অনুশীলনী-৭
১. 1,3,5,7,………অনুক্রমটির 12 তম পদ কোনটি?
ক) 12 খ) 13 গ) 23 ঘ) 25
উত্তরঃ গ
[প্রথম পদ a, সাধারণ অন্তর d হলে, r তম পদ=a+(r-1)d; 12 তম পদ = 1+(12-1)✕2=23]
২. কোনো একটি অনুক্রমের n তম পদ
1
হলে এর তৃতীয় পদ কোনটি?
ক) 1/3 খ) 1/6 গ) 1/12 ঘ) 1/20
উত্তরঃ গ
[প্রদত্ত সমীকরণে n এর মান বসালে পাওয়া যায় 1/12]
৩. কোনো একটি অনুক্রমের n তম পদ
1-(-1)n
হলে 20 তম পদ কোনটি?
ক) 0 খ) 1 গ) -1 ঘ) 2
উত্তরঃ ক
[প্রদত্ত সমীকরণে n এর মান বসালে পাওয়া যায় 0]
৪. কোনো একটি অনুক্রমের n তম পদ un=1/n এবং un<10-4 হলে n এর মান হবে
i. n<103 ii. n<104 iii. n>104
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) iii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ ক
[un=1/n এবং un<10-4; ∴ 1/n < 10-4 বা, 1/n < 1/104 বা, n > 104
৫. কোনো একটি অনুক্রমের n তম পদ un=1-(-1)n হলে, এর
i. 10 তম পদ 0
ii. 15 তম পদ 2
iii. প্রথম 12 পদের সমষ্টি 12
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ ঘ
[i. 10 তম পদ 1-(-1)10=1-1=0
ii. 15 তম পদ 1-(-1)15=1+1=2
iii. ১ম পদ=1-(-1)1=1+1=2; ২য় পদ=1-(-1)2=1-1=0; ৩য় পদ=1-(-1)3=1+1=2; ৪র্থ পদ=1-(-1)4=1-1=0; ১২তম পদ=1-(-1)12=1-1=0
প্রথম 12 পদের সমষ্টি =6✕0+6✕2=0+12=12]
পার্শ্বের ধারাটি লক্ষ কর এবং (৬-৮) নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও। 4+4/3+4/9+…….
৬. ধারাটির 10 তম পদ কোনটি?
ক) | 4 --- 310 | খ) | 4 --- 39 | গ) | 4 --- 311 | ঘ) | 4 --- 312 |
উত্তরঃ খ
[ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার প্রথম পদ a=4; সাধারন অনুপাত
r =
4/3
∴ 10 তম পদ
=ar9
=4✕(1/3)9
4
৭. ধারাটির ১ম 5 পদের সমষ্টি কত?
ক) 160/27 খ) 484/81 গ) 12/9 ঘ) 20/9
উত্তরঃ খ
[এখানে, r=1/3 < 1
∴ধারাটির ১ম ৫ পদের সমষ্টি =
a(1-rn)
4{1-(1/3)5}
4(1-1/243)
4✕242
484
৮. ধারাটির অসীমতক সমষ্টি কত?
ক) 0 খ) 5 গ) 6 ঘ) 7
উত্তরঃ গ
{ধারাটির অসীমতক সমষ্টি S∞
a
4
4
=4✕3/2
= 6 }
৯. প্রদত্ত অনুক্রমের 10 তম পদ, 15 তম পদ এবং r তম পদ নির্ণয় করঃ
ক) 2,4,6,8,10,12,…….
