9-10 H Math 9.2

 অনুশীলনী-৯.২

১. প্রশ্ন ১ এর চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরূপঃ

উত্তরঃ ঘ

[প্রদত্ত ঘাতসমূহের ঘাতগুলো গুণ করে সরলমান x পাওয়া যায়]

২. যদি a, b, p > 0 এবং a ≠ 1, b ≠ 1 হয়, তবে

i. log_ap = log_bp✕log_ab

ii. log_a√a✕log_b√b✕log_c√c এর মান 2

iii. x^logay = y^logax

উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক. i, ii    খ. ii, iii    গ. I, iii ঘ. i, ii, iii

উত্তরঃ গ

[ (i) সুত্রানুসারে।

(ii) log_a√a✕log_b√b✕log_c√c

= log_aa^1/2✕log_bb^1/2✕log_cc^1/2

= ½ log_aa✕ ½ log_bb✕ ½ log_cc

= ½ ✕1✕ ½ ✕1✕ ½ ✕1

= ¹/₈  

(iii) ধরি, p = log_ay এবং q = log_ax

সুতরাং, a^p = y  এবং a^q = x

বা, (a^p)^q = y^q    বা, (a^q)^p = x^p

বা, y^q = a^pq         বা, x^p = a^pq

তাহলে,

x^p = y^q

বা, x^logay = y^logax ]

৩-৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাও যখন x, y, z ≠ 0 এবং a^x = b^y = c^z

৩. কোনটি সঠিক?

ক) a = b^y/z  খ) a = c^z/y   গ) a = c^z/x    ঘ) a ≠ ^b2/_c

উত্তরঃ গ

[a^x = c^z

বা, a = (c^z)^1/x = c^z/x]

৪. নিচের কোনটি ac এর সমান?

ক) b^y/x.b^y/z    খ) b^y/x.b^z/y   গ) b^y/x+z/y   ঘ) b^z/y+y/z

উত্তরঃ ক

[ a^x = b^y

বা, a = (b^y)^1/x = b^y/x

c^z = b^y

c = (b^y)^1/z = b^y/z

অতএব, ac = b^y/x.b^y/z]    

৫. b² =ac হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক) ¹/_x+¹/_z = ²/_y

খ) ¹/_x+¹/_y = ²/_z

গ) ¹/_y+¹/_z = ²/_x

ঘ) ¹/_x+¹/_y = ^z/₂

উত্তরঃ ক

[a^x=b^y; অতএব, a=b^y/x

c^z=b^y; অতএব, c=b^y/z

এখন,

b²=ac=b^y/x.b^y/z=b^y/x+y/z

বা, ^y/_x+^y/_z=2

বা, ¹/_x+¹/_z=²/_y]

৬. দেখাও যে,

ক) log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ) = 0

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= log_k(aⁿ/bⁿ) + log_k(bⁿ/cⁿ) + log_k(cⁿ/aⁿ)

          aⁿ  bⁿ  cⁿ

=log_k---.---.---

          bⁿ cⁿ  aⁿ

=log_k1

= 0

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

খ) log_k(ab) log_k(^a/_b) + log_k(bc) log_k(^b/_c) + log_k(ca) log_k(^c/_a) = 0

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= log_k(ab) log_k(^a/_b) + log_k(bc) log_k(^b/_c) + log_k(ca) log_k(^c/_a)

=(log_ka+ log_kb)( log_ka- log_kb)+( log_kb+ log_kc)( log_kb- log_kc)+( log_kc+ log_ka)( log_kc- log_ka)

=( log_ka)²- (log_kb)²+( log_kb)²-( log_kc)²+( log_kc)²-( log_ka)²

= 0

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

গ) log_√ab✕log_√bc✕log_√ca = 8

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= log_√ab✕log_√bc✕log_√ca

= log_√a(√b)² ✕log_√b (√c)² ✕log_√c (√a)²

= 2log_√a^√b ✕2log_√b^√c ✕2log_√c^√a

= 8log_√a^√b ✕log_√b^√c ✕log_√c^√a

= 8log_√a^√b ✕log_√b^√a [যেহেতু, log_ap = log_ab*log_bp]

= 8log_√a^√a [যেহেতু, log_ap = log_ab*log_bp]

= 8.1

= 8

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

ঘ) log_a log_a log_a (a^aab) = b

সমাধানঃ

বামপক্ষ

= log_a log_a log_a (a^aab)

= log_a log_a a^ablog_aa [যেহেতু, log_ap^r=rlog_ap]

= log_a log_a a^ab.1

= log_a a^b log_aa

= log_a a^b .1

= blog_aa

= b.1

= b

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

৭.

