অনুশীলনী-৮.৩
১. sinA=1/√2 হলে sin2A এর মান কত?
ক) 1/√2 খ) ½ গ) 1 ঘ) √2
উত্তরঃ গ
[sinA=1/√2
বা, sinA = sin 450
বা, A = 450
এখন, sin2A = sin (2✕450) = sin 900 = 1 ]
২. -3000 কোনটি কোন চতুর্ভাগে থাকবে?
ক) প্রথম খ) দ্বিতীয় গ) তৃতীয় ঘ) চতুর্থ
উত্তরঃ ক
[-3000 = -(3✕900+300) অর্থাৎ -3000 কোনটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত]
৩. sinθ+cosθ=1 হলে θ এর মান হবে
i) 00 ii) 300 iii) 900
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i খ. ii গ. i, ii ঘ. i, iii
উত্তরঃ ঘ
[00 ও 900 দ্বারা সমীক্রনটি সিদ্ধ হয়; অর্থাৎ θ এর মান 00 ও 900]
৪. নিচের চিত্রানুসারে
i) tanθ=4/3
ii) sinθ=5/3
iii) cos2θ=9/25
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. i, ii খ. i, iii গ. ii, iii ঘ. i, ii, iii
উত্তরঃ খ
[ চিত্রানুসারে, লম্ব 4 একক, ভূমি 3 একক এবং অতিভুজ √(42+52)=5 একক
তাহলে, tanθ=(লম্ব/ভুমি)=4/3
sinθ=(লম্ব/অতিভুজ)=4/5
cos2θ=(ভূমি2/অতিভুজ2)=9/25
অর্থাৎ i ও iii সঠিক]
নিচের চিত্রানুসারে ৫-৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৫. sinB+cosC=কত
ক) 2b/a খ) 2a/b গ) (a2+b2)/ab ঘ) ab/(a2+b2)
উত্তরঃ ক
[ sinB+cosC
=AC/BC+AC/BC
=b/a+b/a
=2b/a]
৬. tanB এর মান কোনটি?
ক) a/(a2-b2) খ) b/(a2-b2) গ) a/√(a2-b2) ঘ) b/√(a2-b2)
উত্তরঃ ঘ
[ tanB
= AC/AB
b
৭. মান নির্ণয় করঃ
ক) sin7π
সমাধানঃ
sin7π
= sin(14. π/2 + 0) [n=14 জোড় বলে sin অপরিবর্তিত এবং কোনটি ৩য় চতুর্ভাগে থাকে ফলে sin এর চিহ্ন ঋণাত্মক]
= -sin0
=0
খ) cos11π/2
সমাধানঃ
cos11π/2
= cos(11. π/2 + 0) [n=11 বিজোড় বলে cos পরিবর্তিত হয়ে sin হবে এবং কোনটি ৪র্থ চতুর্ভাগে থাকে ফলে cos এর চিহ্ন হবে ধণাত্মক]
=sin0
=0
গ) cot11π
সমাধানঃ
cot11π
=cot(22. π/2 + 0) [n=22 জোড় বলে cot অপরিবর্তিত এবং কোনটি ৩য় চতুর্ভাগে থাকে ফলে sin এর চিহ্ন ধণাত্মক]
=cot0
=অসংজ্ঞায়িত
ঘ) tan(-23π/6)
সমাধানঃ
tan(-23π/6)
= - tan(23π/6)
= - tan(4π - π/6)
= - tan(8✕π/2 - π/6) [n=8 জোড় সংখ্যা, তাই tan অপরিবর্তিত থাকবে এবং কোনটি ৪র্থ চতুর্থভাগে অবস্থিত, তাই tan ঋণাত্মক]
= tanπ/6
= 1/√3
ঙ) cosec19π/3
সমাধানঃ
cosec19π/3
= cosec(6π + π/3)
= cosec(12. π/2 + π/3) [n=12 জোড় সংখ্যা, তাই cosec অপরিবর্তিত থাকবে এবং কোনটি ১ম চতুর্থভাগে অবস্থিত, তাই cosec এর চিহ্ন ধণাত্মক]
=cosec π/3
= 2/√3
চ) sec(-25π/2)
সমাধানঃ
sec(-25π/2)
= sec(25π/2) [sec(-θ)=secθ]
=sec(12π + π/2)
= sec(24.π/2 + π/2) [n=24 জোড় সংখ্যা এবং কোনটি প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত]
