9-10 H Math 5.7

 অনুশীলনী-৫.৭

১. x²-x-12=0 সমীকরণটিকে ax²+bx+c=0 এর সাথে তুলনা করলে b এর মান কোনটি?

ক) 0   খ) 1   গ) -1    ঘ) 3

উত্তরঃ গ

২. 16^x=4^x+1 সমীকরণটির সমাধান কোনটি?

ক) 2   খ) 1   গ) 4   ঘ) 3

উত্তরঃ খ

[16¹=4¹⁺¹

বা,  16=4²=16]

৩. x²-x-13=0 হলে সমীকরণটির একটি মূল কোনটি?

ক)

  -1+√51

- ----------

      2

খ)

  -1-√51

- ----------

      2

গ)

   1+√-51

- ----------

      2

ঘ)

   1+√53

- ----------

      2

উত্তরঃ নিন্মরুপ

মূল x

   -b±√(b²-4ac)

=-----------------

         2a   

  -(-1)±√{(-1)²-4.1.(-13)}

=------------------------------

         2.1

  1±√(1+52)

=---------------

       2

  1±√53

=----------

      2

  1+√53

=----------

      2

         1-√53

অথবা ----------

             2

৪. y^x=9, y²=3^x সমীকরণ জোটের একটি সমাধান কোনটি?

ক) (-3,-3)   খ) (2, ¹/₃)

গ) (-2, ¹/₃)  ঘ) (-2,3)

উত্তরঃ খ

নিচের তথ্যের ভিত্তিতে ৫. ও ৬. নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ

দুইটি ধনাত্মক. পূর্ণ সংখ্যার বর্গের. অন্তর 11 এবং গুণফল 30।

৫. সংখ্যা দুইটি কী কী?

ক) 1 ও 30    খ) 2 ও 15 

গ) 5 ও 6     ঘ) 5 ও -6

উত্তরঃ গ

৬. সংখ্যা দুইটির বর্গের সমষ্টি কত?

ক) 1    খ) 5    গ) 61    ঘ) √41

উত্তরঃ গ

৭. একটি সংখ্যা. ও ঐ সংখ্যার. গুণাত্মক বিপরীত সংখ্যার সমষ্টি 6। সম্ভাব্য সমীকরণটির গঠন হবে

(i) x+¹/_x=6

(ii) x²+1=6x

(iii) x²-6x-1=0

নিচের কোনটি সঠিক?

ক). i ও ii   খ). i ও iii    গ). ii ও iii  ঘ). i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

৮. 2^px-1=2^2px-2 এর সমাধান কোনটি?

ক) ^p/₂    খ) p    গ) –^p/₂   ঘ) ¹/_p

উত্তরঃ ঘ

[2^px-1=2^2px-2

বা,  px-1=2px-2

বা,  px-2px=-2+1

বা,  -px=-1

বা,  px=1

বা,  x=¹/_p]

৯. লেখচিত্রের সাহায্যে নিচের সমীকরণগুলোর সমাধান করঃ

ক) x²-4x+3=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=x²-4x+3

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-1	0	1	2	3
y	8	3	0	-1	0

বর্গের ক্ষুদ্রতম 2 বাহুকে একক ধরে সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (1,0),(3,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=1,3

খ) x²+2x-3=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=x²+2x-3

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	0	-3	-4	-3	0	5	12

বর্গের ক্ষুদ্রতম বাহুকে একক ধরে সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (1,0),(-3,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=1,-3

গ) x²+7x=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=x²+7x

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-7	-6	-5	-4	-3	-2	0
y	0	-6	-10	-12	-12	-10	0

সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (0,0),(-7,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=0,-7

ঘ) 2x²-7x+3=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=2x²-7x+3

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	0	1	2	3	4
y	3	-2	-3	0	7

বর্গের ক্ষুদ্রতম 2 বাহুকে একক ধরে সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (¹/₂,0),(3,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=¹/₂,3

ঙ) 2x²-5x+2=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=2x²-5x+2

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	0	0.5	1	2
y	2	0	-1	0

বর্গের ক্ষুদ্রতম 2 বাহুকে একক ধরে সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (¹/₂,0),(2,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=¹/₂,0

চ) x²+8x+16=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=x²+8x+16

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-5	-4	-2	-1	0
y	1	0	4	9	16

সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (),() বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=-4

