6
গ) n(U) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
n(U)=8+x+6+4+y [ভেনচিত্র হতে]
=8+4+6+4+6 [x=4, y=6]
=28
১৯. নিচের ভেনচিত্রে U=A∪B∪Cএবং n(U)=50.
ক) x এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
n(U)=x+5+2+3+0+2x+x+1+x-1 [ভেনচিত্র হতে]
=5x+10
দেওয়া আছে, n(U)=50
∴ 5x+10=50
বা, 5x=50-10
বা, 5x=40
বা, x=40/5
বা, x=8
খ) n(B∩C’) এবং n(A’∩B) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
n(B∩C’)=x+1+x-1 [ভেনচিত্র হতে]
=2x
=2.8 [x=8]
=16
n(A’∩B)=0+x-1 [ভেনচিত্র হতে]
=x-1
=8-1 [x=8]
=7
গ) n(A∩B∩C’) এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
n(A∩B∩C’)=x+1 [ভেনচিত্র হতে]
=8+1
=9
২০. তিনটি সেট A, B এবং C এমনভাবে দেওয়া আছে যেন, A∩B=∅, A∩C=∅ এবং C⊂B। ভেনচিত্র অঙ্কন করে সেটগুলোর ব্যাখ্যা দাও।
সমাধানঃ
প্রদত্ত তথ্য মতে, সেটগুলোকে ভেনচিত্রে দেখানো হলোঃ
A∩B=∅
ব্যাখ্যাঃ সেট A ও B এর মধ্য কোনো সাধারণ উপাদান নাই। অর্থাৎ A ও B নিশ্চেদ সেট।
A∩C=∅
ব্যাখ্যাঃ সেট A ও C এর মধ্য কোনো সাধারণ উপাদান নাই। অর্থাৎ A ও C নিশ্চেদ সেট।
C⊂B
ব্যাখ্যাঃ সেট C ও B এর মধ্যে সাধারণ উপাদান আছে। C সেটের সব উপাদান B সেটে আছে।
২১. দেওয়া আছে, A={x:2<x≤5, x∈R}, B={x:1≤x<3,x∈R} এবং C={2,4,5}। নিন্মের সেটগুলো গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) A∩B খ) A’∩B’ গ) A’∪B
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A={x:2<x≤5, x∈R}, B={x:1≤x<3,x∈R} এবং C={2,4,5}
ক) A∩B={x:2<x≤5, x∈R}∩{x:1≤x<3,x∈R}
={x:2<x<3,x∈R}
খ) এখানে, U=R
∴ A∪B={x:2<x≤5, x∈R}∪{x:1≤x<3,x∈R}
={x:1≤x≤5,x∈R}
ডি. মরগানের সূত্রানুসারে,
A’∩B’=(A∪B)’
=U-(A∪B)
=R-{x:1≤x≤5,x∈R}
={x : x < 1 অথবা x>5, x ∈ R}
গ) এখানে, U=R
A’=U-A
=R-{x:2<x≤5, x∈R}
={x:x≤2 অথবা x>5, x∈R}
A’∪B={x:x≤2 অথবা x>5, x∈R}∪{x:1≤x<3,x∈R}
={x:x<3 অথবা x>5, x∈R}
২২. দেওয়া আছে, U={x:x<10, x∈R}, A={x:1<x≤4} এবং B={x:3≤x<6}. নিন্মের সেটগুলো সেট গঠন পদ্ধতিতে প্রকাশ করঃ
ক) A∩B খ) A’∩B গ) A∩B’ ঘ) A’∩B’
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
U={x:x<10, x∈R}, A={x:1<x≤4} এবং B={x:3≤x<6}
ক) A∩B={x:1<x≤4}∩{x:3≤x<6}