=sec π/2
= অসংজ্ঞায়িত।
ছ) sin31π/6
সমাধানঃ
sin31π/6
= sin(5π + π/6)
= sin(10.π/2 + π/6) [n=10 জোড় সংখ্যা তাই sin অপরিবর্তীত থাকবে এবং কোণটির অবস্থান তৃতীয় চতুর্ভাগে ফলে sin এর চিহ্ন ঋণাত্মক হবে]
= - sin π/6
= - ½
জ) cos(-25π/6)
সমাধানঃ
cos(-25π/6)
= cos(25π/6) [cos(-θ)=cosθ]
= cos(4π + π/6)
= cos(8.π/2 + π/6) [n=8 জোড় সংখ্যা তাই cos অপরিবর্তীত থাকবে এবং কোণটির অবস্থান ১ম চতুর্ভাগে ফলে cos এর চিহ্ন ধণাত্মক হবে]
=cos π/6
=√3/2
৮. প্রমাণ কর যে,
ক) cos17π/10 + cos13π/10+cos9π/10+cosπ/10 = 0
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= cos17π/10 + cos13π/10+cos9π/10+cosπ/10
= cos(2π - 3π/10) + cos(π + 3π/10)+cos(π - π/10)+cosπ/10
= cos3π/10 – cos3π/10 - cosπ/10 + cosπ/10
=0
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
খ) tanπ/12.tan5π/12.tan7π/12.tan11π/12 = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= tanπ/12.tan5π/12.tan7π/12.tan11π/12
= tan150 tan750 tan1050 tan1650
= tan150 tan(900-150) tan(900+150) tan(1800-150)
= tan150 cot150 (-cot150) (-tan150)
= tan2150 cot2150
1
=1
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
গ) sin2 π/7 + sin2 5π/14 + sin2 8π/7 + sin2 9π/14 = 2
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin2 π/7 + sin2 5π/14 + sin2 8π/7 + sin2 9π/14
= sin2 π/7 + {sin(π/2 - π/7)}2 + {sin(π + π/7)}2 + {sin (π/2 + π/7)}2
= sin2 π/7 + (cos π/7)2 + (- sin π/7)2 + (cos π/7)2
= sin2 π/7 + cos2 π/7 + sin2 π/7 + cos2 π/7
=2(sin2 π/7 + cos2 π/7)
=2.1
=2
=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঘ) sin7π/3 cos13π/6 – cos5π/3 sin11π/6 = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin7π/3 .cos13π/6 – cos5π/3 .sin11π/6
= sin(2π + π/3) .cos(2π + π/6) – cos(2π - π/3) .sin(2π - π/6)
= sin π/3 .cos π/6 + cos π/3 .sin π/6
= (√3/2).(√3/2) +(½).(½)
= ¾ + ¼
= 4/4
= 1
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঙ) sin13π/3 cos13π/6 – sin11π/6 cos(-5π/3) = 1
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin13π/3 cos13π/6 – sin11π/6 cos(-5π/3)
= sin(4π + π/3) cos(2π + π/6) – sin(2π - π/6) cos(2π -π/3) [যেহেতু, cos(-θ)=cosθ]
= sin π/3 cos π/6 – (-sin π/6) cos π/3
= sin π/3cos π/6 + sin π/6 cos π/3
= √3/2 . √3/2 + ½ . ½
= ¾ + ¼
= 4/4
= 1
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