সমাধানঃ
2,4,6,8,10,12,…….অনুক্রমটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ১ম পদ a=2
সাধারন অন্তর d=4-2=2
∴ r তম পদ=a+(r-1)d=2+(r-1)2=2+2r-2=2r
∴ 10 তম পদ=2✕10=20
∴ 15 তম পদ=2✕15=30
খ) ½,1,3/2,2,5/2,……
সমাধানঃ
½,1,3/2,2,5/2,…… অনুক্রমটি একটি সমান্তর ধারা।
এখানে, ১ম পদ a=½
সাধারন অন্তর d=1-1/2=½
∴ r তম পদ=a+(r-1)d=½+(r-1)½=½+r/2–½=r/2
∴ 10 তম পদ=10/2=5
∴ 15 তম পদ=15/2
গ) অনুক্রমটির n তম পদ
1
সমাধানঃ
অনুক্রমটির n তম পদ
1
∴ অনুক্রমটির r তম পদ
1
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ
1
1
10✕11
1
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ
1
1
1
ঘ) 0,1,0,1,0,1,…….
সমাধানঃ
0,1,0,1,0,1,…….অনুক্রমটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে বিজোড় স্থানের অঙ্কগুলো 0 এবং জোড় স্থানের অঙ্কগুলো 1.
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ=1
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ=0
∴ অনুক্রমটির r তম পদ=0 (r বিজোড় হলে) বা, 1 (r জোড় হলে)
ঙ) 5,5/3,5/9,5/27,5/81,…………
সমাধানঃ
5,5/3,5/9,5/27,5/81,…………অনুক্রমটি একটি গুণোত্তর প্রগমন।
এখানে, প্রথম পদ a=5
সাধারণ অনুপাত d=
5/3
=5/3✕1/5
=1/3
∴ অনুক্রমটির r তম পদ
=adr-1
=5.(1/3)r-1
5
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ
5
5
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ
5
5
চ) অনুক্রমটির n তম পদ
1-(-1)3n
সমাধানঃ
অনুক্রমটির n তম পদ
1-(-1)3n
এখানে n এর মান জোড় হলে n তম পদ
1-1
= 0
এবং n এর মান বিজোড় হলে n তম পদ
1+1
= 1
∴ অনুক্রমটির 10 তম পদ=0 [10 জোড় বলে]
∴ অনুক্রমটির 15 তম পদ=1 [15 বিজোড় বলে]
∴ অনুক্রমটির r তম পদ=1 যখন r বিজোড় এবং 0 যখন r জোড়।
১০. একটি অনুক্রমের n তম পদ un=1/n
ক) un<10-5 হলে n এর মান কিরুপ হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির n তম পদ un=1/n এবং un<10-5
∴ 1/n < 10-5
1 1
বা, n > 105
খ) un>10-5 হলে, n এর মান কিরুপ হবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির n তম পদ un=1/n এবং un<10-5
∴ 1/n > 10-5
1 1
বা, n < 105
গ) un এর প্রান্তীয় মান (n যথেষ্ট বড় হলে) সম্পর্কে কী বলা যায়?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
অনুক্রমটির n তম পদ un=1/n
এখন n যথেষ্ট বড় হলে অর্থাৎ n---à∞ হবে তখন
1/n=1/∞=0
∴ un এর প্রান্তীয় মান 0
১১. প্রদত্ত অসীম গুণোত্তর ধারার (অসীমতক) সমষ্টি যদি থাকে, তবে তা নির্ণয় করঃ
ক) 1+1/2+1/4+1/8+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=1
এবং সাধারণ অনুপাত, r=1/2÷1=1/2
এখানে, | r |=| ½ | = ½ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
1
1
= 2
খ) 1/5-2/52+4/53-8/54+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=1/5
এবং সাধারণ অনুপাত, r=-2/52 ÷1/5=-2/25÷1/5=-2/25✕5=-2/5
এখানে, | r |=|-2/5 | =2/5 < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
1/5
1/5
= 1/7
গ) 8+2+1/2+1/8+1/32+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=8
এবং সাধারণ অনুপাত, r=2÷8=¼
এখানে, | r |=| 1/4 | = ¼ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
8
8
= 32/3
ঘ) 1+2+4+8+16+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a=1
এবং সাধারণ অনুপাত, r=2÷1=2
এখানে, | r |=| 2 | = 2 > 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নেই।
ঙ) ½+(-1/4)+1/8+(-1/16)+….
