9-10 H Math 9.1

 অনুশীলনী-৯.১

১. প্রমাণ কর যে, (a^m/n)^p = a^mp/n যেখানে m, p ∈ Z এবং n ∈ N

সমাধানঃ

ধরি, x = ^m/_n

তাহলে,

বামপক্ষ

=(a^m/n)^p

= (a^x)^p

=a^xp

ডানপক্ষ

= a^mp/n

= a^(m/n).p

=a^xp

অতএব, (a^m/n)^p = a^mp/n [প্রমাণিত]

২. প্রমাণ কর যে, (a^1/m)^1/n = a^1/mn যেখানে m, n ∈ Z, m ≠ 0, n ≠ 0

সমাধানঃ

ধরি,

(a^1/m)^1/n = x

বা, a^1/m = xⁿ  [n√a^m = x হলে a^m = xⁿ]

বা, a = (xⁿ)^m

বা, a =x^mn

বা, x = a^1/mn

অতএব, (a^1/m)^1/n = a^1/mn  [প্রমাণিত]

৩. প্রমাণ কর যে, (ab)^m/n = (a)^m/n . (b)^m/n যেখানে m ∈ Z, n ∈ N

সমাধানঃ

ধরি,

(ab)^1/n = x, a^1/n = y, b^1/n = z

অতএব, xⁿ = ab, yⁿ = a, zⁿ = b

এখন,

xⁿ = ab

বা, xⁿ = yⁿzⁿ [মান বসিয়ে]

বা, xⁿ = (yz)ⁿ

বা, x = yz

অর্থাৎ, (ab)^1/n = a^1/n.b^1/n

বা, (ab^1/n)^m = (a^1/n.b^1/n)^m

বা, (ab)^m/n = (a)^m/n . (b)^m/n [প্রমাণিত]

৪. দেখাও যে,

ক) (a^1/3 – b^1/3)(a^2/3+a^1/3b^1/3+b^2/3) = a-b

সমাধানঃ

বামপক্ষ

=(a^1/3 – b^1/3)(a^2/3+a^1/3b^1/3+b^2/3)

=(a^1/3 – b^1/3){(a^1/3)²+a^1/3b^1/3+(b^1/3)²}

=(a^1/3)³ – (b^1/3)³  [যেহেতু, (x-y)(x²+xy+y²)=x³-y³]

=a^3/3 – b^3/3

= a¹ – b¹

= a-b

=ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

        a³+a^-3+1

খ) -------------- = a^3/2+a^-3/2-1

     a^3/2+a^-3/2+1

সমাধানঃ

বামপক্ষ

     a³+a^-3+1

= --------------

     a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2)²+(a^-3/2)²+1

= ---------------------

         a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2+a^-3/2)² - 2.a^3/2.a^-3/2 +1

= ---------------------------------

           a^3/2+a^-3/2+1

            [যেহেতু, x²+y²=(x+y)²-2xy]

     (a^3/2+a^-3/2)² - 2.a⁰ +1

= -------------------------

           a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2+a^-3/2)² - 2 +1

= -----------------------

           a^3/2+a^-3/2+1

           [যেহেতু, a⁰=1]

     (a^3/2+a^-3/2)² – 1²

= --------------------

       a^3/2+a^-3/2+1

     (a^3/2+a^-3/2 – 1) (a^3/2+a^-3/2 + 1)

= ------------------------------------

            a^3/2+a^-3/2+1

            [যেহেতু, a²-b²=(a+b)(a-b)]

= (a^3/2+a^-3/2 – 1)

= ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

৫. সরল করঃ

ক) চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরুপঃ

সমাধানঃ

ধরি,

 a+b

------ = x

   b

 a-b

------ = y

  a

   a

------- = m

 a-b

   b

------- = n

  a-b

তাহলে প্রদত্ত রাশি

 x^m.y^m

--------

 xⁿ.yⁿ

    (xy)^m

=-------

    (xy)ⁿ

= (xy)^m-n……..(i)

এখন,

m-n

      a        b

= ----- - -------

    a-b     a-b

   a-b

=------

   a-b

= 1

(i) নং এ m-n এর মান বসিয়ে পাই,

প্রদত্ত রাশি

=xy

  (a+b)   (a-b)