চ) tanθ = ¾ এবং sinθ ঋণাত্মক হলে দেখাও যে,
sinθ+cosθ 14
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tanθ = ¾ এবং sinθ ঋণাত্মক।
sinθ
বা, 3cosθ = 4sinθ
বা, 9cos2θ = 16sin2θ [বর্গ করে]
বা, 9(1-sin2θ) = 16sin2θ
বা, 9-9sin2θ-16sin2θ = 0
বা, -25sin2θ = -9
বা, 25sin2θ = 9
বা, sin2θ = 9/25
বা, sinθ = ± 3/5
সুতরাং, sinθ = - 3/5 [sinθঋণাত্মক]
আবার,
tanθ = ¾
sinθ
বা, 3cosθ = 4sinθ
বা, cosθ = 4/3 ✕ (-3/5)
বা, cosθ = - 4/5
তাহলে,
বামপক্ষ
sinθ+cosθ
- 3/5-4/5
-3-4
-7/5
= - 7/5 ✕ - 4/2
= 14/5
= ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
৯. মান নির্ণয় করঃ
ক) cos9π/4 + cos5π/4+sin31π/36 – sin5π/36
সমাধানঃ
cos9π/4 + cos5π/4+sin31π/36 – sin5π/36
= cos(2π + π/4) + cos(π + π/4)+sin(π - 5π/36) – sin5π/36
= cosπ/4 - cosπ/4 + sin5π/36 – sin5π/36
=0
খ) cot π/20 cot3π/20 cot 5π/20 cot 7π/20 cot 9π/20
সমাধানঃ
cot π/20 cot3π/20 cot 5π/20 cot 7π/20 cot 9π/20
= cot π/20 cot3π/20 cot 5π/20 cot 7π/20 cot 9π/20
= cot π/20 cot(π/2 - 7π/20) cotπ/4 cot 7π/20 cot(π/2 - π/20)
= cotπ/20 tan7π/20 .1.cot7π/20 tanπ/20
= cotπ/20 tan7π/20 cot7π/20 tanπ/20
1 1
= 1
গ) sin2 (π/4) + sin2 (3π/4) + sin2 (5π/4) + sin2 (7π/4)
সমাধানঃ
sin2 (π/4) + sin2 (3π/4) + sin2 (5π/4) + sin2 (7π/4)
= sin2 π/4 + sin2 3π/4 + sin2 (π/2 + 3π/4) + sin2 (3π/2 + π/4)
= sin2 π/4 + sin2 3π/4 + cos2 3π/4 + cos2 π/4
= (sin2 π/4 + cos2 π/4)+ (sin2 3π/4 + cos2 3π/4)
=1+1 [sin2θ +cos2θ =1]
=2
ঘ) cos2 π/8 + cos2 3π/8 + cos2 5π/8 + cos2 7π/8
সমাধানঃ
cos2 π/8 + cos2 3π/8 + cos2 5π/8 + cos2 7π/8
= cos2 π/8 + cos2 3π/8 + cos2 (π/2 + π/8) + cos2 (π/2 + 3π/8)
= cos2 π/8 + cos2 3π/8 + sin2 π/8 + sin2 3π/8
=( sin2 π/8 + cos2 π/8) + (sin2 3π/8+ cos2 3π/8)
=1+1 [sin2θ +cos2θ =1]
=2
ঙ) sin2 (17π/18) + sin2 (5π/8) + cos2 (37π/18) + cos2 (5π/8)
সমাধানঃ
sin2 (17π/18) + sin2 (5π/8) + cos2 (37π/18) + cos2 (5π/8)
= (sin 17π/18)2 + (sin 5π/8)2 + (cos 37π/18)2 + (cos 5π/8)2
= (sin 17π/18)2 + (cos 37π/18)2 + (sin 5π/8)2 + (cos 5π/8)2
= {sin (π- π/18)}2 + {cos(2π+ π/18)}2 + sin2 5π/8 + cos2 5π/8
= sin2 π/18 + cos2 π/18 + sin2 5π/8 + cos2 5π/8
=1+1 [sin2θ +cos2θ =1]
=2
১০. θ = π/3 হলে নিন্মোক্ত অভেদসমূহ যাচাই করঃ
ক)
sin2θ
=2sinθ cosθ
2tanθ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, θ = π/3
বামপক্ষ
= sin2θ