সমাধানঃ
ধারাটির ১ম পদ, a= ½
এবং সাধারণ অনুপাত, r= -¼ ÷ ½ = -¼✕2 = -½
এখানে, | r |=| -½ | = ½ < 1, সুতরাং ধারাটির অসীমতক সমষ্টি বিদ্যমান।
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি,
S∞
a
½
½
½
= ½✕2/3
=1/3
১২. নিন্মোক্ত ধারাসমূহের প্রথম n সংখ্যক পদের যোগফল নির্ণয় করঃ
ক) 7+77+777+….
সমাধানঃ
7+77+777+….+n তম পদ
=7(1+11+111+….+ n তম পদ)
=7/9.(9+99+999+….+n তম পদ)
=7/9.{(10-1)+(100-1)+(1000-1)+….+n তম পদ}
=7/9.{(10+100+1000+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=7/9.{(10+102+103+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=7/9.{10(1+10+102+….+n তম পদ)-n}
7 10n-1
=70/81(10n-1)-7n/9
খ) 5+55+555+….
সমাধানঃ
5+55+555+….+n তম পদ
=5(1+11+111+….+ n তম পদ)
=5/9.(9+99+999+….+n তম পদ)
=5/9.{(10-1)+(100-1)+(1000-1)+….+n তম পদ}
=5/9.{(10+100+1000+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=5/9.{(10+102+103+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=5/9.{10(1+10+102+….+n তম পদ)-n}
5 10n-1
=50/81(10n-1)-5n/9
১৩. x-এর উপর কী শর্ত আরোপ করলে
1 1 1
অসীম ধারাটির (অসীমতক) সমষ্টি থাকবে এবং সেই সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রদত্ত ধারাটি,
1 1 1
এখানে,
প্রথম পদ,
1
এবং সাধারণ অনুপাত,
r=
1 1
1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি থাকবে যদি | r | < 1 হয়,
অর্থাৎ,
1
বা, |x+1| > 1
তাহলে,
x+1 > 1 [অঋণাত্মক হলে]
বা, x > 0
এবং,
-(x+1) > 1 [ঋণাত্মক হলে]
বা, x+1 < -1
বা, x < -2
∴ নির্ণেয় শর্তঃ x < -2 অথবা x > 0
∴ অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
1
1
1 x+1
= 1/x
১৪. প্রদত্ত পোনঃপুনিক দশমিকগুলোকে মূলদীয় ভগ্নাংশে প্রকাশ করঃ
ক) | .. 0.27 | খ) | . . 2.305 | গ) | . . 0.0123 | ঘ) | . . 3.0403 |
সমাধানঃ | |
ক) | |
.. 0.27 | =.2727272727…………… |
যা একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা | |
ধারাটির ১ম পদ a=.27
এবং সাধারন অনুপাত r=.0027/.27 = 0.1 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.27
.27
27
3
সমাধানঃ | |
খ) | |
. . 2.305 | =2.305 305 305…………… |
=2+.305+.000305+.000000305+…… | |
এখানে, .305+.000305+.000000305+……একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা
ধারাটির ১ম পদ a=.305
এবং সাধারন অনুপাত r=.000305/.305 = .001 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.305
.305
305
∴ | . . 2.305 | = | 2 + | 305 ----- 999 |
= | 305 2------ 999 | |||
সমাধানঃ | |
গ) | |
. . 0.0123 | =.0123 0123 0123…………… |
=.0123+.0000123+.0000000123+…… | |
যা একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা | |
ধারাটির ১ম পদ a=.0123
এবং সাধারন অনুপাত r=.0000123/.0123 = .001 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.0123
.0123
123
41
সমাধানঃ | |
ঘ) | |
. . 3.0403 | =3.0403403403…………… |
=3+.0403+.0000403+.0000000403+…… | |
এখানে, .0403+.0000403+.0000000403+……একটি অনন্ত গুনোত্তর ধারা
ধারাটির ১ম পদ a=.0403
এবং সাধারন অনুপাত r=.0000403/.0403 = .001 < 1
ধারাটির অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
.0403
.0403
403
∴ | . . 3.0403 | = | 3 + | 403 ----- 9990 |
= | 403 2------- 9990 | |||
১৫. a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা।
ক) ধারাটির সপ্তম পদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা।
ধারাটির ১ম পদ a=a
সাধারন অনুপাত r= ab/a=b
∴ ধারাটির সপ্তম পদ = ar7-1=a.b6=ab6
খ) a=1 এবং b=½ হলে, ধারাটির অসীমতক সমষ্টি যদি থাকে তবে তা নির্ণয় কর।
সামাধানঃ
a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা
এখন, a=1 এবং b=½ হলে ধারাটি হয়
1+1.(½)+1(½)2+….