=------.------- [মান বসিয়ে]

     b        a

    a²-b²

=-------

     ab

      a^3/2+ab       √a

খ) ---------- - -------

      ab – b³       √a – b

সমাধানঃ

  a^3/2+ab       √a

---------- - -------

 ab – b³       √a – b

    a^3/2+ab       √a

= ---------- - -------

   b(a – b²)     √a – b

    a^3/2+ab            √a

= ------------- - -------

   b{(√a)² – b²)}   √a – b

        a(√a+b)             √a

= ----------------- - -------

   b(√a – b)(√a+b)    √a – b

       a               √a

= ---------- - -------

   b(√a – b)    √a – b

       a-b√a

= --------------

      b(√a – b)  

      √a(√a-b)

= --------------

      b(√a – b)

       √a

= --------

        b

গ) চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরুপঃ

সমাধানঃ

এখানে সকল ঘাতের গুণফল

     1       a²-b²         a

= ----✕-------✕-------

     a        a-b         a+b

      (a²-b²)a

= --------------

     a(a-b)(a+b)

   (a-b)(a+b)a

= --------------

   a(a-b)(a+b)

= 1

তাহলে প্রদত্ত রাশি

= x¹

= x

              1

ঘ) -----------------

      1+a^-mbⁿ+a^-mc^p

                 1

     +----------------

        1+b^-nc^p+b^-na^m

                 1

     +----------------

        1+c^-pa^m+c^-pbⁿ

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণের ১ম রাশি

              1

= -----------------

   1+a^-mbⁿ+a^-mc^p

              a^m

= -----------------------

    a^m(1+a^-mbⁿ+a^-mc^p)

[লব ও হরকে a^m দ্বারা গুণ করে]

              a^m

= ---------------------------

    a^m+a^-m+m bⁿ+a^-m+mc^p

              a^m

= ------------------

      a^m+a⁰ bⁿ+a⁰c^p

            a^m

= ---------------

      a^m+ bⁿ+c^p

[যেহেতু, a⁰=1]

অনুরূপভাবে, ২য় অংশ

            bⁿ

= ---------------

      a^m+ bⁿ+c^p

এবং ৩য় অংশ

            c^p

= ---------------

      a^m+ bⁿ+c^p

তাহলে, প্রদত্ত রাশি

            a^m               bⁿ

= --------------+-----------

      a^m+ bⁿ+c^p    a^m+ bⁿ+c^p

                             c^p

                     +------------

                        a^m+ bⁿ+c^p

     a^m+ bⁿ+c^p

= -------------

     a^m+ bⁿ+c^p

= 1

ঙ) চিত্রায়ীত প্রশ্ন নিন্মরুপঃ

সমাধানঃ

 ^bc√(x^b/c/x^c/b) + ^ca√(x^c/a/x^a/c) + ^ab√(x^a/b/x^b/a)

=x^{(b/c-c/b)✕1/bc}✕ x ^{(c/a-a/c)✕1/ca} ✕ x ^{(a/b-b/a)✕1/ab}

= x^{(b/c-c/b)✕1/bc+(c/a-a/c)✕1/ca+(a/b-b/a)✕1/ab}

এখন,

(^b/_c-^c/_b)✕¹/_bc+(^c/_a-^a/_c)✕¹/_ca+(^a/_b-^b/_a)✕¹/_ab

     b²-c²      1       c²-a²        1        a²-b²        1

= -------✕---- + -------✕-----+--------✕------

       bc       bc      ca            ca         ab          ab

    b²-c²         c²-a²    a²-b²     

= -------- + ------ +--------

    b²c²        c²a²        a²b²

   a²(b²-c²)+ b²(c²-a²)+c²(a²-b²)     

= ---------------------------------

                   a²b²c²     

   a²b²-a²c²+ b²c²-a²b²+a²c²-b²c²     

= ------------------------------------

                   a²b²c²     

        0

= ---------

     a²b²c²     

=0

সুতরাং প্রদত্ত রাশি

=x⁰

=1 Ans.      

