9-10 H Math 6.3

 অনুশীলনী-৬.৩

১. 5x+5 > 25 অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক) S={x ∈ R : x > 4}

খ) S={x ∈ R : x < 4}

গ) S={x ∈ R : x ≤ 4}

ঘ) S={x ∈ R : x ≥ 4}

উত্তরঃ ক

[5x+5 > 25 বা, 5x > 20 বা, x > 4]

২. x+y=-2 সমীকরণটিতে x এর কোন মানের জন্য y=0 হবে?

ক) 2    খ) 0    গ) 4    ঘ) -2

উত্তরঃ ঘ

[x+y=-2 বা, y=-2+x বা, x=-2 হলে y=0 হবে]

৩. 2xy+y=3 সমীকরণটির সঠিক স্থানাংক কোনগুলো?

ক) (1,-1), (2,-1)   খ) (1,1), (-1,-3)

গ) (1,1), (-2,-1)     ঘ) (-1,1), (2,-1)

উত্তরঃ গ

[1,1), (-2,-1)  এর জন্য x=1,y=1 বা, x=-2,y=-1 বসালে মান 3 হয়]

নিন্মোক্ত অসমতাটি থেকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

x ≤ ^x/₄+3

৪. অসমতাটির সমাধান সেট কোনটি?

ক) S={x ∈ R : x > 4}

খ) S={x ∈ R : x < 4}

গ) S={x ∈ R : x ≤ 4}

ঘ) S={x ∈ R : x ≥ 4}

উত্তরঃ গ

[x ≤ ^x/₄+3 বা, x-x/4 ≤ 3 বা, 4x-x ≤ 12 বা, 3x ≤ 12 বা, x ≤ 4]

৫. অসমতাটির সমাধান সেটের সংখ্যা রেখা কোনটি?

উত্তরঃ গ

৬. 3x+6 > 9 অসমতাটির

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.     খ) i. ও iii.     গ) ii. ও iii.      ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ক

৭. রিতা, মিতা ও বীথির বয়স যথাক্রমে x, 2x ও 3x বছর এবং তাদের তিন জনের বয়সের সমষ্টি অনুর্ধব 60 বছর হলে

(i) সমস্যাটির গাণিতিক প্রকাশ x+2x+3x ≤ 60

(ii) রিতার বয়স ≤ 10 বছর

(iii) মিতার বয়স > 20 বছর

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.     খ) i. ও iii.     গ) ii. ও iii.      ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ক

[x+2x+3x ≤ 60 বা, 6x ≤60 বা, x ≤ 10 বা, 2x ≤ 20 ]

৮. a, b ও c তিনটি বাস্তব সংখ্যা। a>b এবং c≠0 হলে

(i) a.c > b.c যখন c > 0

(ii) a.c < b.c যখন c < 0

(iii) ^a/_c > ^b/_c যখন c > 0

নিচের কোনটি সঠিক?

ক) i. ও ii.     খ) i. ও iii.     গ) ii. ও iii.      ঘ) i, ii. ও iii.

উত্তরঃ ঘ

[c>0, c=1, a=3, b=2 হলে ac>bc বা, 3 > 2 বা, ^a/_c > ^b/_c বা, 3 > 2

c<0, c=-1, a=3, b=2 হলে ac<bc বা, -3 < -2]

৯. নিচের প্রত্যেক অসমতার সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন করঃ

ক. x-y > -10

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x-y > -10

বা, x-y+10 > 0

এখন,

x-y+10 = 0

বা, y=x+10 সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-6	-2	0
y	4	8	10

∴ (x,y)=(-6,4), (-2,8), (0,10)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, x-y+10 > 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 10 > 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সে পাশে।

খ. 2x-y < 6

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

2x-y < 6

বা, 2x-y-6 < 0

এখন,

2x-y-6 = 0

বা, y=2x-6 সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	6	4	2
y	6	2	-2

∴ (x,y)=(6,6), (4,2), (2,-2)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, 2x-y-6 < 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -6 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সে পাশে।