ক) যদি

log_ka    log_kb    log_kc

------  =-------   =--------

b-c        c-a        a-b

হয়, তবে দেখাও যে, a^ab^bc^c = 1

সমাধানঃ

ধরি,

log_ka    log_kb    log_kc

------  =-------  =--------=m

b-c        c-a        a-b

অতএব,

log_ka = m(b-c)

বা,  alog_ka = am(b-c) [উভয়পক্ষকে a দ্বারা গুণ করে]

বা, log_ka^a = m(ab-ac)…………..(i)

আবার,

log_kb = m(c-a)

বা, blog_kb = bm(c-a) [উভয়পক্ষকে b দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kb^b = m(bc-ab)………..(ii)

এবং

log_kc = m(a-b)

বা, c log_kc = cm(a-b) [উভয়পক্ষকে c দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kc^c = m(ac-bc)………..(iii)

এখন, (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

log_ka^a +  log_kb^b  + log_kc^c = m(ab-ac+bc-ab+ac-bc)

বা, log_ka^a +  log_kb^b  + log_kc^c = m ✕ 0

বা, log_ka^a +  log_kb^b  + log_kc^c = 0

বা, log_ka^ab^bc^c = log_k1

বা,  a^ab^bc^c = 1 (দেখানো হলো)

খ) যদি

log_ka    log_kb    log_kc

------   =-------  =--------

y-z        z-x         x-y

হয়, তবে দেখাও যে,

(১) a^y+z b^z+x c^x+y = 1

(২) a^y2+yz+z2.b^z2+zx+x2.c^x2+xy+y2 = 1

সমাধানঃ (১)

ধরি,

log_ka    log_kb    log_kc

------  =-------  =--------=m

y-z        z-x         x-y

তাহলে,

log_ka = (y-z)m

বা, (y+z)log_ka = (y+z)(y-z)m [উভয়পক্ষকে y+z দ্বারা গুণ করে]

বা, log_ka^y+z = (y²-z²)m…………..(i)

আবার,

log_kb = (z-x)m

বা, (z+x) log_kb = (z+x)(z-x)m [উভয়পক্ষকে z+x দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kb^z+x = (z²-x²)m………..(ii)

এবং

log_kc = (x-y)m

বা, (x+y) log_kc = (x+y)(x-y)m [উভয়পক্ষকে x+y দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kc^x+y =(x²-y²)m……….(iii)

এখন, (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

log_ka^y+z + log_kb^z+x + log_kc^x+y = (y²-z²+ z²-x²+ x²-y²)m

বা, log_ka^y+z b^z+x c^x+y = 0✕m

বা, log_ka^y+z b^z+x c^x+y = 0

বা, log_ka^y+z b^z+x c^x+y = log_k1

বা, a^y+z b^z+x c^x+y = 1 (দেখানো হলো)

সমাধানঃ (২)

ধরি,

log_ka    log_kb    log_kc

------  =------- =--------=m

y-z        z-x         x-y

তাহলে,

log_ka = (y-z)m

বা, (y²+yz+z²)log_ka = (y²+yz+z²)(y-z)m [উভয়পক্ষকেy²+yz+z² দ্বারা গুণ করে]

বা, log_ka^y2+yz+z2 = (y³-z³)m…………..(i)

আবার,

log_kb = (z-x)m

বা, (z²+zx+x²) log_kb = (z²+zx+x²)(z-x)m [উভয়পক্ষকেz²+zx+x² দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kb^z2+zx+x2 = (z³-x³)m………..(ii)

এবং

log_kc = (x-y)m

বা, (x²+xy+y²) log_kc = (x²+xy+y²)(x-y)m [উভয়পক্ষকেx²+xy+y² দ্বারা গুণ করে]

বা, log_kc^x2+xy+y2 =(x²-y²)m……….(iii)