={x:3≤x≤4}
খ) A’=U-A
={x:x<10, x∈R}-{x:1<x≤4}
={x:x≤1 অথবা 4<x<10}
A’∩B={x:x≤1 অথবা 4<x<10}∩{x:3≤x<6}
={x:4<x<6}
গ) B’=U-B
={x:x<10, x∈R}-{x:3≤x<6}
={x:x≤3 অথবা 6≤x<10}
A∩B’={x:1<x≤4}∩{x:x≤3 অথবা 6≤x<10}
={x:1<x<3}
ঘ) AUB={x:1<x≤4}U{x:3≤x<6}
={x:1<x<6}
ডি. মরগানের সূত্রানুসারে,
A’∩B’=(AUB)’
=U-(AUB)
={x:x<10, x∈R}-{x:1<x<6}
={x:x≤1 অথবা 6≤x<10}
২৩. নিন্মে প্রতিক্ষেত্রে A ও B সেট দেওয়া আছে, A∪B নির্ণয় কর এবং যাচাই কর যে, A⊂(A∪B) এবং B⊂(A∪B)।
ক) A={-2,-1,0,1,2} এবং B={-3,0,3}
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A={-2,-1,0,1,2} এবং B={-3,0,3}
A∪B={-2,-1,0,1,2}∪{-3,0,3}
={-3,-2,-1,0,1,2,3}
∴ A⊂(A∪B) এবং B⊂(A∪B) [যাচাই করা হলো]
খ) A={x:x∈N, x<10 এবং x,2 এর গুণিতক} এবং B={x:x∈N, x<10 এবং x,3 এর গুণিতক}
সমাধানঃ
A={x:x∈N, x<10 এবং x,2 এর গুণিতক}
={2,4,6,8}
B={x:x∈N, x<10 এবং x,3 এর গুণিতক}
={3,6,9}
তাহলে, A∪B={2,4,6,8}∪{3,6,9}
={2,3,4,6,8,9}
∴ A⊂(A∪B) এবং B⊂(A∪B) [যাচাই করা হলো]
২৪. নিন্মের প্রতিক্ষেত্রে A∩B নির্ণয় কর এবং যাচাই কর যে, (A∩B)⊂A এবং (A∩B)⊂B।
ক) A={0,1,2,3}, B={-1,0,2}
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A={0,1,2,3}, B={-1,0,2}
∴ A∩B={0,1,2,3}∩{-1,0,2}
={0,2}
∴ (A∩B)⊂A এবং (A∩B)⊂B [যাচাই করা হলো]
খ) A={a,b,c,d} B={b,x,c,y}
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A={a,b,c,d} B={b,x,c,y}
∴ A∩B={a,b,c,d}∩{b,x,c,y}
={b,c}
∴ (A∩B)⊂A এবং (A∩B)⊂B [যাচাই করা হলো]
২৫. বেগম রোকেয়া কলেজের ছাত্রীদের মধ্যে বিচিত্রা, সন্ধানী ও পূর্বাণী পত্রিকার পাঠ্যাভাস সম্পর্কে পরিচালিত এক সমীক্ষায় দেখা গেল 60% ছাত্রী বিচিত্র, 50% ছাত্রী সন্ধানী, 50% ছাত্রী পূর্বাণী, 30% ছাত্রী বিচিত্রা ও সন্ধানী, 30% ছাত্রী বিচিত্রা ও পূর্বাণী, 20% ছাত্রী সন্ধানী ও পূর্বাণী এবং 10% ছাত্রী তিনটি পত্রিকাই পড়ে।
ক) শতকরা কতজন ছাত্রী উক্ত পত্রিকা তিনটির কোনটাই পড়ে না?
খ) শতকরা কতজন ছাত্রী উক্ত পত্রিকাগুলোর মধ্যে কেবল দুইটি পড়ে?
সমাধানঃ
ধরি, সকল ছাত্রীর সেট U, বিচিত্রা পড়া ছাত্রীর সেট B, সন্ধানী পড়া ছাত্রীর সেট S, পূর্বাণী পড়া ছাত্রীর সেট P.