ছ) x²+x-3=0

সমাধানঃ

মনে করি, y=x²+x-3

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-1	2	0	-3	1
y	-3	3	-3	3	-1

সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে (-2.3,0),(1.3,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=-2.3(প্রায়),1.3(প্রায়)

জ) x²=8

সমাধানঃ

প্রদত্ত সমীকরণ, x²=8 বা, x²-8=0

মনে করি, y=x²-8

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-2	-1	0	1	2
y	-4	-7	-8	-7	-4

সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে মোটামুটিভাবে (-2.83,0),(2.83,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=-2.83, 2.83

১০. একটি সংখ্যার বর্গের দ্বিগুণ সংখ্যাটির 5 গুণ থেকে 3 কম। কিন্তু ঐ সংখ্যাটির বর্গের 5 গুণ সংখ্যাটির 2 গুণ থেকে 3 বেশি।

ক) উদ্দিপকের তথ্যগুলোর সাহায্যে সমীকরণ গঠন কর।

সমাধানঃ

মনে করি, সংখ্যাটি x

প্রশ্নমতে,

2x²=5x-3……(i)

5x²=2x+3…..(ii)

খ) সূত্র প্রয়োগ করে ১ম সমীকরণটির সমাধান কর।

সমাধানঃ

১ম সমীকরণ

2x²=5x-3

বা,  2x²-5x+3=0…….(i)

দ্বিঘাত সমীকরণের আদর্শ রূপ হলোঃ-

ax²+bx+c=0……….(ii)

∴মূলদ্বয়, x=

-b±√(b²-4ac)

-----------------

        2a

(i) ও (ii) এর মাঝে তুলনা করে পাই,

a=2, b=-5, c=3

∴মূলদ্বয়, x=

-(-5)±√{(-5)²-4.2.3}

--------------------------

         2.2

   5±√(25-24)

=----------------

          4

   5±√1

=---------

       4

   5±1

=-------

       4

অর্থাৎ,

    5+1

x₁=-------

       4

=⁶/₄

=³/₂

      5-1

x₂=-------

         4

=⁴/₄

=1

∴নির্ণেয় সমাধানঃ x=³/₂,1

গ) ২য় সমীকরণটি লেখচিত্রের সাহায্যে সমাধান কর।

সমাধানঃ

ক হতে প্রাপ্ত ২য় সমীকরণ, 5x²=2x+3 বা, 5x²-2x-3=0

মনে করি, y=5x²-2x-3

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-1	-0.6	0	1	2
y	4	1	-3	0	13

বর্গের ক্ষুদ্রতম 3 বাহুকে একক ধরে সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি।

চিত্র হতে দেখা যায়, লেখচিত্রটি x-অক্ষকে মোটামুটিভাবে (-0.6,0),(1,0) বিন্দুতে ছেদ করেছে। সুতরাং সমীকরণটির সমাধানঃ x=1,-0.6

১১. জনাব আশফাক আলীর আয়তাকার এক খন্ড জমির ক্ষেত্রফল 0.12 হেক্টর। জমিটির অর্ধপরিসীমা এর একটি কর্ণ অপেক্ষা 20 মিটার বেশি। তিনি তাঁর জমি থেকে শ্যাম বাবুর নিকট আয়তাকার এক তৃতীয়াংশ বিক্রি করেন। শ্যাম বাবুর জমির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ অপেক্ষা 5মিটার বেশি। [ 1 হেক্টর=10000 বর্গমিটার]

ক) উদ্দীপকের আলোকে দুইটি সমীকরণ গঠন কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

আশফাক আলীর আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য x মিটার এবং প্রস্থ y মিটার।

∴ জমির ক্ষেত্রফল = xy বর্গ মিটার।

আয়তাকার জমির পরিসীমা = 2(x+y) মিটার

∴ অর্ধপরিসীমা = (x+y) মিটার

আবার, কর্ণের দৈর্ঘ্য =  √(x²+y²) মিটার

প্রশ্নমতে,

xy=0.12✕10000  [x ও y এর মান মিটার; সেহেতু xy এর মানও হেক্টর থেকে মিটার করা হয়েছে]

বা,  xy=1200 ……..(i) 

এবং, √(x²+y²)+20=x+y…….(ii)

খ) আশফাক আলীর জমির দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

ক হতে পাই,

xy=1200 ……..(i) 

এবং, √(x²+y²)+20=x+y…….(ii)

এখন,

(ii) নং হতে পাই,

√(x²+y²)=x+y-20

বা,  x²+y²=x²+y²+400+2xy-40y-40x  [বর্গ করে]