বা, 1+1/2+1/4+……
যার ১ম পদ a=1
সাধারণ অনুপাত r= ½ ÷ 1 = ½ < 1
ধারাটির সমষ্টি
∴ S∞
a
1
1
= 2
গ) a এর স্থলে 3, ab এর স্থলে 33 এবং ab2 এর স্থলে 333 বসালে যে ধারা পাওয়া যায় তার প্রথম n সংখ্যক পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
a+ab+ab2+…. একটি গুণোত্তর ধারা
এখন, a=3, ab=33 এবং ab2=333 হলে ধারাটি হয়
3+33+333+……..
তাহলে,
ধারাটির n সংখ্যক পদের সমষ্টি
=3+33+333+….+n তম পদ
=3(1+11+111+….+ n তম পদ)
=3/9.(9+99+999+….+n তম পদ)
=3/9.{(10-1)+(100-1) +(1000-1)+….+n তম পদ}
=3/9.{(10+100+1000+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=3/9.{(10+102+103+….+n তম পদ)-(1+1+1+…. n তম পদ)}
=3/9.{10(1+10+102+….+n তম পদ)-n}
3 10n-1
=30/81(10n-1)-3n/9
=10/27(10n-1)-n/3
১৬. একটি গুণোত্তর ধারার তিনটি ক্রমিক পদের সমষ্টি
4
ক) উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।
সমাধানঃ
মনে করি, ১ম পদ = a
সাধারণ অনুপাত = r
শর্তমতে, | |
a+ar+ar2 = | 4 24--- ….(i) 5 |
a.ar.ar2=64 | ……(ii) |
খ) ধারাটির প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক-হতে পাই,
a.ar.ar2=64
বা, a3r3=43
বা, (ar)3=43
বা, ar=4
বা, a=4/r……..(i)
আবার,
a+ar+ar2=124/5
বা, 4/r+(4/r)r+(4/r)r2=124/5
বা, 4/r+4+4r=124/5
বা, 20+20r+20r2=124r [উভয়পক্ষকে 5r দ্বারা গুণ করে]
বা, 20+20r+20r2-124r=0
বা, 20r2-104r+20=0
বা, 5r2-26r+5=0 [[উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা ভাগ করে]
বা, 5r2-25r-r+5=0
বা, 5r(r-5)-1(r-5)=0
বা, (5r-1)(r-5)=0
বা, 5r-1=0 অথবা, r-5=0
বা, 5r=1 বা, r=5
বা, r=1/5
r এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
যখন r=1/5 তখন a=4 ÷ (1/5)= 4*5=20
যখন r=5 তখন a=4/5
∴ ধারাটির ১ম পদ 20 হলে সাধারণ অনুপাত 1/5
এবং ১ম পদ 4/5 হলে সাধারণ অনুপাত 5
গ) সাধারণ অনুপাত 1/5 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
খ হতে পাই,
ধারাটির সাধারণ অনুপাত r= 1/5 হলে এর প্রথম পদ a= 20
এখন, 1/5 < 1
∴অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
20
20
=100/4
=25
১৭. চারটি কুকুর এক কিলোমিটার বাহুবিশিষ্ট একটি বর্গক্ষেত্রের চার কোণায় দাঁড়িয়ে আছে। এবার প্রতিটি কুকুর একই বেগে সরাসরি ডানের কুকুরের দিকে চোঁখ বন্ধ করে অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করে। চোঁখ খুলেই আবার ডানে অবস্থিত কুকুরের দিকে একইভাবে অর্ধেক দূরত্ব দৌড়ায়।
ক) এভাবে দৌড়াতে থাকলে পরিশেষে কুকুরগুলোর অবস্থান কী হবে? তারা প্রত্যেকে কত দুরত্বই বা অতিক্রম করবে?