এখন, (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

log_ka^y2+yz+z2 + log_kb^z2+zx+x2 + log_kc^x2+xy+y2 = (y³-z³+ z³-x³+ x³-y³)m

বা, log_ka^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = 0✕m

বা, log_ka^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = 0

বা, log_ka^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = log_k1

বা, a^y2+yz+z2 b^z2+zx+x2 c^x2+xy+y2 = 1 (দেখানো হলো)

গ) যদি

log_k(1+x)

------------ = 2 হয়,

log_kx

তবে দেখাও যে,

       1+√5

x = ---------

           2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

log_k(1+x)

------------ = 2

log_kx

বা, log_k(1+x) = 2 log_kx

বা, log_k(1+x) = log_kx²

বা, 1+x = x²

বা, x²-x-1=0

বা, 4x²-4x-4 = 0 [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

বা, (2x)²-2.2x.1+1²-5 = 0

বা, (2x-1)² = 5

বা, 2x-1 = √5

বা, 2x = 1+√5

            1+√5

বা, x = ---------

               2

            [দেখানো হলো]

ঘ) দেখাও যে,

         x-√(x²-1)

log_k-------------- = 2log_k{x-√(x²-1)}

         x+√(x²-1)

সমাধানঃ

এখানে,

x-√(x²-1)

------------

x+√(x²-1)

           {x-√(x²-1)}²

=--------------------------

    {x+√(x²-1)} {x-√(x²-1)}

[লব ও হরকে x-√(x²-1) দ্বারা গুণ করে]

    {x-√(x²-1)}²

=------------------

    x²-{√(x²-1)}²

    {x-√(x²-1)}²

=----------------

     x²-(x²-1)

    {x-√(x²-1)}²

=----------------

      x²-x²+1

={x-√(x²-1)}²

তাহলে, বামপক্ষ

= log_k {x-√(x²-1)}²

=2 log_k {x-√(x²-1)}

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

ঙ) যদি a^3-xb^5x = a^5+xb^3x হয়, তবে দেখাও যে, xlog_k(^b/_a) = log_ka

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a^3-xb^5x = a^5+xb^3x

বা, b^5x/b^3x = a^5+x/a^3-x

বা, b^5x-3x  = a^5+x-3+x

বা, b^2x = a^2+2x

বা, b^2x = a².a^2x

বা, b^2x/a^2x = a²

বা, (^b/_a)^2x = a²

বা, log_k(^b/_a)^2x = log_ka² [উভয়পক্ষে log_k নিয়ে]

বা, 2x log_k(^b/_a) = 2 log_ka

বা, x log_k(^b/_a) = log_ka (দেখানো হলো)

চ) যদি xy^a-1 = p, xy^b-1 = q, xy^c-1 = r হয়, তবে দেখাও যে, (b-c)log_kp + (c-a)log_kq +(a-b)log_kr = 0

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=(b-c)log_kp + (c-a)log_kq +(a-b)log_kr

= log_kp^b-c + log_kq^c-a + log_kr^a-b

= log_k(xy^a-1)^b-c + log_k(xy^b-1)^c-a + log_k(xy^c-1)^a-b

= log_kx^b-c+ log_ky^ab-ac-b+c+ log_kx^c-a+ log_ky^bc-ab-c+a+ log_kx^a-b+ log_ky^ac-bc-a+b

= log_k(x^b-c.x^c-a.x^a-b)+ log_k(y^ab-ac-b+c.y^bc-ab-c+a.y^ac-bc-a+b)

= log_k(x^b-c+c-a+a-b)+ log_k(y^{ab-ac-b+c+bc-ab-c+a+ac-bc-a+b})

= log_kx⁰+ log_ky⁰

= log_k1+ log_k1

= 0 + 0

= 0

= ডানপক্ষ (দেখানো হলো)

ছ) যদি

ab log_k(ab)   bc log_k(bc)    ca log_k(ca)

------------    =-------------   =-------------

    a+b               b+c                c+a

হয়, তবে দেখাও যে, a^a =b^b = c^c

সমাধানঃ

ধরি,

ab log_k(ab)   bc log_k(bc)    ca log_k(ca)

------------   =-------------  =------------- =p

    a+b               b+c               c+a

তাহলে,

ab log_k(ab) = p(a+b)

বা, ab(log_ka+ log_kb)=p(a+b)

বা, log_ka+ log_kb = p(¹/_b+¹/_a)…….(i) 