বা,  x²+y²-x²-y²-400-2xy+40y+40x=0

বা,  -400-2xy+40y+40x=0

বা,  -400-2.1200+40y+40x=0

বা,  -400-2400+40y+40x=0

বা,  -2800+40y+40x=0

বা,  40y+40x=2800

বা,  40(x+y)=2800

বা,  x+y=²⁸⁰⁰/₄₀  

বা,  x+y=70

বা,  y=70-x……..(iii)

(ii) হতে y এর মান (i) এ বসিয়ে পাই,

x(70-x)=1200

বা,  70x-x²=1200

বা,  70x-x²-1200=0

বা,  -x²+70x-1200=0

বা,  x²-70x+1200=0

বা,  x²-40x-30x+1200=0

বা,  x(x-40)-30(x-40)=0

বা,  (x-30)(x-40)=0

বা,  x-30=0       অথবা, x-40=0

বা,  x=30           বা,  x=40

x এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x=40 হলে y=70-40=30

x=30 হলে y=70-30=40; এটি গ্রহণযোগ্য নয় কারন আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ, দৈর্ঘ্য অপেক্ষা বেশী হতে পারে না।

∴ আশফাক আলীর জমির দৈর্ঘ্য 40 মিটার ও প্রস্থ 30 মিটার।

গ) শ্যাম বাবুর জমির কর্ণের দৈর্ঘ্য ও পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

মনে করি,

শ্যাম বাবুর আয়তাকার জমির প্রস্থ = a মিটার

∴ শ্যাম বাবুর আয়তাকার জমির দৈর্ঘ্য = (a+5) মিটার

∴ জমির ক্ষেত্রেফল = (a+5)a বর্গ মিটার

                                = a²+5a বর্গ মিটার

ক হতে, আশফাক আলীর জমির ক্ষেত্রফল = 1200 বর্গ মিটার

প্রশ্নমতে,

a²+5a=1200.(¹/₃)

বা,  a²+5a=400

বা,  a²+5a-400=0

       -5±√{5²-4.1.(-400)}

∴ a=--------------------------

                    2.1

   -5±√(25+1600)

=--------------------

           2

   -5±√1625

=---------------

        2

   -5+40.31

=-------------

       2

[ঋণাত্মক মান গ্রহণযোগ্য নয়]

=17.65

জমির প্রস্থ = 17.65 মিটার।

∴ জমির দৈর্ঘ্য = (17.65+5) = 22.65 মিটার।

∴ পরিসীমা = 2(22.65+17.65) মিটার = 80.6 মিটার

∴ কর্ণের দৈর্ঘ্য=√{(22.65)²-(17.65)²} মিটার

                        =28.71 মিটার।

১২. f(x)=x²-6x+15 এবং g(x)=x²-6x+13

ক) f(x)=7 হলে এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, f(x)=7 এবং f(x)=x²-6x+15

∴ x²-6x+15=7

বা,  x²-6x+15-7=0

বা,  x²-6x+8=0

বা,  x²-4x-2x+8=0

বা,  x(x-4)-2(x-4)=0

বা,  (x-2)(x-4)=0

বা,  x-2=0       অথবা, x-4=0

বা,  x=2           বা,  x=4

∴ x=2, 4

খ) √f(x)-√g(x)=√10-√8 হলে, সমীকরণটি সমাধান কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

f(x)=x²-6x+15 এবং g(x)=x²-6x+13

এখন,

√f(x)- √g(x)=√10-√8

বা,  √(x²-6x+15)-√(x²-6x+13)=√10-√8 [মান বসিয়ে]

ধরি, y=x²-6x+13

তাহলে,

√(y+2)-√y=√10-√8

বা,  √(y+2)+√8=√10+√y

বা,  y+2+8+2.√(y+2).√8=10+y+2.√10.√y

বা,  y+10+2√8(y+2)=y+10+2√10y

বা,  2√8(y+2)=2√10y  [-y-10 উভয়পক্ষে যোগ করে]

বা,  √8(y+2)=√10y

বা,  8(y+2)=10y [বর্গ করে]