গ. 3x-y ≥ 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

3x-y ≥ 0

এখন,

3x-y=0

বা, y=3x সমীকরণের লেখ অঙ্কন করি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	0	2	-2
y	0	6	-6

∴ (x,y)=(0,0), (2,6), (-2,-6)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, 3x-y ≥ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 0 = 0 এবং 3x-y ≥ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (1,1) বসালে পাওয়া যায় 2 > 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে (1,1) রয়েছে সে পাশের সকল বিন্দু এবং লেখরেখার উপরস্থ সকল বিন্দু।

ঘ. 3x-2y ≤12

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

3x-2y ≤12

বা, 3x-2y-12 ≤ 0

এখন,

3x-2y-12 = 0

বা, 2y=3x-12

          3x-12

বা, y=----------- এর লেখ আঁকি।

             2

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	0	4	8
y	6	0	6

∴ (x,y)=(0,6), (4,0), (8,6)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, 3x-2y-12 ≤ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -12 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সে পাশের সকল বিন্দু এবং লেখচিত্রস্থ সকল বিন্দু।

ঙ. y < -2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, y < -2

এখন, y=-2 এর লেখচিত্র আঙ্কন করি।

ছক কাগজে বৃহত্তম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (0,-2) বিন্দু দিয়ে x-অক্ষের সমান্তরাল করে লেখ-রেখাটি অঙ্কন করা হলো।

এখন, y=0 হলে 0 > -2 যা y < -2 কে সিদ্ধ করে না। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

চ. x ≥ 4

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x ≥ 4

এখন, x=4 সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

ছক কাগজে বৃহত্তম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (4,0) বিন্দু দিয়ে y-অক্ষের সমান্তরাল করে লেখ-রেখাটি অঙ্কন করা হলো।

এখন, x=0 হলে 0 < 4 যা  x ≥ -2 কে সিদ্ধ করে না। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু এবং লেখ-রেখাটির উপরস্থ সকল বিন্দু।

ছ. y > x+2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y > x+2

বা, y-x-2 > 0

এখন,

y-x-2 = 0

বা, y = x+2 সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-2	0	2
y	0	2	4

∴ (x,y)=(-2,0), (0,2), (2,4)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, y-x-2 > 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -2 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে  না বা মান সত্য নয়। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

জ. y < x+2

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y < x+2

বা, y-x-2 < 0

এখন,

y-x-2 = 0

বা, y = x+2 সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-2	0	2
y	0	2	4

∴ (x,y)=(-2,0), (0,2), (2,4)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, y-x-2 < 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় -2 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে সেই পাশের সকল বিন্দু।

ঝ. y ≥ 2x

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

y ≥ 2x

বা, y-2x ≥ 0

এখন,

y-2x = 0

বা, y =2x সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	-2	0	2
y	-4	0	4

∴ (x,y)=(-2,-4), (0,0), (2,4)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, y-2x ≥ 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 0 = 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে বা মান সত্য কিন্তু (1,1) বসালে পাওয়া যায় -1 < 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে না বা মান সত্য নয়। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে (1,1) রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু এবং লেখ-রেখার উপরস্থ সকল বিন্দু।

ঞ. x+3y < 0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

x+3y < 0

এখন,

x+3y = 0

বা, 3y = -x

বা, y=-^x/₃ সমীকরণের লেখচিত্র আঁকি।

লেখস্থিত কয়েকটি বিন্দু-

x	6	0	-6
y	-2	0	2

∴ (x,y)=(6,-2), (0,0), (-6,2)

ছক কাগজে ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, x+3y < 0 অসমতার লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য উক্ত অসমতায় (1,1) বসালে পাওয়া যায় 4 > 0 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে না বা মান সত্য নয়। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে (1,1) রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