অনুরুপভাবে পাই,

log_kb+ log_kc = p(¹/_c+¹/_b)…….(ii) 

এবং,

log_kc+ log_ka = p(¹/_a+¹/_c)…….(iii) 

এখন (i)+(ii)+(iii) করে পাই,

2(log_ka+ log_kb+ log_kc) = 2p(¹/_a+¹/_b+¹/_c)

বা, log_ka+ log_kb+ log_kc = p(¹/_a+¹/_b+¹/_c)…….(iv)

আবার, (iv)-(i) করে পাই,

log_kc = p(¹/_c)

বা, c log_kc = p

বা, log_kc^c = p

একইভাবে পাই,

log_ka^a = p

এবং

log_kb^b = p

সুতরাং,

log_ka^a=log_kb^b= log_kb^b

বা, a^a = b^b = c^c (দেখানো হলো)

জ) যদি

x(y+z-x)    y(z+x-y)    z(x+y-z)

---------    =----------   = -----------

  log_kx         log_ky          log_kz

হয়, তবে দেখাও যে, x^yy^x = y^zz^y = z^xx^z

সমাধানঃ

ধরি,

x(y+z-x)    y(z+x-y)    z(x+y-z)

---------    =---------    = --------- =m

    log_kx         log_ky        log_kz

তাহলে,

x(y+z-x) = m log_kx

আবার,

y(z+x-y) = m log_ky

এবং,

z(x+y-z) = m log_kz

এখন,

y m log_kx + x m log_ky = y. x(y+z-x)+x. y(z+x-y)

বা, m log_kx^y + m log_ky^x = xy²+xyz-x²y+xyz+x²y-xy²

বা, m log_kx^y + m log_ky^x = 2xyz

বা, m (log_kx^y + log_ky^x) = 2xyz

বা, m log_kx^y.y^x = 2xyz…….(i)

আবার,

z m log_ky+ y m log_kz = zy(z+x-y)+ yz(x+y-z)

বা, m log_ky^z + m log_kz^y = z²y+xyz-zy²+xyz+y²z-z²y

বা, m (log_ky^z + log_kz^y) = 2xyz

বা, m. log_ky^z z^y = 2xyz ………(ii)

এবং,

x m log_kz + zm log_kx = xz(x+y-z) + zx(y+z-x)

বা, m log_kz^x + m log_kx^z = x²z+xyz-xz²+xyz+z²x-x²z

বা, m(log_kz^x + log_kx^z) = 2xyz

বা, m.log_kz^x x^z = 2xyz…….(iii)

তাহলে (i), (ii), (iii) হতে পাই,

m log_kx^y.y^x =  m. log_ky^z z^y = m.log_kz^x x^z

বা, log_kx^y.y^x =  log_ky^z z^y = log_kz^x x^z

বা, x^y.y^x = y^z z^y = z^x x^z [দেখানো হলো]

৮. লেখচিত্র অঙ্কন করঃ

ক) y = 3^x

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=3^x

0 থেকে 3.5 এর মধ্যে x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো-

x	y
0	1
0.5	1.73
1	3
1.5	5.19
2	9
2.5	15.6
3	27
3.5	46.8

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=3^x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

খ) y = -3^x

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=-3^x

0 থেকে 3.5 এর মধ্যে x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো-

x	y
0	-1
0.5	-1.73
1	-3
1.5	-5.19
2	-9
2.5	-15.6
3	-27
3.5	-46.8

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর =1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=-3^x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

গ) y = 3^x+1

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=3^x+1

-1 থেকে 2.5 এর মধ্যে x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো-

x	y
-1	1
-0.5	1.73
0	3
0.5	5.19
1	9
1.5	15.6
2	27
2.5	46.8

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর =1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=3^x+1 এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ঘ) y = -3^x+1

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=-3^x+1

-1 থেকে 2.5 এর মধ্যে x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো-

x	y
-1	-1
-0.5	-1.73
0	-3
0.5	-5.19
1	-9
1.5	-15.6
2	-27
2.5	-46.8

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর =1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=-3^x+1 এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ঙ) y = 3^-x+1

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=3^-x+1

-2.5 থেকে 1 এর মধ্যে x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো-

x	y
1	1
0.5	1.73
0	3
-0.5	5.19
-1	9
-1.5	15.6
-2	27
-2.5	46.8

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর =1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=3^-x+1 এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