বা,  4(y+2)=5y

বা,  4y+8=5y

বা,  8=5y-4y

বা,  y=8

বা,  x²-6x+13=8

বা,  x²-6x+13-8=0

বা,  x²-6x+5=0

বা,  x²-5x-x+5=0

বা,  x(x-5)-1(x-5)=0

বা,  (x-1)(x-5)=0

বা,  x-1=0       অথবা, x-5=0

বা,  x=1           বা,  x=5

∴ x=1, 5

গ) g(x) এর লেখচিত্র অঙ্কন কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, g(x)=x²-6x+13

মনে করি, y=x²-6x+13

x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করে প্রদত্ত সমীকরণের লেখের কয়েকটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করিঃ

x	-1	0	1	3	5	7
y	20	13	8	4	8	20

বর্গের ক্ষুদ্রতম 1 বাহুকে একক ধরে সারণি থেকে প্রাপ্ত বিন্দুগুলো ছক কাগজে স্থাপন করে সমীকরণটির লেখচিত্র অঙ্কন করি। অঙ্কিত লেখচিত্রটি নিন্মরুপঃ

১৩. পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল কি পরবর্তী পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল দিয়ে গুণ করলে গুণফল 120635 হতে পারে?

সমাধানঃ

মনে করি,

প্রথম পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা যথাক্রমে,

n,n+1,n+2,n+3,n+4

পরবর্তী পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যা যথাক্রমে,

n+5,n+6,n+7,n+8,n+9

প্রথম পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার যোগফল

=n+n+1+n+2+n+3+n+4

=5n+10

=5(n+2)

পরবর্তী পাঁচটি ক্রমিক পূর্ণ সংখ্যার যোগফল

n+5+n+6+n+7+n+8+n+8

=5n+35

=5(n+7)

এখন, উভয় যোগফলের গুণফল

= 5(n+2).5(n+7)

=25(n+2)(n+7)

অর্থাৎ উভয় যোগফলের গুণফল 25 এর গুণিতক।

∴ উভয় যোগফলের গুণফল 25 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

এখন, 120635 সংখ্যাটি 25 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হলে উভয় যোগফলের গুণফল হবে।

120635÷25=4825.4

∴ 120635 সংখ্যাটি উভয় যোগফলের গুণফল হতে পারে না।

১৪. একটি আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের ব্যবধান 1 সেমি। তাঁর ক্ষেত্রফলের শেষ অঙ্ক যদি 6 হয় তাহলে তাঁর কোন বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণবর্গ হতে পারে কি?

সমাধানঃ

মনে করি,

আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ=x সেমি

∴ আয়তক্ষেত্রের দৈর্ঘ্য=(x+1) সেমি

তাহলে, আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল=x(x+1) বর্গ সেমি

ক্ষেত্রফলের শেষ অঙ্ক=6

তাহলে, ক্ষেত্রফল=10n+6 যেখানে, n=0,1,2,3,4,………….

শর্তমতে,

x(x+1)=10n+6

এখানে x ও (x+1) দুটি ক্রমিক সংখ্যা

অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দুটি ক্রমিক সংখ্যা হবে।

ক্ষেত্রফলের শেষ অঙ্ক 6 অর্থাৎ দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের শেষ অঙ্ক যথাক্রমে 3 এবং 2 অথবা 8 এবং 7 হতে হবে।

এখন শেষে 2,3,7,8 অঙ্ক বিশিষ্ট এমন কোন সংখ্যা নেই যাকে বর্গমূল করলে পূর্ণবর্গ হবে।

অতএব, আয়তক্ষেত্রের কোন বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণ বর্গ হতে পারে না।

১৫. ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা কতবার পরস্পর ঠিক বিপরীত দিকে বসে। সময়গুলো বের কর।

সমাধানঃ

এই সমস্যা সমাধানের সূত্রঃ

x টা এবং (x+1) টার মধ্যে ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা একে অন্যের বিপরীতে থাকবে

x টা বেজে (30+5x)¹²/₁₁ মিনিটে [যখন x<6]

অথবা x টা বেজে (5x-30)¹²/₁₁ মিনিটে [যখন x≥6]