সমাধানঃ
ধরি, ABCD বর্গক্ষেত্রের চারটি কৌণিক বিন্দু A, B, C ও D তে চারটি কুকুর অবস্থান করছে।
[প্রশ্নানুসারে, ১ম কুকুর পর্যায়ক্রমে AE, EP, PT…. এভাবে দূরত্ব অতিক্রম করে এবং অপর কুকুরগুলোও একইভাবে দূরত্ব অতিক্রম করে]
তাহলে,
AB=BC=CD=DA=x=1 কিমি……(i)
AE=BE=BF=CF=x/2
△BEF-এ
EF2=BE2+BF2
বা, EF2=(x/2)2+(x/2)2
x2 x2
2x2
x2
x
x/√2
x
এখন, EP=PF
△PQF-এ
PQ2=PF2+FQ2
=(x/2√2)2+(x/2√2)2
=x2/8+x2/8
=2x2/4
=x2/4
∴PQ=x/2……(ii)
x/2
এখন, (i), (ii), (iii) যাচাই করে কুকুরের n তম অবস্থানে
বাহুর মান
x
এখন, n=∞ হলে,
বাহুর মান
x
x
= 0
অর্থাৎ, এভাবে দৌড়াতে থাকলে কুকুরগুলোর অবস্থান বর্গের কর্ণদ্বয়ের ছেদ বিন্দুতে হবে।
এখন, ১ম কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব
= AE+EP+PT+……
=x/2+x/2√2+x/4+……
= ½+ 1/2√2+1/4+…… [x এর মান বসিয়ে]
ধারাটি একটি গুণোত্তর ধারা যার।
১ম পদ a=½
সাধারন অনুপাত r = 1/2√2 ÷ ½ = 1/√2 < 1
∴ অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
½
½
1.√2
= 1.707 (প্রায়)
খ) অর্ধেক দূরত্ব পর দিক পরিবর্তন না করে যদি k ভাগের একভাগ অতিক্রম করে দিক পরিবর্তন করে তাহলে উপরের প্রশ্নের উত্তর দাও।
সমাধানঃ
প্রশ্নমতে,
AB=BC=CD=DA=x
AE=x/k=BF=CG
∴BE=x-x/k
∴EF2=(x-x/k)2+(x/k)2
=x2-2.x.(x/k)+(x/k)2+(x/k)2
2x2 x2 x2
k2x2-2x2k+x2+x2
k2x2-2x2k+2x2
x2(k2-2k+2)
x√(k2-2k+2)
√(k2-2k+2)
অনুরুপভাবে তৃতীয় অবস্থানের জন্য বর্গের বাহু
{√(k2-2k+2)}2
n তম অবস্থানে বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য
{√(k2-2k+2)}n-1
n=∞ হলে বাহুর দৈর্ঘ্য হবে
{√(k2-2k+2)}∞-1
= 0
∴ এভাবে দৌড়াতে থাকলে পরিশেষে কুকুরগুলো বৃহত্তর বর্গের কর্ণদ্বয়ের ছেদবিন্দুতে অবস্থান করবে।
প্রতিটি কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব
1 x√(k2-2k+2) x√(k2-2k+2)
এটি একটি গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a=x=1
সাধারণ অন্তর r
x√(k2-2k+2)
√(k2-2k+2)