চ) y = 3^x-1

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=3^x-1

1 থেকে 4.5 এর মধ্যে x এর কয়েকটি মান নিয়ে সংশ্লিষ্ট y এর মান নিচের ছকে দেখানো হলো-

x	y
1	1
1.5	1.73
2	3
2.5	5.19
3	9
3.5	15.6
4	27
4.5	46.8

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর =1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=3^x-1 এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

৯. নিচের ফাংশনের বিপরীত ফাংশন লিখ এবং লেখচিত্র অঙ্কন করে ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করঃ

ক) y = 1-2^x

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=1-2^x

বা, x = f^-1(y)………(i)

এখন, y = 1-2^x

বা, 2^x = 1-y

বা, x = log₂(1-y)

বা, f^-1(y) = log₂(1-y) [(i) থকে মান বসিয়ে]

বা, f^-1(x) = log₂(1-x)

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
3	-7
2	-3
1	-1
0	0
-1	0.5
-2	0.75
-3	0.88

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=1-2^x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ঃ

চিত্র হতে দেখা যায় লেখটি (0,0) বিন্দুগামী কারন যখন x=0, তখন y=1-2⁰ = 1-1 = 0.

আবার, x এর মান যত বৃদ্ধি পায় y এর মান তত কমে। অর্থাৎ x à ∞ তখন y à -∞

আবার, x এর মান যত হ্রাস পায় y এর মান তত বাড়ে। অর্থাৎ x à -∞ তখন y à ∞

সুতরাং, ডোমেন D= (-∞, ∞) এবং রেঞ্জ R=(-∞,∞)

খ) y =log₁₀x

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=log₁₀x

বা, x = f^-1(y)………(i)

এখন, y = log₁₀x

বা, x = 10^y

বা, f^-1(y) = 10^y [(i) থকে মান বসিয়ে]

বা, f^-1(x) = 10^x

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
0.5	-0.3
1	0
2	0.3
3	0.5
4	0.6
5	0.7
10	1

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 10 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=log₁₀x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ঃ

যেহেতু লগারিদম শুধুমাত্র ধনাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সঙ্গায়িত হয় এবং শূন্যতে (0) অসংজ্ঞায়ীত।

সুতরাং, ডোমেন (0, ∞)

লেখচিত্র হতে পাই, x যতই শূন্যের কাছাকাছি হয় y ততই হ্রাস পায় অর্থাৎ x à 0 তখন y à -∞

আবার, x যতই বৃদ্ধি পায় y ও ততই বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ x à∞ তখন y à ∞

সুতরাং, রেঞ্জ =(-∞,∞)

গ) y = x², x > 0

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x) = x², x > 0

বা, x = f^-1(y)………(i)

এখন, y = x²

বা, x = ±√y

বা, x = √y [যেহেতু, x > 0]

বা, f^-1(y) =√y [(i) থকে মান বসিয়ে]

বা, f^-1(x) = √x

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
0	0
1	1
2	4
3	9

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=x² এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয়ঃ

প্রদত্ত তথ্যমতে, y=f(x) = x², x > 0. তাহলে শূন্য ব্যতীত সকল বাস্তব মানের জন্য f(x) সংজ্ঞায়িত।

সুতরাং, ডোমেন (0, +∞)

এবং লেখচিত্র হতে পাই, রেঞ্জ =(0,+∞)

১০. f(x) = In (x-2) ফাংশনটির ডোমেন D_f এবং R_f রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x) = In (x-2)

আমরা জানি, লগারিদম শুধুমাত্র ধণাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

সুতরাং,

x-2 > 0

বা, x > 0

সুতরাং ডোমেন D_f = {x : x >2} = (2, ∞)

রেঞ্জ : y= f(x) = ln(x-2)

à e^y = x-2

à x = e^y+2

y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

সুতরাং প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ R_f = R

১১.