∴ শতকরা n(U)=100%, n(B)=60%, n(S)=50%, n(P)=50%, n(B∩S)=30%, n(B∩P)=30%, n(P∩S)=20%, n(P∩B∩S)=10%
(ক)
তিনটি পত্রিকার অন্তত একটি পড়ে এমন শিক্ষার্থীর সেট n(B∪P∪S) [ভেনচিত্রে দ্রষ্টব্য]
এখন, n(B∪P∪S)
=n(B)+n(S)+n(P)-n(B∩P)-n(B∩S)-n(P∩S)+n(B∩P∩S)
=60%+50%+50%-30%-30%-20%+10%
=90%
তিনটির কোনটাই পড়ে না এমন ছাত্রীর সংখ্যা
=n(U)-n(B∪P∪S) [ভেনচিত্রের সাদা অংশ]
=100%-90%
=10%
(খ)
শুধু বিচিত্রা এবং পূর্বাণী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা
=n(B∩P)-n(B∩P∩S)
=30%-10%
=20%
শুধু বিচিত্রা এবং সন্ধানী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা
=n(B∩S)-n(B∩P∩S)
=30%-10%
=20%
শুধু পূর্বাণী এবং সন্ধানী পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা
=n(P∩S)-n(P∩B∩S)
=20%-10%
=10%
তাহলে, কেবল দুইটি পত্রিকা পড়ে এমন ছাত্রীর সংখ্যা
=20%+20%+10%=50%
২৬. A={x:x∈R এবং x2-(a+b)x+ab=0}, B={1,2} এবং C={2,4,5}
ক) A সেটের উপাদানসমূহ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
A={x:x∈R এবং x2-(a+b)x+ab=0}
={x:x∈R এবং x2-ax-bx+ab=0}
={x:x∈R এবং x(x-a)-b(x-a)=0}
={x:x∈R এবং (x-b)(x-a)=0}
={x:x∈R এবং x=a,b}
∴ A সেটের উপাদানসমূহ a ও b
খ) দেখাও যে, P(B∩C)=P(B)∩P(C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
B={1,2} এবং C={2,4,5}
∴ B∩C={1,2}∩{2,4,5}={2}
তাহলে, P(B∩C)={{2},∅}
আবার,
P(B)={{1},{2},{1,2},∅}
P(C)={{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5},∅}
∴ P(B)∩P(C)= {{1},{2},{1,2},∅}∩{{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5},{2,4,5},∅}
={{2},∅}
সুতরাং, P(B∩C)=P(B)∩P(C) [দেখানো হলো]
গ) প্রমাণ কর যে, A✕(B∪C)=(A✕B)∪(A✕C)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
B={1,2} এবং C={2,4,5}
এবং A={a,b} [ক হতে]
∴ B∪C={1,2}∪{2,4,5}
={1,2,4,5}
বামপক্ষ
=A✕(B∪C)
={a,b}✕{1,2,4,5}
={(a,1),(a,2),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,4),(b,5)}
আবার,
A✕B={a,b} ✕{1,2}
={(a,1).(a,2),(b,1),(b,2)}
A✕C={a,b}✕{2,4,5}
={(a,2),(a,4),(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)}
ডানপক্ষ
=(A✕B)∪(A✕C)
={(a,1).(a,2),(b,1),(b,2)}∪{(a,2),(a,4),(a,5),(b,2),(b,4),(b,5)}
={(a,1),(a,2),(a,4),(a,5),(b,1),(b,2),(b,4),(b,5)}
∴ A✕(B∪C)=(A✕B)∪(A✕C) [প্রমাণিত]
২৭. একটি শ্রেণির 100 জন ছাত্রের মধ্যে 42 জন ফুটবল, 46 জন ক্রিকেট এবং 39 জন দাবা খেলে। এদের মধ্যে 13 জন ফুটবল ও ক্রিকেট, 14 জন ক্রিকেট ও দাবা এবং 12 জন ফুটবল ও দাবা খেলতে পারে। এছাড়া 7 জন কোনো খেলায় পারদর্শী নয়।
ক) উল্লিখিত তিনটি খেলায় পারদর্শী এমন ছাত্রদের সেট এবং কোন খেলায় পারদর্শী নয় এমন ছাত্রদের সেট ভেনচিত্রে দেখাও।
সমাধানঃ
ধরি, সকল ছাত্রের সেট U. ফুটবল খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সেট F, ক্রিকেট খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সেট C, হকি খেলায় পারদর্শী ছাত্রদের সেট H.