তাহলে, ঘড়ির কাটা ও মিনিটের কাটা-

1 টা ও 2 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

1 টা বেজে (30+5✕1)¹²/₁₁ মিনিটে=1 টা বেজে 38.18 মিনিটে

2 টা ও 3 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

2 টা বেজে (30+5✕2)¹²/₁₁ মিনিটে=2 টা বেজে 43.63 মিনিটে

3 টা ও 4 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

3 টা বেজে (30+5✕3)¹²/₁₁ মিনিটে=3 টা বেজে 49.09 মিনিটে

4 টা ও 5 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

4 টা বেজে (30+5✕4)¹²/₁₁ মিনিটে=4 টা বেজে 54.54 মিনিটে

5 টা ও 6 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

5 টা বেজে (30+5✕5)¹²/₁₁ মিনিটে=5 টা বেজে 60 মিনিটে=6 টায়

6 টা ও 7 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

6 টা বেজে (5✕6-30)¹²/₁₁ মিনিটে=6 টা বেজে 0 মিনিটে=6 টায়

7 টা ও 8 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

7 টা বেজে (5✕7-30)¹²/₁₁ মিনিটে=7 টা বেজে 5.45 মিনিটে

8 টা ও 9 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

8 টা বেজে (5✕8-30)¹²/₁₁ মিনিটে=8 টা বেজে 10.90 মিনিটে

9 টা ও 10 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

9 টা বেজে (5✕9-30)¹²/₁₁ মিনিটে=9 টা বেজে 16.36 মিনিটে

10 টা ও 11 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

10 টা বেজে (5✕10-30)¹²/₁₁ মিনিটে=10 টা বেজে 21.81 মিনিটে

11 টা ও 12 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

11 টা বেজে (5✕11-30)¹²/₁₁ মিনিটে=11 টা বেজে 27.27 মিনিটে

12 টা ও 1 টার মধ্যে বিপরীতে থাকবে

12 টা বেজে (5✕12-30)¹²/₁₁ মিনিটে=12 টা বেজে 32.72 মিনিটে

অর্থাৎ ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা 12  ঘন্টায় মোট 11 বার একে অন্যের বিপরীতে বসে।

তাহলে, 24 ঘন্টায় ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা মোট 11✕2=22 বার একে অন্যের বিপরীতে বসে। এবং সেই সময়গুলো উপরে উল্লেখিত আছে।

১৬. ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা কতবার ঠিক লম্বালম্বি হয়ে বসে? সময়গুলো বের কর।

সমাধানঃ

এই সমস্যা সমাধানের সূত্রঃ

x টা এবং (x+1) টার মধ্যে ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা লম্বভাবে থাকবে

x টা বেজে (5x±15)✕¹²/₁₁ মিনিটে।

তাহলে ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা-

1 টা এবং 2 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

1 টা বেজে (5✕1+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 1 টা বেজে (5✕1-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=1 টা বেজে 21.81 মিনিটে এবং 1 টা বেজে -10.91 মিনিটে

=1 টা বেজে 21.81 মিনিটে এবং 12 টা বেজে 49.09 মিনিটে

2 টা এবং 3 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

2 টা বেজে (5✕2+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 2 টা বেজে (5✕2-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=2 টা বেজে 27.27 মিনিটে এবং 2 টা বেজে -5.45 মিনিটে

=2 টা বেজে 27.27 মিনিটে এবং 1 টা বেজে 54.55 মিনিটে

3 টা এবং 4 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

3 টা বেজে (5✕3+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 3 টা বেজে (5✕3-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=3 টা বেজে 32.72 মিনিটে এবং 3 টা বেজে 0 মিনিটে

4 টা এবং 5 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

4 টা বেজে (5✕4+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 4 টা বেজে (5✕4-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=4 টা বেজে 38.18 মিনিটে এবং 4 টা বেজে 5.45 মিনিটে

5 টা এবং 6 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

5 টা বেজে (5✕5+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 5 টা বেজে (5✕5-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=5 টা বেজে 43.13 মিনিটে এবং 5 টা বেজে 10.90 মিনিটে

6 টা এবং 7 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

6 টা বেজে (5✕6+5)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 6 টা বেজে (5✕6-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=6 টা বেজে 49.09 মিনিটে এবং 6 টা বেজে 16.36 মিনিটে

7 টা এবং 8 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

7 টা বেজে (5✕7+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 7 টা বেজে (5✕7-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

= টা বেজে 54.55 মিনিটে এবং 7 টা বেজে 21.81 মিনিটে

8 টা এবং 9 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

8 টা বেজে (5✕8+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 8 টা বেজে (5✕8-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=8 টা বেজে 60 মিনিটে এবং 8 টা বেজে 27.27 মিনিটে

=9 টা এবং 8 টা বেজে 27.27 মিনিটে

9 টা এবং 10 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

9 টা বেজে (5✕9+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 9 টা বেজে (5✕9-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=9 টা বেজে 65.45 মিনিটে এবং 9 টা বেজে 32.72 মিনিটে