১০. হযরত শাহজালাল বিমান বন্দর থেকে সিঙ্গাপুর বিমান বন্দরের দূরত্ব 2900 কিমি। বাংলাদেশ বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ 500 কিমি/ঘন্টা। কিন্তু হযরত শাহজালাল বিমান বন্দর থেকে সিঙ্গাপুর যাবার পথে প্রতিকূলে 60 কিমি/ঘন্টা বেগে বায়ু প্রবাহের সম্মুখীন হয়।

ক) প্রদত্ত সমস্যাটির প্রয়োজনীয় সময় t ঘন্টা ধরে সমস্যাটিকে অসমতায় প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

ধরি, প্রদত্ত দুই বিমান বন্দরের বিমান পথের দূরত্ব 2900 কিমি যেতে প্রয়োজনীয় সময় t ঘন্টা।

∴ বিমানের গতিবেগ=²⁹⁰⁰/_t কিমি/ঘন্টা

আবার বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ 500 কিমি/ঘন্টা

অর্থাৎ বিমানের গতিবেগ ≤500 কিমি/ঘন্টা

এবং বায়ুর গতিবেগ=60 কিমি/ঘন্টা

∴ বায়ুর প্রতিকুলে বিমানের বেগ ≤(500-60) কিমি/ঘন্টা

∴ নির্ণেয় অসমতাঃ

 ²⁹⁰⁰/_t ≤ (500-60)

খ) হযরত শাহজালাল বিমানবন্দর থেকে সিঙ্গাপুর বিমান বন্দর পর্যন্ত বিরতিহীন উড্ড্যনের প্রয়োজনীয় সময় ১০ক তে বর্ণিত অসমতা থেকে নির্ণয় কর এবং সংখ্যা রেখায় দেখাও।

সমাধানঃ

ক-হতে পাই,

²⁹⁰⁰/_t ≤ (500-60)

বা, ²⁹⁰⁰/_t ≤ 440

বা, 2900 ≤ 440t

বা, ²⁹⁰⁰/₄₄₀ ≤ t

       13

বা, 6---- ≤ t

       22

সংখ্যা রেখাঃ

গ) সিঙ্গাপুর থেকে হযরত শাহজালাল বিমানবন্দরে ফেরার পথে বিরতিহীন উড্ডয়নের প্রয়োজনীয় সময়কে x ধরে সমস্যাটিকে অসমতার মাধ্যমে প্রকাশ করে লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত শর্তমতে বিমান x ঘন্টায় 2900 কিমি অতিক্রম করলে বিমানের গতিবেগ হবে ²⁹⁰⁰/_x কিমি/ঘন্টা

আবার বিমানের সর্বোচ্চ গতিবেগ 500 কিমি/ঘন্টা

অর্থাৎ বিমানের গতিবেগ ≤500 কিমি/ঘন্টা

এবং বায়ুর গতিবেগ=60 কিমি/ঘন্টা

∴ বায়ুর অনুকুলে বিমানের বেগ ≤(500+60) কিমি/ঘন্টা

তাহলে,

²⁹⁰⁰/_x ≤(500+60)

বা, ²⁹⁰⁰/_x ≤ 560

বা, 2900 ≤ 560x

বা, 2900/560 ≤ x

বা, 5.18 (প্রায়)≤ x

বা, x ≥ 5.18 (প্রায়)

ছক কাগজের বৃহত্তম বর্গের এক বাহু সমান 1 একক ধরে অসমতাটিকে ছক কাগজে স্থাপন করি। লেখচিত্র হতে দেখা যায় যে, x=5.18 বিন্দুগামী রেখাস্থ সকল বন্দু ও রেখার ডানপাশে অবস্থিত সকল বিন্দুই অসমতার সমাধান।