    (a²-b^-2)^a(a-b^-1)^b-a

চ)-----------------------

     (b²-a^-2)^b(b+a^-1)^a-b

সমাধানঃ

    (a²-b^-2)^a(a-b^-1)^b-a

  -----------------------

    (b²-a^-2)^b(b+a^-1)^a-b

    (a²-¹/_b2)^a(a-¹/_b)^b-a

= -----------------------

     (b²-¹/_a2)^b(b+¹/_a)^a-b

    {(a+¹/_b)(a-¹/_b)}^a(a-¹/_b)^b-a

= -----------------------------

    {(b+¹/_a)(b-¹/_a)}^b(b+¹/_a)^a-b

    (a+¹/_b)^a(a-¹/_b)^a(a-¹/_b)^b-a

= -----------------------------

     (b+¹/_a)^b(b-¹/_a)^b(b+¹/_a)^a-b

    (a+¹/_b)^a(a-¹/_b)^b-a+a

= ----------------------

     (b-¹/_a)^b(b+¹/_a)^a-b+b

     (a+¹/_b)^a(a-¹/_b)^b

= ------------------

     (b-¹/_a)^b(b+¹/_a)^a

={(a+¹/_b)/(b+¹/_a)}^a{(a-¹/_b)/(b-1/a)}^b

      ab+1     ab+1           ab-1     ab-1

= (------ / --------)^a ✕ (------ / ------)^b

        b           a                   b         a 

       ab+1       a                     ab-1      a

= (------ ✕ --------)^a ✕ (------ ✕ -------)^b

        b          ab+1                b         ab-1 

= (a/b)^a ✕ (a/b)^b

= (a/b)^a+b

৬. দেখাও যে,

ক) যদি x = a^q+rb^p, y=a^r+pb^q, z = a^p+qb^r হয়, তবে x^q-r.y^r-p.z^p-q = 1.

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x = a^q+rb^p, y=a^r+pb^q, z = a^p+qb^r

বামপক্ষ

= x^q-r.y^r-p.z^p-q

= (a^q+rb^p)^q-r. (a^r+pb^q)^r-p. (a^p+qb^r)^p-q [মান বসিয়ে]

= a^q2-r2.b^pq-pr . a^r2-p2.b^qr-pq .a^p2-q2.b^rp-qr

= a^{q2-r2+r2-p2+p2-q2}.b^{pq-pr+qr-pq+rp-qr}

= a⁰b⁰

=1.1

=1

=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]

খ) যদি a^p=b, b^q=c এবং c^r=a হয়, তবে pqr=1.

সমাধানঃ

c^r=a

বা, (b^q)^r=a [যেহেতু b^q=c]

বা, b^qr=a

বা, (a^p)^qr=a [যেহেতু a^q=b]

বা, a^pqr=a

বা, a^pqr=a¹

বা, pqr=1 [দেখানো হলো]

গ) যদি a^x=p, a^y=q এবং a²=(p^yq^x)^z হয়, তবে xyz=1.

সমাধানঃ

এখানে,

(p^yq^x)^z=a²

বা, {(a^x)^y.(a^y)^x}^z=a² [মান বসিয়ে]

বা, (a^xy.a^xy)^z=a²

বা, (a^xy+xy)^z=a²

বা, (a^2xy)^z=a²

বা, a^2xyz=a²

বা, 2xyz=2

বা, xyz=1 [দেখানো হলো]

৭.

ক) যদি x.³√a + y.³√b + z.³√c = 0 এবং a² = bc হয়, তবে দেখাও যে, ax³+by³+cz³ = 3axyz

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x.³√a + y.³√b + z.³√c = 0 এবং a² = bc

এখন,

x.³√a + y.³√b + z.³√c = 0

বা, x.³√a = - (y.³√b + z.³√c) ……..(i)

বা, (x.³√a)³ = {- (y.³√b + z.³√c)}³ [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

বা, x³.( ³√a)³ = -y³(³√b)³ –z³(³√c)³ -3y.³√b.z. ³√c(y. ³√b+³√c)

[যেহেতু, (x+y)³=x³+y³+3xy(x+y)]  

বা, x³a = -y³b –z³c -3yz.³√(bc)(-x³√a) [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা, ax³ = -by³ -cz³ +3xyz. ³√(abc)

বা, ax³+by³+cz³ = 3xyz. ³√(abc)

বা, ax³+by³+cz³ = 3xyz. ³√(a.a²) [যেহেতু a² = bc]

বা, ax³+by³+cz³ = 3xyz. ³√(a³)

বা, ax³+by³+cz³ = 3xyz. a

বা, ax³+by³+cz³ = 3axyz [দেখানো হলো]

খ) যদি x = (a+b)^1/3 + (a-b)^1/3 এবং a² – b² = c³  হয়, তবে দেখাও যে, x³ - 3cx -2a = 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, x = (a+b)^1/3 + (a-b)^1/3 এবং a² – b² = c³  