= sin2. π/3
= sin 2π/3
= sin(π- π/3)
= sin π/3
= √3/2
মধ্যপক্ষ
= 2sinθ cosθ
= 2sin π/3 cosπ/3
= 2. √3/2 . ½
= √3/2
ডানপক্ষ
2tanθ
2tan π/3
2. √3
2. √3
2. √3
= √3/2
অতএব, বামপক্ষ=মধ্যপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
খ) sin3θ = 3sinθ – 4sin3θ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= sin3θ
= sin3. π/3
=sin π
=sin(2. π/2+0)
=sin00
=0
ডানপক্ষ
= 3sinθ – 4sin3θ
= 3sin π/3 – 4sin3 π/3
=3. √3/2 – 4.( √3/2)3
=3.√3/2 – 4. 3.√3/8
=3.√3/2 – 3.√3/2
=0
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
গ) cos3θ = 4cos3θ – 3cosθ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= cos3θ
=cos3. π/3
=cos π
=cos(2. π/2+0)
=cos00
=-1
ডানপক্ষ
4cos3θ – 3cosθ
=4cos3 π/3 – 3cos π/3
=4.( ½ )3 – 3. ½
= 4. 1/8 – 3/2
= ½ - 3/2
1-3
= -2/2
=-1
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
ঘ)
tan2θ
2tanθ
সমাধানঃ
বামপক্ষ
= tan2θ
= tan2. π/3
= tan 2π/3
= tan(π- π/3)
= -tan π/3
= -√3
ডানপক্ষ
2tanθ
2tan π/3
2. √3
2. √3
2. √3
= -√3
অতএব, বামপক্ষ=ডানপক্ষ [প্রমাণিত]
১১. প্রদত্ত শর্ত পূরণ করে ∞ (আলফা) এর মান নির্ণয় করঃ
ক) cot∞ = -√3, 3π/2 < ∞ < 2π
সমাধানঃ
চতুর্থ চতুর্ভাগে cot∞ = -√3
বা, cot∞ = - cot π/6
বা, cot∞ = cot(2π- π/6)
বা, cot∞ = cot 11π/6
বা, ∞ = 11π/6 [যা 3π/2 < ∞ < 2π শর্ত পূরণ করে]
খ) cot∞ = - ½ , π/2 < ∞ < 3π/2
সমাধানঃ
দ্বিতীয় চতুর্ভাগে cos∞ = - ½
বা, cos∞ = cos(π- π/3)
বা, ∞ = (π- π/3)
বা, ∞ = 2π/3 যা π/2 < ∞ < 3π/2 শর্ত পালন করে
আবার,
তৃতীয় চতুর্ভাগে, cos∞ = - ½
বা, cos∞ = cos(π + π/3)
বা, ∞ = (π + π/3)
বা, ∞ = 4π/3 যা π/2 < ∞ < 3π/2 শর্ত পালন করে
অতএব, ∞ = 2π/3 এবং 4π/3
গ) sin∞ = -√3/2, π/2 < ∞ < 3π/2
সমাধানঃ
sin∞ = -√3/2
বা, sin∞ = -sin π/3
বা, sin∞ = sin(π + π/3) [৩য় চতুর্ভাগে sin ঋণাত্মক]
বা, ∞ = (π + π/3)
বা, ∞ = 4π/3 যা π/2 < ∞ < 3π/2 শর্ত পালন করে
ঘ) cot∞ = -1, π < ∞ < 2π
সমাধানঃ
cot∞ = -1
বা, cot∞ = -cot π/4
বা, cot∞ = cot(2π - π/4) [৪র্থ চতুর্ভাগে cot ঋণাত্মক]
বা, ∞ = (2π - π/4)
বা, ∞ = 7π/4 যা π < ∞ < 2π শর্ত পালন করে
১২. সমাধান করঃ (যখন 0<θ<π/2)
ক) 2cos2θ = 1+2sin2θ
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2cos2θ = 1+2sin2θ
বা, 2cos2θ - 2sin2θ = 1
বা, 2(1-sin2θ) – 2sin2θ = 1 [cos2θ = 1-sin2θ]
বা, 2 – 2sin2θ -2sin2θ = 1
বা, 2 – 4sin2θ = 1
বা, - 4sin2θ = - 1
বা, sin2θ = ¼
বা, sinθ = ±½
যেহেতু 0<θ<π/2, সুতরাং sinθ = - ½ গ্রহণযোগ্য নয়।