n(U)=100, n(F)=42, n(C)=46, n(H)=39, n(F∩C)=13, n(C∩H)=14, n(F∩H)=12, n(F∩C∩H)=7
প্রদত্ত তথ্যের ভেনচিত্র নিন্মরূপঃ
খ) কতজন ছাত্র উল্লিখিত তিনটি খেলায়ই পারদর্শী তা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
n(F∪C∪H)’=n(U)-n(F∪C∪H)
বা, 7=100- n(F∪C∪H)
∴ n(F∪C∪H)=93
এখন,
n(F∪C∪H)=n(F)+n(C)+n(H)-n(F∩C)-n(F∩H)-n(C∩H)+n(F∩C∩H)
বা, 93=42+46+39-13-12-14+n(F∩C∩H)
বা, n(F∩C∩H)+88=93
বা, n(F∩C∩H)=93-88
বা, n(F∩C∩H)=5
∴তিনটি খেলায় পারদর্শী শিক্ষার্থীর সংখ্যা 5 জন।
গ) কতজন ছাত্র কেবলমাত্র একটি খেলায় পারদর্শী? কতজন অন্তত দুইটি খেলায় পারদর্শী?
সমাধানঃ
কেবল ফুটবল খেলে
=n(F)-n(F∩C)-n(F∩H)+n(F∩C∩H)
=42-13-12+5
=22
কেবল ক্রিকেট খেলে
=n(C)-n(F∩C)-n(C∩H)+n(F∩C∩H)
=46-13-14+5
=24
কেবল হকি খেলে
=n(H)-n(H∩C)-n(F∩H)+n(F∩C∩H)
=39-14-12+5
=18
∴কেবলমাত্র একটি খেলায় পারদর্শী
=22+24+18
=64 জন
কেবল ফুটবল ও ক্রিকেট খেলে
=n(F∩C)-n(F∩C∩H)
=13-5
=8
কেবল ক্রিকেট ও হকি খেলে
=n(C∩H)-n(F∩C∩H)
=14-5
=9
কেবল ফুটবল ও হকি খেলে
=n(F∩H)-n(F∩C∩H)
=12-5
=7
∴অন্তত দুটি খেলায় পারদর্শী শিক্ষার্থীর সংখ্যা
=8+9+7+5
=29 জন।
২৮. P(∅), P({∅}) সেট নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
P(∅)={∅}
P({∅})={∅,∅}={∅}
২৯. এক গ্রামে এক মিস্ত্রী ছিল। সে তাদের ঘর তৈরি করতো যারা নিজেরা নিজেদের ঘর তৈরি করতো না। মিস্ত্রীর ঘর কে তৈরি করতো?
সমাধানঃ
ধরি, গ্রামের সকল সদস্যদের সেট U
মিস্ত্রী ও তাঁর পরিবারের সেট A
∴মিস্ত্রীর ঘর তৈরি করবে তাদের সেট A'
∴মিস্ত্রীর ঘর তৈরি করবে A' সেটের সদস্যরা।
৩০. A={x:x∉A}। সেট A নিয়ে বিস্তৃত আলোচনা কর।
সমাধানঃ
A সেটের শর্তমতে, A সেটের সদস্য হবে x এর মান সমূহ। আবার, x, A এর উপাদান হতে পারবে না।
x এর এমন কোন মান নেই যা A সেটের সদস্য কিন্তু A এর উপাদান নয়।
তাহলে, A একটি ফাঁকা সেট।
∴ A=∅
The End
0 Comments