                1-x

f(x) = In-------

                1+x

ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

              1-x

f(x) = In------

              1+x

আমরা জানি, লগারিদম শুধুমাত্র ধণাত্মক বাস্তব সংখ্যার জন্য সংজ্ঞায়িত হয়।

সুতরাং,

1-x

----- > 0

1+x

হবে যদি (i) 1-x > 0 এবং 1+x > 0 হয়

অথবা, (ii) 1-x < 0 এবং 1+x < 0 হয়।

এখন,

(i) 1-x > 0        এবং 1+x > 0

বা, -x > - 1       এবং x > -1

বা, x < 1                      

অতএব,

ডোমেন D_f = {x:-1<x}∩{x:x<1}

            =(0,1,2,3….)∩(0,-1,-2,…)

            =(-1,1)

(ii) 1-x < 0       এবং 1+x < 0

বা, –x < -1       এবং x < -1

বা, x > 1           এবং x<-1

অতএব,

ডোমেন D_f = {x:x<-1}∩{x:x>1}

            = (-2,-3,-4,….) ∩(2,3,4,…)

            =∅

তাহলে, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন

D_f=(i) ও (ii) এর ক্ষেত্রে প্রাপ্ত ডোমেনের সংযোগ সেট

=(-1,1) ∪ ∅

=(-1,1)

ধরি,

                            1-x

রেঞ্জঃ y=f(x) = In------

                           1+x

              1-x

বা, e^y = ------

             1+x

বা, 1-x = (1+x)e^y

বা, 1-x = e^y+xe^y

বা, 1-e^y=x(1+e^y)

             1-e^y

বা, x = ------

            1+e^y

y এর সকল বাস্তব মানের জন্য x এর মান বাস্তব হয়।

অতএব, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন R_f = R

১২. ডোমেন ও রেঞ্জ উল্লেখসহ লেখচিত্র অঙ্কন কর।

ক) f(x) = |x|, যখন -5 ≤ x ≤ 5

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x) = |x|, যখন -5 ≤ x ≤ 5

x এর প্রদত্ত সীমার মধ্যে f(x) সর্বদা সংজ্ঞায়িত।

অতএব,

ডোমেন D_f = {x: -5 ≤ x ≤ 5} = [-5,5]

আবার যেহেতু f(x) পরমমান ফাংশন তাই -5 ≤ x ≤ 5 ব্যবধিতে f(x) এর মান হবে 0 ≤ f(x) ≤ 5.

অতএব,

রেঞ্জ R_f = {f(x): 0 ≤ f(x) ≤ 5} = [0,5]    

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-5	5
-4	4
-3	3
-2	2
-1	1
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=|x| এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

  

খ) f(x) = x + |x|,  যখন -2 ≤ x ≤ 2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x) = x + |x|,  যখন -2 ≤ x ≤ 2

x এর প্রদত্ত সীমার মধ্যে f(x) সর্বদা সংজ্ঞায়িত।

অতএব,

ডোমেন D_f = {x: -2 ≤ x ≤ 2} = [-2,2]

আবার, x যখন ঋণাত্মক তখন f(x) = -x+|-x| = -x+x = 0

এবং যখন ধণাত্মক তখন f(x) = x+|x| =x+x =2x

অতএব,

f(x) এর রেঞ্জ R_f

= {f(x):0≤f(x) ≤4}=[0,4]

আবার যেহেতু f(x) পরমমান ফাংশন তাই -5 ≤ x ≤ 5 ব্যবধিতে f(x) এর মান হবে 0 ≤ f(x) ≤ 5.

অতএব,

রেঞ্জ R_f = {f(x): 0 ≤ f(x) ≤ 5} = [0,5]    

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-2	0
-1	0
0	0
1	0
2	4

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x)=x+|x| এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

  

গ) f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0; f(x) = 0, যখন x = 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0; f(x) = 0, যখন x = 0

এখন, f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0 এর ক্ষেত্রে, x এর মান 0 বাদে যেকোনো ঋণাত্মক ও ধণাত্মক সংখ্যা।

এবং f(x) = 0, যখন x = 0 এর ক্ষেত্রে x এর মান 0 ভিন্ন অন্য কিছু নয়। অর্থাৎ x এর সকল বাস্তব মানের জন্য প্রদত্ত ফাংশনটি সংজ্ঞায়িত।

অতএব, প্রদত্ত ফাংশনের ডোমেন D_f = R

আবার,

f(x) = ^|x|/_x যখন x ≠ 0 এর ক্ষেত্রে x এর মান ঋণাত্মক হলে f(x) এর মান হয় -1 [যেমনঃ ^|-2|/_-2 = ²/_-2 = -1]