১১. দুইটি সংখ্যার ১ম সংখ্যাটির 3 গুণ থেকে ২য় সংখ্যাটির 5 গুণ বিয়োগ করলে 5 অপেক্ষা বৃহত্তর হয়। আবার ১ম সংখ্যা থেকে ২য় সংখ্যার 3 গুণ বিয়োগ করলে অনুর্ধব 9 হয়।

ক) উদ্দীপকের সমস্যাগুলোকে অসমতায় দেখাও।

সমাধানঃ

মনে করি,

সংখ্যা দুইটি x ও y

তাহলে,

3x-5y > 5

এবং,

x-3y ≤ 9

খ) ১ম সংখ্যাটির 5 গুণ, ১ম সংখ্যার দ্বিগুণ এবং 15 এর সমষ্টি অপেক্ষা ছোট হলে সংখ্যাটির সম্ভাব্য মান অসমতায় প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

প্রশ্নমতে,

5x < 2x+15

বা, 5x-2x < 2x-2x+15 [উভয়পক্ষের সাথে -2x যোগ করে]

বা, 3x < 15

বা, x < 5 .[উভয়পক্ষকে ¹/₃ দ্বারা গুণ করে].

গ) ক. এ প্রাপ্ত অসমতা যুগলের সমাধান সেটের লেখচিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

ক-হতে পাই

3x-5y > 5……..(i)

এবং,

x-3y ≤ 9…….(ii)

ধরি,

3x-5y = 5…..(iii)

x-3y = 9…..(iv)

(iii) নং হতে পাই

বা, -5y=5-3x

বা, y=-¹/₅(5-3x)

বা, y=¹/₅(3x-5)

এখানে,

x	0	-10	10
y	-1	-7	5

(iv) নং হতে পাই,

-3y = 9-x

বা, y=¹/₃(9-x)

বা, y=¹/₃(x-9)

এখানে,

x	0	3	6
y	-3	-2	-1

এখন ছক কাগজের ক্ষুদ্রতম বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (0,-1), (-10,-7), (10,5) বিন্দুগুলো স্থাপন করে (iii) নং সমীকরণের লেখ চিত্র ও (0,-3), (3,-2), (6,-1) বিন্দুগুলো স্থাপন করে (iv) নং সমীকরণের লেখচিত্র অঙ্কন করি।

এখন, 3x-5y > 5 অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 0 < 5 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে না। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার বিপরীত পাশের সকল বিন্দু।

আবার,

x-3y ≤ 9 অসমতায় (0,0) বসালে পাওয়া যায় 0 < 9 যা অসমতাকে সিদ্ধ করে। তাহলে অসমতার ছায়াচিত্র হবে রেখাটির যে পাশে মূলবিন্দু রয়েছে তার সেই পাশের সকল বিন্দু ও রেখাস্থ সকল বিন্দু।

সুতরাং, x-3y=9 লেখ-রেখাসহ (দুটি রেখার ছেদ বিন্দু ছাড়া) চিহ্নিত অংশদ্বয়ের ছেদাংশই প্রদত্ত অসমতাদ্বয়ের সমাধান সেটের লেখচিত্র। চিত্রে লাল দাগ চিহ্নিত অংশই এই লেখচিত্র।

১২. একটি কলম, একটি রাবার ও একটি খাতার মূল্য 100 টাকা। খাতার মূল্য দুইটি কলমের মূল্যের থেকে বেশি। তিনটি কলমের মূল্য চারটি রাবারের থেকে বেশি এবং তিনটি রাবারের মূল্য একটি খাতার মূল্যের থেকে বেশি। যদি সকল মূল্যই পূর্ণ টাকায় হয় তাহলে প্রত্যেকটির মূল্য কত?