অতএব, sinθ = ½
বা, sinθ = sin π/6
বা, θ = π/6
খ) 2sin2θ – 3cosθ = 0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sin2θ – 3cosθ = 0
বা, 2(1-cos2θ) – 3 cosθ = 0
বা, 2 – 2cos2θ – 3cosθ = 0
বা, -(2cos2θ+3cosθ-2) = 0
বা, 2cos2θ + 3cosθ -2 = 0
বা, 2cos2θ + 4cosθ – cosθ – 2 =0
বা, 2cosθ(cosθ+2) – 1(cosθ + 2) = 0
বা, (2cosθ – 1)(cosθ + 2) = 0
বা, 2cosθ – 1 = 0 অথবা, cosθ+2 = 0
বা, 2cosθ = 1 বা, cosθ = - 2 [গ্রহণযোগ্য নয়]
বা, cosθ = ½
বা, cosθ = cosπ/3
বা, θ = π/3 যা 0<θ<π/2 শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ = π/3
গ) 6sin2θ – 11sinθ+4=0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
6sin2θ – 11sinθ+4=0
বা, 6sin2θ – 8sinθ – 3sinθ + 4 = 0
বা, 2sinθ(3sinθ – 4) – 1(3sinθ – 4) = 0
বা, (2sinθ – 1)(3sinθ – 4) = 0
বা, 2sinθ – 1 = 0 অথবা, 3sinθ – 4 = 0
বা, 2sinθ – 1 = 0 বা, 3sinθ – 4 =0
বা, 2sinθ = 1 বা, 3sinθ = 4
বা, sinθ= ½ বা, sinθ = 4/3 [গ্রহণযোগ্য নয়]
বা, sinθ = sin π/6
বা, θ = π/6 যা 0<θ<π/2 শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ = π/6
ঘ) tanθ+cotθ=4/√3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tanθ+cotθ=4/√3
বা, tanθ+1/tanθ = 4/√3
tan2θ+1 4
বা, √3(tan2θ+1)=4tanθ
বা, √3tan2θ+√3=4tanθ
বা, √3tan2θ-4tanθ+√3=0
বা, √3tan2θ-3tanθ-tanθ+√3=0
বা, √3tanθ(tanθ-√3)-1(tanθ-√3)=0
বা, (√3tanθ-1)(tanθ-√3)=0
বা, √3tanθ-1=0 অথবা, tanθ-√3=0
বা, √3tanθ=1 বা, tanθ=√3
বা, tanθ= 1/√3 বা, tanθ=tan π/3
বা, tanθ=tan π/6 বা, θ =π/3
বা, θ= π/6
এখন, θ= π/6; θ= π/3
যা 0<θ<π/2 শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ= π/6; π/3
ঙ) 2sin2θ+3cosθ=3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sin2θ+3cosθ=3
বা, 2(1-cos2θ)+3cosθ=3
বা, 2-2cos2θ+3cosθ-3=0
বা, -2cos2θ+3cosθ-1=0
বা, 2cos2θ-3cosθ+1=0
বা, 2cos2θ-2cosθ-cosθ+1=0
বা, 2cosθ(cosθ-1)-1(cosθ-1)=0
বা, (2cosθ-1)(cosθ-1)=0
বা, 2cosθ-1=0 অথবা, cosθ-1=0
বা, 2cosθ=1 বা, cosθ=1
বা, cosθ= ½ বা, cosθ=cos0
বা, cosθ=cos π/3 বা, θ=0
বা, θ=π/3
কিন্তু, 0<θ<π/2 শর্তমতে θ≠0
অতএব, θ=π/3
১৩. সমাধান করঃ (যখন 0< θ < 2π)
ক) 2sin2θ+3cosθ=0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sin2θ+3cosθ=0
বা, 2(1-cos2θ)+3cosθ=0
বা, 2-2cos2θ+3cosθ=0
বা, 2cos2θ-3cosθ-2=0
বা, 2cos2θ-4cosθ+cosθ-2=0
বা, 2cosθ(cosθ-2)+1(cosθ-2)=0
বা, (2cosθ+1)(cosθ-2)=0
বা, 2cosθ+1=0 অথবা, cosθ-2=0