এখন,

x = (a+b)^1/3 + (a-b)^1/3

বা, x³ ={(a+b)^1/3}³ + {(a-b)^1/3}³+3. (a+b)^1/3 .(a-b)^1/3 {(a+b)^1/3 + (a-b)^1/3} [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

            [যেহেতু, (x+y)³=x³+y³+3xy(x+y)] 

বা, x³ = a+b+a-b+3(a²-b²)^1/3.x  [যেহেতু, x = (a+b)^1/3 + (a-b)^1/3]

বা, x³ = 2a+3.(c³)^1/3.x [যেহেতু, a²-b²=c³]

বা, x³ = 2a+3cx

বা, x³-3vx-2a = 0 [দেখানো হলো]

গ) যদি a = 2^1/3 + 2^-1/3 হয়, তবে দেখাও যে, 2a³-6a = 5

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a = 2^1/3 + 2^-1/3

বা, a³ = (2^1/3)³ + (2^-1/3)³+3. 2^1/3. 2^-1/3(2^1/3 + 2^-1/3) [উভয়পক্ষকে ঘন করে]

            [যেহেতু, (x+y)³=x³+y³+3xy(x+y)] 

বা, a³ = 2¹+2^-1+3.2^1/3-1/3.a  [যেহেতু, a = 2^1/3 + 2^-1/3]

বা, a³ = 2 + ½ +3.2⁰.a

বা, a³ = 2 + ½  +3.1.a

বা, a³ = 2+ ½ +3a

বা, 2a³ = 4 + 1 +6a [2 দ্বারা গুণ করে]

বা, 2a³ = 5 +6a

বা, 2a³ -6a =5 [দেখানো হলো]

ঘ) যদি a² + 2 = 3^2/3 + 3^-2/3 এবং a ≥ 0 হয়, তবে দেখাও যে, 3a³ + 9a = 8

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

a² + 2 = 3^2/3 + 3^-2/3

বা, a² = (3^1/3)² + (3^-1/3)² -2

বা, a² = (3^1/3)² + (3^-1/3)² -2. 3^1/3. 3^-1/3 [যেহেতু,3^1/3. 3^-1/3 =3^1/3-1/3=3⁰=1]

বা, a² = (3^1/3 -3^-1/3)²

বা, a =3^1/3 -3^-1/3 [উভয়পক্ষকে বর্গমূল করে এবং a ≥ 0 বলে ধণাত্মক মান নিয়ে]

বা, a³ = (3^1/3)³ -(3^-1/3)³ -3. 3^1/3.3^-1/3(3^1/3 -3^-1/3)

            [যেহেতু, (x-y)³=x³-y³-3xy(x-y)] 

বা, a³ = 3 -3^-1-3.3^1/3-1/3.a  [যেহেতু, a =3^1/3 -3^-1/3]

বা, a³ = 3 – ¹/₃ -3.3⁰.a

বা, a³ = 3 – ¹/₃ -3.1.a

বা, a³ = 3 – ¹/₃ -3a

বা, 3a³ = 9 – 1 – 9a [উভয়পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে]

বা, 3a² = 8 -9a

বা, 3a² +9a = 8 [দেখানো হলো]

ঙ) যদি a² = b³ হয়, তবে দেখাও যে, (a/b)^3/2 + (b/a)^2/3 = a^1/2 + b^-1/3

সমাধানঃ

এখানে,

a²=b³

বা, a=b^3/2

আবার,

a²=b³

বা, b³=a²

বা, b=a^2/3

এখন,

বামপক্ষ

=(a/b)^3/2 + (b/a)^2/3

    a^3/2     b^2/3

=----- + -------

   b^3/2       a^2/3

    a^3/2      b^2/3

=----- + -------

    a           b

[যেহেতু, a=b^3/2; b=a^2/3]

= a^{3/2 – 1} + b^{2/3 – 1}

= a^1/2 + b^-1/3

= ডানপক্ষ [দেখানো হলো]

চ) যদি b = 1 + 3^2/3 + 3^1/3 হয়, তবে দেখাও যে, b³-3b² -6b -4 = 0

সমাধানঃ

এখানে,

b = 1 + 3^2/3 + 3^1/3

বা, b - 1 = 3^2/3 + 3^1/3 ………(i)