এবং x এর মান ধণাত্মক হলে f(x) এর মান হয় 1 [যেমনঃ ^|2|/₂ = ²/₂ = 1]

এছাড়া f(x) = 0, যখন x = 0 এর ক্ষেত্রে f(x) এর মান হয় 0

তাহলে,

প্রদত্ত ফাংশনের রেঞ্জ R_f = { -1, 0, 1}

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-5	-1
-4	-1
-3	-1
-2	-1
-1	-1
0	0
1	1
2	1
3	1
4	1
5	1

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x) এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

১৩. দেওয়া আছে, 2^2x.2^y-1 = 64 ……..(i) এবং

      6^y-2

6^x. ------ = 72 ………..(ii)

        3

ক) (i) এবং (ii) কে x এবং y চলক বিশিষ্ট সরল সমীকরণে পরিণত কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

2^2x.2^y-1 = 64 ……..(i)

      6^y-2

6^x. ------ = 72 ………..(ii)

        3

(i) নং থেকে পাই,

2^2x+y-1 = 2⁶

বা, 2x+y-1 = 6

বা, 2x+y-7 = 0……..(iii)

(ii) নং হতে পাই,

6^x.6^y-2 = 3✕72

বা, 6^x+y-2 = 3✕2✕36

বা, 6^x+y-2 = 6✕6²

বা, 6^x+y-2 = 6¹⁺²

বা, 6^x+y-2 = 6³

বা, x+y-2 = 3

বা, x+y-5 = 0 …….(iv)

অতএব, (iii) ও (iv) নং সমীকরণদ্বয় (i) ও (ii) নং সমীকরণের x ও y চলকবিশিষ্ট সরল সমীকরণ।

খ) সমীকরণদ্বয় সমাধান করে শুধতা যাচাই কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

2x+y-7 = 0……..(iii)

x+y-5 = 0 …….(iv)

(iii)-(iv) করে পাই,

x-2 = 0

বা, x = 2

x এর মান (iv) নং এ বসিয়ে পাই,

2+y-5 = 0

বা, y-3 = 0

বা, y = 3

শুদ্ধতা যাচাইঃ

(i) নং সমীকরণের বামপক্ষে x ও y এর মান বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ = 2^2.2.2^3-1 = 2⁴.2² = 16.4 = 64 = ডানপক্ষ

আবার, (ii) নং সমীকরণের বামপক্ষে x ও y এর মান বসিয়ে পাই,

বামপক্ষ

         6^3-2

= 6². ------

           3

           6

= 36. ------

           3

=36.2

=72

=ডানপক্ষ

সুতরাং x=2, y=3 শুদ্ধ।

গ) x ও y এর মান যদি কোন চতুর্ভুজের সন্নিহিত বাহুর দৈর্ঘ্য হয় (যেখানে বাহুদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90⁰) তবে চতুর্ভুজটি আয়ত না বর্গ উল্লেখ কর এবং এর ক্ষেত্রফল ও কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

এখানে, x=2, y=3 এবং এদের অন্তর্ভুক্ত কোণ 90⁰.

সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি আয়তক্ষেত্র। (যেহেতু x ≠ y)

অতএব, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

= 2✕3

= 6 বর্গ একক

এবং কর্ণের দৈর্ঘ

= √(2²+3²)

= √(4+9)

=√13 একক

১৪. দেওয়া আছে, y=2^x

ক) প্রদত্ত ফাংশনটির ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ধরি, y=f(x)=2^x

x এর ঋণাত্মক যেকোনো মানের জন্য  f(x) এর মান কোনো সময় 0 এর খুবই কাছাকাছি পৌঁছায়। কিন্তু শূন্য (০) হয় না।

অর্থাৎ, xà -∞, y à 0

আবার, x এর ধণাত্মক মান বৃদ্ধি করলে  y এর মানও বৃদ্ধি পাবে।

অর্থাৎ, x à ∞, y à ∞

সুতরাং, ডোমেন D =(-∞,∞)

এবং রেঞ্জ R =(0, ∞)

খ) ফাংশনটির লেখচিত্র অঙ্কন কর এবং এর বৈশিষ্ট্যগুলি লিখ।

সমাধানঃ

লেখচিত্র অঙ্কনঃ

এখানে, y=f(x)=2^x

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-3	1/8
-2	¼
-1	½
0	1
1	2
2	4