বা, 2cosθ=-1 বা, cosθ=2 যা অসম্ভব।
বা, cosθ= - ½
বা, cosθ = - cos π/3
বা, cosθ = cos(π- π/3), cos(π+ π/3)
বা, cosθ = cos 2π/3, cos 4π/3
বা, θ=2π/3, 4π/3 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ=2π/3, 4π/3
খ) 4(cos2θ+sinθ)=5
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
4(cos2θ+sinθ)=5
বা, 4(1-sin2θ+sinθ)=5
বা, 4-4sin2θ+4sinθ=5
বা, 4-4sin2θ+4sinθ-5=0
বা, -4sin2θ+4sinθ-1=0
বা, 4sin2θ-4sinθ+1=0
বা, (2sinθ-1)2=0
বা, 2sinθ-1=0 [বর্গমূল করে]
বা, 2sinθ=1
বা, sinθ= ½
বা, sinθ= sin π/6, sin (π-π/6) [শর্তানুসারে]
বা, sinθ= sin π/6, sin 5π/6
বা, θ= π/6, 5π/6 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব, θ= π/6, 5π/6
গ) cot2θ+cosec2θ=3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
cot2θ+cosec2θ=3
বা, cot2θ+1+cot2θ=3
বা, 2cot2θ=3-1
বা, 2cot2θ=2
বা, cot2θ=1
বা, cotθ=±1
এখন, cotθ=1 হলে
cotθ=cot π/4, cot(π+ π/4) [শর্তানুসারে]
বা, cotθ=cot π/4, cot5π/4
বা, θ=π/4, 5π/4 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
আবার, cotθ= -1 হলে
cotθ= - cot π/4
বা, cotθ=cot(π- π/4), cot(2π- π/6) [শর্তানুসারে]
বা, cotθ=cot 3π/4, cot7π/4
বা, θ= 3π/4, 7π/4 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ= π/4; 5π/4; 3π/4; 7π/4
ঘ) tan2θ+cot2θ=2
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
tan2θ+cot2θ=2
বা, tan2θ.tan2θ+tan2θ.cot2θ= tan2θ.2 [tan2θ.cot2θ=1]
বা, tan4θ+1 = 2tan2θ
বা, tan4θ - 2tan2θ + 1 = 0
বা, (tan2θ – 1)2 = 0
বা, tan2θ – 1 =0
বা, tan2θ = 1
বা, tanθ = ±1
এখন, tanθ = 1 নিয়ে পাই,
tanθ = tan π/4, tan(π+π/4) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ = tan π/4, tan5π/4
বা, θ = π/4, 5π/4 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
আবার, tanθ = -1 নিয়ে পাই,
tanθ = - tan π/4
বা, tanθ = tan (π-π/4), tan(2π-π/4) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ = tan3π/4, tan7π/4
বা, θ = 3π/4, 7π/4 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ = π/4, 5π/4; 3π/4, 7π/4
ঙ) sec2θ+tan2θ=5/3
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
sec2θ+tan2θ=5/3
বা, 3(sec2θ+tan2θ) = 5
বা, 3(1+tan2θ+tan2θ) = 5
বা, 3+6tan2θ – 5 = 0
বা, 6tan2θ = 2
বা, tan2θ = 1/3
বা, tanθ = ±1/√3
এখন, tanθ = 1/√3 নিয়ে পাই,
tanθ= tan π/6, tan(π+ π/6) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ= tan π/6, tan7π/6