বা, (b-1)³ =(3^2/3 + 3^1/3)³ [উভয় পক্ষকে ঘন করে]

বা, b³-3b²+3b-1 = (3^2/3)³ + (3^1/3)³+3. 3^2/3. 3^1/3(3^2/3 + 3^1/3) [সূত্রমতে]

বা, b³-3b²+3b-1=3²+3+3.3^2/3+1/3.(b-1) [(i) হতে মান বসিয়ে]

বা, b³-3b²+3b-1=3²+3+3.3¹.(b-1)

বা, b³-3b²+3b-1=9+3+9.(b-1)

বা, b³-3b²+3b-1=12+9b-9

বা, b³-3b²+3b-1=3+9b

বা, b³-3b²+3b-1-3-9b=0

বা, b³-3b²-6b-4=0 (দেখানো হলো)

ছ) যদি a+b+c=0 হয়, তবে দেখাও যে,

     1                 1                1

---------   + - ------- + ----------- = 1

x^b+x^-c+1   x^c+x^-a+1   x^a+x^-b+1

সমাধানঃ

এখানে, ১ম রাশি

          1

=------------

    x^b+x^-c+1

           1

=--------------

            1

    x^b+-----+1

           x^c

           1

=------------

    x^b.x^c+1+x^c

    ------------

           x^c

          x^c

=--------------

    x^b.x^c+1+x^c

          x^c

=--------------

    1+x^c+x^b+c

২য় রাশি

          1

=--------------

    x^c+x^-a+1

          1

=--------------

    x^c+x^b+c+1

[যেহেতু, a+b+c=0]

          1

=--------------

    1+x^c+x^b+c

৩য় রাশি

          1

=--------------

    x^a+x^-b+1

          1

=--------------

           1

    x^a+-----+1

           x^b

          1

=--------------

    x^a.x^b+1+x^b

   ------------

           x^b

          x^b

=--------------

    x^a+b+x^b+1

         x^b

=--------------

    x^-c+x^b+1

[যেহেতু, a+b+c=0]

          x^b

=--------------

     1

    ----+x^b+1

     x^c

          x^b

=--------------

    1+x^b.x^c+x^c

   ------------

          x^c

          x^b.x^c

=--------------

    1+x^b+c+x^c

        x^b+c

=--------------

    1+x^c+x^b+c

এখন, ১ম, ২য় ও ৩য় রাশির যোগ করে পাই,

        x^c

 ---------------

    1+x^c+x^b+c

              1

      +-------------

          1+x^c+x^b+c

                  x^b+c

           +-------------

               1+x^c+x^b+c

     x^c+1+x^b+c

= --------------

     1+x^c+x^b+c

= 1

অতএব,

     1                1                 1

--------- + --------   +  ----------- = 1

x^b+x^-c+1   x^c+x^-a+1     x^a+x^-b+1

(দেখানো হলো)

৮.

ক) যদি a^x = b, b^y = c এবং c^z = 1 হয়, তবে xyz= কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

c^z = 1

বা, (b^y)^z = 1  [c এর মান বসিয়ে]

বা, b^yz = 1

বা, (a^x)^yz = 1 [b এর মান বসিয়ে]

বা, a^xyz = a⁰

বা, xyz = 0

খ) যদি x^a = y^b = z^c এবং xyz = 1 হয়, তবে ab+bc+ca = কত?

সমাধানঃ

ধরি, x^a = y^b = z^c = k

তাহলে, x = k^1/a; y = k^1/b; z = k^1/c

এখন,

xyz=1

বা, k^1/a.k^1/b.z^1/c = 1

বা, k^1/a+1/b+1/c = 1

বা, k^1/a+1/b+1/c = k⁰

বা, ¹/_a+¹/_b+¹/_c = 0

       ab+bc+ca

বা,  ------------- = 0

            abc

বা, ab+bc+ca = 0*abc

বা, ab+bc+ca = 0

গ) যদি 9^x=(27)^y হয়, তাহলে ^x/_y এর মান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

9^x=(27)^y

বা, (3²)^x=(3³)^y

বা, 3^2x=3^3y

বা, 2x=3y

বা, ^x/_y=³/₂

৯. সমাধান করঃ

ক) 3^2x+2 + 27^x+1 = 36

সমাধানঃ

3^2x+2 + 27^x+1 = 36

বা, 3^2x+2 + (3³)^x+1 = 36

বা, 3^2x.3² + 3^3x.3³ = 4.9

বা, 3^2x + 3.3^3x = 4 [9 দ্বারা উভয় পক্ষকে ভাগ করে]