∴অসীমতক সমষ্টি
S∞
1 a
1 1
1 k
1
গ) ক্ষেত্রটি বর্গক্ষেত্র না হয়ে যদি সমবাহু ত্রিভুজ হতো তাহলে উপরের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।
সমাধানঃ
অর্ধেক দূরত্ব অতিক্রম করে দিক পরিবর্তন এর ক্ষেত্রেঃ
মনে করি, ABC সমবাহু ত্রিভুজের কৌণিক বিন্দু A, B, C তে তিনটি কুকুর অবস্থান করছে।
[শর্তমতে, ১ম কুকুর অতিক্রম করে BE+ER+RT+……কিমি]
প্রথম অবস্থানে △ABC এ AB=BC=CA=x=1 কিমি।
∴BE=BC/2=x/2
দ্বিতীয় অবস্থানে △DEF এ DE=EF=FD=x/2 কিমি
∴ ER=EF/2=(x/2 ÷2)=x/4
তৃতীয় অবস্থানে △PQR এ PQ=QR=RP=(x/2 ÷2)=x/4 কিমি
∴RT=RP/2=(x/4 ÷2)=x/8
এভাবে দৌড়াতে থাকলে কুকুরগুলো বৃহত্তর ত্রিভুজের আন্তঃকেন্দ্রে অবস্থান করবে।
তাহলে, ১ম কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব
=BE+ER+RT+…….
=x/2+x/4+x/8+……
= ½ + ¼ + 1/8 +….. [x এর মান বসিয়ে]
যা একটি গুনোত্তর ধারা
যেখানে ১ম পদ a = ½
সাধারণ অনুপাত r = ¼ ÷ ½ = ¼ ✕ 2 = ½
অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
½
½
= 1
∴ প্রতিটি কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব 1 কিমি।
আবার,
K ভাগের এক ভাগ দূরত্ব অতিক্রম করে দিক পরিবর্তনের ক্ষেত্রেঃ
BC=CA=AB=x=1 কিমি
∴BE=x/k
∴EC=x-x/k
EF2
=EC2+FC2-2.EC.DC.cos600
=(x-x/k)2+(x/k)2-2(x-x/k)x/k.cos600
=(x-x/k)2+(x/k)2-2(x-x/k)x/k.½
=(x-x/k)2+(x/k)2-(x-x/k)x/k.
=x2+(x/k)2-2.x.x/k+(x/k)2-x2/k+(x/k)2
=x2+3(x/k)2-3x2/k
x2k2+3x2-3x2k
x2(k2+3-3k)
√(k2+3-3k)
√(k2+3-3k)
অনুরুপভাবে,
{√(k2+3-3k)}2
{√(k2+3-3k)}2
তাহলে, n তম বাহুর মান
{√(k2+3-3k)}n-1
n=∞ হলে বাহুর মান
{√(k2+3-3k)}∞-1
= 0
অর্থাৎ, কুকুরগুলো এভাবে দৌড়াতে থাকলে তারা ত্রিভুজের আন্তঃকেন্দ্রে অবস্থান করবে।
এখন,
প্রতিটি কুকুরের অতিক্রান্ত দূরত্ব
x x√(k2+3-3k) x{√(k2+3-3k)}2
1 √(k2+3-3k) {√(k2+3-3k)}2
যা একটি গুণোত্তর ধারা যার ১ম পদ a=1/k
সাধারণ অন্তর
√(k2+3-3k)
√(k2+3-3k)
অসীমতক সমষ্টি
S∞
a
1/k
1/k
1
0 Comments