বা, θ= π/6, 7π/6 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
আবার, tanθ = - 1/√3 নিয়ে পাই,
বা, tanθ = - tan π/6
বা, tanθ = tan (π-π/6), tan(2π-π/6) [শর্তানুসারে]
বা, tanθ = tan5π/6, tan11π/6
বা, θ = 5π/6, 11π/6 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
θ = π/6, 5π/6; 7π/6, 11π/6
চ) 5cosec2θ-7cotθcosecθ-2=0
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
5cosec2θ-7cotθcosecθ-2=0
5 7cosθ
বা, 5 – 7cosθ – 2sin2θ = 0 [sin2θ দ্বারা গুণ করে]
বা, 5- 7cosθ – 2(1-cos2θ) = 0
বা, 5- 7cosθ – 2 + 2cos2θ = 0
বা, 2cos2θ – 7cosθ + 3 = 0
বা, 2cos2θ – 6cosθ – cosθ + 3 = 0
বা, 2cosθ(cosθ-3) – 1(cosθ-3) = 0
বা, (2cosθ-1)(cosθ-3) = 0
বা, 2cosθ-1 = 0 অথবা, cosθ-3 = 0
বা, 2cosθ = 1 বা, cosθ = 3 [গ্রহণযোগ্য নয়*]
বা, cosθ = ½ [*cosθ এর মান 1এর বেশী হয় না]
বা, cosθ = cos π/3; cos (2π - π/3) [শর্তানুসারে]
বা, cosθ = cos π/3; cos 5π/3 যা 0< θ < 2π শর্ত পূরণ করে।
বা, θ = π/3; 5π/3
অতএব,
θ = π/3; 5π/3
ছ) 2sinxcosx=sinx (0 ≤ x ≤ 2π)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
2sinx.cosx=sinx
বা, 4sin2x.cos2x = sin2x [বর্গ করে]
বা, 4sin2x(1-sin2x) = sin2x
বা, 4sin2x – 4sin4x = sin2x
বা, -4sin4x + 3sin2x = 0
বা, -sin2x(4sin2x-3)=0
বা, sin2x(4sin2x-3)=0
হয়, sin2x = 0
বা, sinx = 0
বা, sinx =sin0, sin(π-0), sin(2π-0)
বা, x = 0, π, 2π যা 0 ≤ x ≤ 2π শর্ত পূরণ করে।
অথবা,
4sin2x-3 = 0
বা, 4sin2x = 3
বা, sin2x = ¾
বা, sinx = ±√¾
বা, sinx = ± √3/2
বা, sinx = sin π/3; sin(π- π/3); sin(2π- π/3)
বা, sinx = sin π/3; sin 2π/3; sin 5π/3
বা, x = π/3; 2π/3; 5π/3 যা 0 ≤ x ≤ 2π শর্ত পূরণ করে।
অতএব,
x = 0, π, 2π, π/3; 2π/3; 5π/3
১৪. পৃথিবীর ব্যাসার্ধ 6440 কিলোমিইটার। ঢাকা ও পঞ্চগড় পৃথিবীর কেন্দ্রে 3.50 কোণ উৎপন্ন করে। শীতকালে একজন মানুষ পঞ্চগড়ের অপরূপ নৈসর্গিক দৃশ্য দেখতে চায়। সে 0.84 মিটার ব্যাস বিশিষ্ট চাকাওয়ালা একটি গাড়ী নিয়ে গেল।
ক) পৃথিবীর কেন্দ্রে ঢাকা ও পঞ্চগড়ের থেকে অঙ্কিত ব্যাসার্ধ কত রেডিয়ান কোণ উৎপন্ন করে?
সমাধানঃ
ঢাকা ও পঞ্চগড়ের মধ্যবর্তী কোণ
= 3.50
=(3.5✕ π/180)c
=0.0611c (প্রায়)
খ) ঢাকা এবং পঞ্চগড়ের দূরত্ব নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, r=6440 কিমি
ক হতে পাই, θ = 0.0611c
ঢাকা ও পঞ্চগড়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব s হলে,
s=rθ=6440✕0.611=393.484 কিমি।
অতএব, ঢাকা এবং পঞ্চগড়ের দূরত্ব 393.484 কিমি.