সমাধানঃ

মনে করি, একটি কলম, একটি রাবার ও একটি খাতার মূল্য যথাক্রমে x, y, z টাকা।

প্রশ্নমতে,

x+y+z=100…….(i)

z > 2x…….(ii)

3x > 4y…….(iii)

3y > z…….(iv)

এখন,

(i) - (ii) করে পাই,

x+y > 100-2x

বা, x+y+2x > 100-2x+2x

বা, 3x+y > 100………….(v)

(i)+(iv) করে পাই,

x+y+z+3y > 100+z

বা, x+4y+z > 100+z

বা, x+4y > 100

বা, 3x+12y > 300………….(vi)

এখন, (vi)-(v) করে পাই,

11y > 200

বা, y > ²⁰⁰/₁₁

বা, y > 18.18

যেহেতু টাকা পূর্ণ সংখ্যায় সেহেতু y=19

এখন,

3x > 4y

বা, 3x > 4.19

বা, 3x > 76

বা, x > ⁷⁶/₃

বা, x > 25.33

যেহেতু টাকা পূর্ণ সংখ্যায় সেহেতু x=26

আবার,

x+y+z=100

বা, z=100-x-y

বা, z=100-26-19

বা, z=55

∴ একটি কলম, একটি রাবার ও একটি খাতার মূল্য যথাক্রমে 26, 19, 55 টাকা।

১৩. তিনটি পূর্ণসংখ্যার. গুণফল. 720 হলে. সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি. কত বড় হতে পারে?

সমাধানঃ

2)270

 2)360

  2)180

   2)90

    2)45

     3)15

         5

এখানে,

(-1)✕(-2)✕360=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা -1

(-1)✕2✕(-360)=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা -360

1✕(-2)✕(-360)=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা -360

(-2)✕(-5)✕72=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা -5

……………………………………………………….

……………………………………………………….

……………………………………………………….

1✕2✕360=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 1

2✕5✕72=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 2

3✕5✕78=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 3

4✕5✕36=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 4

5✕9✕16=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 5

6✕10✕12=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 6

8✕9✕10=720 যেখানে সবচেয়ে ছোট সংখ্যা 8

∴ দেখা যাচ্ছে প্রতি ক্ষেত্রে তিনটি সংখ্যার মধ্যে যে ছোট সংখ্যাটি পাওয়া যায় তার ভিতর সবচেয়ে বড় সংখ্যা 8। অর্থাৎ সবচেয়ে ছোট সংখ্যাটি 8 এর সমান বড় হতে পারে।

১৪. একটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের কোনো একটি কোণের সমদ্বিখন্ডক দিয়ে ত্রিভুজকে দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত করা হলো। প্রথম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ কত বড় হতে পারে? ১ম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজ এর একটি কোণ কত ছোট হতে পারে?

সমাধানঃ

মনে করি, ABC সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের AB=AC এবং  ∠BAC=x, ∠ABC=∠ACB=y যেখানে x<y.

ABC ত্রিভুজের ∠ACB এর সমদ্বিখন্ডক CD রেখা আঁকা হলো যা AB কে D বিন্দুতে ছেদ করে। ABC ত্রিভুজটি  ACD ও BCD দুইটি সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে বিভক্ত হয়।

BCD সমদ্বিবাহু ত্রিভুজে, BC=CD

∴ ∠BDC=∠DBC=y [ত্রিভুজের সমান সমান বাহুর বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সমান]

এখন, ABC ত্রিভুজে,

∠BAC+∠ABC+∠ACB=180⁰

বা, x+y+y=180⁰

বা, x+2y=180⁰ ……………(i)

আবার, BCD ত্রিভুজে,

∠DBC+∠BCD+∠CDB=180⁰

বা, y+^y/₂+y=180⁰

বা, 2y+y+2y=360⁰ [উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা গুণ করে]

বা, 5y=360⁰

বা, y=360⁰/₅

বা, y=72^0.