বা, (3^x)²+3.(3^x)³=4

বা, a²+3a³=4  [3^x=a ধরে]

বা, 3a³+a²-4=0

বা, 3a³+4a²-3a²-4=0

বা, 3a³-3a²+4a²-4=0

বা, 3a²(a-1)+4(a²-1)=0

বা, 3a²(a-1)+4(a-1)(a+1)=0

বা, (a-1)(3a²+4a+4)=0

বা, a-1 = 0

বা, a = 1

বা, 3^x = 1

বা, 3^x = 3⁰

বা, x=0

অথবা,

3a²+4a+4=0

বা, 3a²+6a+2a+4=0

বা, 3a(a+2)+2(a+2)=0

বা, (a+2)(3a+2)=0

বা, a+2=0

বা, a= -2

বা, 3^x= -2 ……..(i)

অথবা,

3a+2=0

বা, 3a = -2

বা, a =-²/₃

বা, 3^x=-²/₃…….(ii)

(i) ও (ii) এ x এর কোন বাস্তব সম্মত মান পাওয়া যায় না।

অতএব, x=0

খ)

5^x+3^y=8

5^x-1+3^y-1=2

সমাধানঃ

5^x+3^y=8……………(i)

5^x-1+3^y-1=2…………(ii)

(ii) হইতে পাই,

5^x/5 +3^y-1 = 2

বা, 5^x + 5.3^y-1 = 10 [5 দ্বারা গুণ করে]…………..(iii)

(iii) – (ii) করে পাই,

5.3^y-1 – 3^y = 2

বা, 5.3^y-1.3 – 3^y.3 = 6 [3 দ্বারা গুণ করে]

বা, 5.3^y-1+1 – 3.3^y = 6

বা, 5.3^y – 3.3^y = 6

বা, 2. 3^y = 6

বা, 3^y = 3

বা, 3^y = 3¹

বা, y = 1

(i) এ y এর মান বসিয়ে পাই,

5^x+3¹=8

বা, 5^x =8-3

বা, 5^x = 5

বা, 5^x = 5¹

বা, x=1

অতএব, (x,y)=(1,1)

গ)

4^3y-2 = 16^x+y

3^x+2y = 9^2x+1

সমাধানঃ

4^3y-2 = 16^x+y

বা, 4^3y-2 = (4²)^x+y

বা, 4^3y-2 = 4^2x+2y

বা, 3y-2 = 2x+2y

বা, 3y-2-2x-2y = 0

বা, y-2-2x = 0

বা, 2x – y + 2 = 0

বা, 4x-2y + 4 = 0 …….(i)

আবার,

3^x+2y = 9^2x+1

বা, 3^x+2y = (3²)^2x+1

বা, 3^x+2y = 3^4x+2

বা, x+2y = 4x+2

বা, x+2y-4x-2 = 0

বা, -3x+2y – 2 =0

বা, 3x-2y+2 = 0 …….(ii)

(i) – (ii) করে পাই,

x + 2 = 0

বা, x = -2

x এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

4.(-2)-2y+4=0

বা, -8 -2y +4 = 0

বা, -2y -4 = 0

বা, -2y = 4

বা, y = -2

অতএব, (x,y) = (-2, -2)

ঘ)

2^2x+1.2^3y+1 = 8

2^x+2.2^y+2 = 16

সমাধানঃ

2^2x+1.2^3y+1 = 8

বা, 2^2x+1+3y+1 = 2³

বা, 2x+1+3y+1 = 3

বা, 2x+3y+2-3 = 0

বা, 2x+3y-1 = 0 ……….(i)

আবার,

2^x+2.2^y+2 = 16

বা, 2^x+2+y+2 = 2⁴

বা, x+2+y+2 = 4

বা, x+y+4 = 4

বা, x+y = 0

বা, 2x+2y = 0………….(ii)

(i) – (ii) করে পাই,

y-1=0

বা, y = 1

এখন, y=1 (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2x+3.1-1 = 0

বা, 2x+3-1=0

বা, 2x+2=0

বা, 2x = -2

বা, x = -1

অতএব, (x,y) = (-1,1)