গ) ঢাকা থেকে পঞ্চগড় আসা যাওয়ার ক্ষেত্রে গাড়ীর প্রতিটি চাকা কতবার ঘুরবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, চাকার ব্যাস = 0.84 মি
অর্থাৎ ব্যাসার্ধ r = 0.84/2 মি =0.42 মি
তাহলে চাকার পরিধি = 2πr = 2✕3.1416✕0.42 মি = 2.64 মি (প্রায়)
আমরা জানি, চাকাটি তার পরিধির সমান পথ অতিক্রম করতে 1 বার ঘুরে।
তাহলে, 393.484 কিমি বা 393484 মি. অতিক্রম করতে চাকাটি ঘুরবে
= 393484 ÷ 2.64 = 149046.9697 = 149047 বার (প্রায়)।
অতএব, ঢাকা ও পঞ্চগড় আসা এবং যাওয়ার ক্ষেত্রে চাকা ঘুরবে 149047✕2 = 298094 বার।
১৫.
ক) চিত্রে ABC একটি বৃত্তাকার চাকা এবং চাকাটির AB চাপের দৈর্ঘ্য 25সেমি হলে θ এর মান কত? চাকাটি 1 বার ঘুরে কত মিটার দূরত্ব অতিক্রম করবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, চাকাটির AB চাপের দৈর্ঘ্য s=25 সেমি।
চিত্র হতে চাকার ব্যাসার্ধ r = 25 সেমি
কেন্দ্রস্থ কোণ = θ
আমরা জানি,
s = θr
বা, θ = s/r = 25/25 = 1 রেডিয়ান = 1✕180/π ডিগ্রি = 57.300 (প্রায়)
অতএব, θ = 57.300 (প্রায়)
আবার, আমরা জানি,
চাকাটির পরিধি =2πr = 2✕3.1416✕25 সেমি = 157.08 সেমি = 1.57 মিটার (প্রায়)।
অতএব, নির্ণেয় দূরত্ব 1.57 মিটার (প্রায়)।
খ) ABC চাকাটি. প্রতি সেকেন্ডে. 5 বার আবর্তিত হলে. চাকাটির গতিবেগ. ঘন্টায় কত হবে?
সমাধানঃ
ক হতে পাই, চাকাটি একবার ঘুরে 1.57 মিটার পথ অতিক্রম করে।
অতএব, চাকাটি প্রতি ঘন্টায় অতিক্রম করে
= 1.57✕5✕3600 মিটার পথ
= 28260 মিটার
= 28.26 কিমি
অতএব, চাকাটির গতিবেগ ঘন্টায় 28.26 কিমি।
গ) চিত্রে △BOD হতে sinθ এর মান ব্যবহার করে প্রমাণ কর যে, tanθ+secθ=x
সমাধানঃ
চিত্র হতে,
sinθ=BD/BO
x2-1
এখন,
cos2 θ
= 1-sin2θ
(x2-1)2
(x2+1)2-(x2-1)2
4x2
অতএব,
2x
তাহলে,
tanθ+secθ
sinθ 1
sinθ+1
x2-1
x2-1 + x2+1
2x2
2x2 x2+1
= x
অতএব, tanθ+secθ=x (প্রমাণিত)
১৬. একটি সমকোণী ত্রিভুজের. সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য. 7 সেমি. সবচেয়ে ছোট কোণের পরিমাণ 150 হলে. তার অতিভুজের দৈর্ঘ্য কত?
সমাধানঃ
মনে করি, ABC সমকোণী ত্রিভুজের সবচেয়ে ছোট বাহুর দৈর্ঘ্য BC=7 সেমি এবং ∠BAC=150
ত্রিভুজতির অতিভুজ AB=?
এখন, △ABC হতে পাই,
sin∠BAC = BC/AB
বা, sin150 = 7/AB
বা, AB = 7/sin150
বা, AB=10.764 সেমি (প্রায়)
অতএব, ত্রিভুজের অতিভুজের দৈর্ঘ্য 10.764 সেমি (প্রায়)।
0 Comments