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y=f(x) এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্যঃ

-লেখচিত্রটি (0,1) বিন্দুগামী

-x এর যেকোনো মানের জন্য y ধনাত্মক

-লেখচিত্রটি ক্রমবর্ধমান

-x এর হ্রাস পওয়ার সাথে সাথে লেখটি x-অক্ষের নিকটবর্তী হয়।

-লেখচিত্রটি অবিছিন্ন।

গ) ফাংশনটির বিপরীত ফাংশন নির্ণয় করে এটি এক-এক কিনা নির্ধারণ কর এবং বিপরীত ফাংশনটির লেখচিত্র আঁক।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y = 2^x

বা, x = log₂y

আবার, y = f(x) হলে f^-1(y) = x

অতএব,

f^-1(y) = log₂y

সুতরাং, f^-1(x) = log₂x

মনে, করি, x₁ ∈ R, x₂ ∈ R

অতএব,

f^-1(x₁) = f^-1(x₂)

বা, log₂x₁ = log₂x₂

বা, x₁ = x₂

সুতরাং বিপরীত ফাংশনটি এক-এক।

y = log₂x লেখচিত্র অঙ্কনঃ

এখানে, y = log₂x

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
0.5	-0.3
1	0
2	0.3
3	0.5
4	0.6
5	0.7
10	1
12	1

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 2 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 20 বর্গ ঘর = 1 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y= log₂x এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

১৫. f(x) = 3^2x+2 এবং g(x) =27^x+1

ক) f(x) এর ডোমেন নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x) = 3^2x+2

উদ্দীপকে উল্লেখিত f(x) ফাংশনটি x এর সকল মানের জন্য সংজ্ঞায়িত।

সুতরাং f(x) এর ডোমেন = R

খ) f(x) + g(x) = 36 হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

f(x) + g(x) = 36

বা, 3^2x+2+27^x+1 = 36

বা, 3^2x+2+3^3(x+1) = 36

বা, (3^x+1)²+(3^x+1)³ = 36

বা, a²+a³-36 = 0 [3^x+1=a ধরে ]

বা, a³-3a²+4a²-12a+12a-36=0

বা, a²(a-3)+4a(a-3)+12(a-3)=0

বা, (a²+4a+12)(a-3)=0

বা, a-3=0

বা, a=3

বা, 3^x+1 = 3

বা, 3^x+1 = 3¹

বা, x+1 = 1

বা, x= 0

এবং a²+4a+12 = 0 যা গ্রহণযোগ্য নয় কারন a এর কোন বাস্তব মান নেই।

অতএব, x এর মান 0

গ) q(x) = ^g(x)/_f(x) হলে, q(x) এর লেখচিত্র অঙ্কন করে লেখচিত্র থেকে ডোমেন এবং রেঞ্জ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

q(x)

= ^g(x)/_f(x)

    27^x+1

=--------

    3^2x+2

    3^3(x+1)

=--------

    3^2x+2

    3^3x+3

=--------

    3^2x+2

= 3^3x+3-2x-2

= 3^x+1

ধরি, y =3^x+1

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য x এর কয়েকটি মান নিয়ে y এর মান নির্ণয় করি।

x	y
-2	0.3
-1	1
0	3
1	9
2	27

এখন, ছক কাগজে সুবিধামত X অক্ষ XOX’ এবং Y অক্ষ YOY’ আঁকি। X-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 5 বর্গ ঘর=1 একক এবং Y-অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম 1 বর্গ ঘর = 2 একক ধরে (x,y) বিন্দুগুলো স্থাপন করি। বিন্দুগুলোকে সহজভাবে বক্ররেখায় যুক্ত করে y = 3^x+1 এর লেখ পাওয়া যায়। যা নিচে দেখানো হলো।

চিত্র থেকে লক্ষ্য করলে দেখা যায়, x=-1 হলে y =3^-1+1 = 3⁰ =1. অর্থাৎ রেখাটি (-1,1) বিন্দুগামী।

আবার, x এর ঋণাত্মক মানের জন্য xà-∞, yà0⁺

এবং x এর ধণাত্মক মানের জন্য xà∞, yà∞

অতএব, ডোমেন = (-∞,∞) রেঞ্জ=(0, ∞)