(i) এ y এর মান বসিয়ে পাই,

x+2.72⁰=180⁰

বা, x+144⁰=180⁰

বা, x=180⁰-144⁰

বা, x=36⁰

অতএব, প্রথম সমদ্বিবাহু ত্রিভুজের একটি কোণ সর্বোচ্চ 72⁰ এবং একটি কোণ সর্বনিন্ম 36⁰ হতে পারে।

১৫. একটি আয়তাকার ঘরে এক বর্গ মিটার ক্ষেত্রফলের 7 টি টেবিল বসানো যায়। ঘরের পরিসীমা 16 মিটার। তার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত হতে পারে?

সমাধানঃ

ধরি, আয়তাকার ঘরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে x ও y

১ম শর্তমতে,

xy ≥ 7 ………….(i)

২য় শর্তমতে,

2(x+y)=16

বা, x+y=8

বা, y=8-x………..(ii)

y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,

x(8-x) ≥ 7

বা, 8x-x² ≥ 7

বা, 8x-x²-7 ≥ 7-7

বা, 8x-x²-7 ≥ 0

বা, x²-8x+7 ≤ 0

বা, x²-7x-x+7 ≤ 0

বা, x(x-7)-1(x-7) ≤ 0

বা, (x-1)(x-7) ≤ 0

বা, x-1 ≤ 0   অথবা, x-7 ≤ 0

বা, x ≤ 1      বা, x ≤ 7

যেহেতু ঘরের দৈর্ঘ্য 0 বা ঋণাত্মক হতে পারে না সেহেতু দৈর্ঘ্য x এর মান 1 থেকে 7 মিটার পর্যন্ত হবে।

তাহলে y এর মান হবে (8-x) মিটার।

১৬. এমন কোনো ত্রিভুজ আছে কি যার কোনো শীর্ষ থেকে অঙ্কিত উচ্চতাই 1 সেমি এর বেশি নয় কিন্তু ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সেমি?

সমাধানঃ

ত্রিভুজের ভূমি x এবং উচ্চতা h হলে

১ম শর্তমতে,

h ≤ 1……….(i)

২য় শর্তমতে,

½.h.x=100

বা, h= ²⁰⁰/_x ………(ii)

h এর মান (i) নং এ বসিয়ে,

²⁰⁰/_x ≤ 1

বা, 200 ≤ x [উভয়পক্ষকে x দ্বারা গুণ করে]

অর্থাৎ ত্রিভুজের ভূমি 200 সেমি বা তার বেশি হলে এর উচ্চতা অনধিক 1 সেমি হলেও ক্ষেত্রফল 100 বর্গ সেমি হতে পারে।

১৭. সতেজ ও সজীব জমজ ভাই। তাদের দৌড়ানোর বেগ সমান এবং হাঁটার বেগও সমান। একদিন স্কুলে যেতে সতেজ অর্ধেক পথ হাঁটলো আর বাকী অর্ধেক দৌড়ালো। কিন্তু সজীব অর্ধেক সময় হাঁটলো আর বাকী অর্ধেক সময় দৌড়ালো। স্কুলে যেতে কি তাদের সমান সময় লাগবে?

সমাধানঃ

ধরি, সতেজ ও সজীবের হাঁটার বেগ u এবং দৌড়ের বেগ v (u≠v) এবং বাসা থেকে স্কুলের দূরত্ব x.

সতেজের ক্ষেত্রে প্রয়োজনীয় সময়,

t₁=

^x/₂     ^x/₂

----+-----

  u      v

=^x/_2u+^x/_2v

    x     (u+v)

=----.--------

    2      uv

সজীবের ক্ষেত্রে,

হেঁটে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

               t₂

x₁=u✕-------

               2

দৌড়ে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

               t₂

x₁=v✕-------

               2

∴ x=x₁+x₂

          ut₂       vt₂

বা, x=----- + -----

          2         2

বা, 2x=ut₂+vt₂

বা, 2x=(u+v)t₂

             2x

বা, t₂=---------

            u+v

∴t₁≠t₂

অতএব, স্কুলে যেতে তাদের সমান সময় লাগবে না।