=10 টা বেজে 5.45 মিনিটে এবং 9 টা বেজে 32.72 মিনিটে

10 টা এবং 11 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

10 টা বেজে (5✕10+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 10 টা বেজে (5✕10-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=10 টা বেজে 70.91 মিনিটে এবং 10 টা বেজে 38.18 মিনিটে

=11 টা বেজে 10.91 মিনিটে এবং 10 টা বেজে 38.18 মিনিটে

11 টা এবং 12 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

11 টা বেজে (5✕11+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 11 টা বেজে (5✕11-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=11 টা বেজে 76.36 মিনিটে এবং 11 টা বেজে 43.63 মিনিটে

=12 টা বেজে 16.36 মিনিটে এবং 11 টা বেজে 43.63 মিনিটে

12 টা এবং 1 টার মধ্যে লম্বভাবে থাকবে

12 টা বেজে (5✕12+15)✕¹²/₁₁ মিনিটে এবং 12 টা বেজে (5✕12-15)✕¹²/₁₁ মিনিটে

=12 টা বেজে 81.21 মিনিটে এবং 12 টা বেজে 49.09 মিনিটে

=1 টা বেজে 21.21 মিনিটে এবং 12 টা বেজে 49.09 মিনিটে

উপরের হিসাব থেকে দেখা যায়, 1 টা বেজে 21 মিনিট এবং 12 টা বেজে 49 মিনিট দুইবার করে আছে। তাহলে 12 ঘন্টায় মোট 22 বার ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা লম্বালম্বি বসে। অর্থাৎ 24 ঘন্টায় মোট 44 বার ঘড়ির ঘন্টার কাটা ও মিনিটের কাটা লম্বালম্বি বসে। এবং সেই সময়গুলো উপরে উল্লেখিত আছে। 

১৭. ঘড়ির ঘন্টা ও মিনিটের কাঁটা পরস্পর স্থান পরিবর্তন করলে সময় শুদ্ধ নাও হতে পারে। যেমন 6 টার সময় এই পরিবর্তন করলে ঘণ্টার কাঁটা ঠিক 12 টায় আর মিনিটের কাঁটা ঠিক 6 টায়—সময় না সাড়ে এগারোটা না সাড়ে বারোটা। 12 টার পরে 1 টার পূর্বে এমন একটি সময় বের কর যখন এই পরিবর্তনের পরেও সময় গাণিতিকভাবে শুদ্ধ হবে। এমন সর্বমোট কতগুলো সময় রয়েছে যখন এই কাঁটা পরিবর্তনে শুদ্ধ সময় পাওয়া যাবে? [শ্রুতি রয়েছে রোগশয্যায়-থাকা আইন্সটাইন এরকম একটি প্রশ্ন জিজ্ঞাসার সঙ্গে সঙ্গে উত্তর করেছিলেন]

সমাধানঃ

ধরি, 12 টা থেকে 1 টার মধ্যে ঘন্টার কাটা x ঘর এবং মিনিটের কাটা y ঘর অতিক্রম করে।

এখন, 12 টা থেকে 1 টা পর্যন্ত ক্ষুদ্রতম ঘর থাকে 5 টি এবং ঘড়িতে মোট ক্ষুদ্রতম ঘর থাকে 60 টি।

তাহলে, ঘন্টার কাটার সময়=^x/₅ ঘন্টা এবং মিনিটের কাটার সময় ^y/₆₀ ঘন্টা

দুই কাটার পার্থক্য

m=^x/₅-^y/₆₀

            12x-y

বা,  m=----------

               60

বা,  12x-y=60m

বা,  y=12x-60m………..(i)

আবার, দুই কাটার স্থন পরিবর্তনের ফলে পার্থক্য

n=^y/₅-^x/₆₀

           12y-x

বা,  n=----------

             60

বা,  12y-x=60n

বা,  12(12x-60m)-x=60n [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা,  144x-720m-x=60n

বা,  143x=60n+720m

             60(n+12m)

বা,  x=------------------…..(ii)

                 143

(i). নং এ x. এর মান. বসিয়ে পাই,

y

            60(n+12m)

=12✕---------------- - 60m

                143

   720n+8640m

=------------------ - 60m

            143

   720n+8640m-8580m

=-------------------------

            143

   60m+720n

=----------------

        143

   60(m+12n)

=---------------…….(iii)

         143

এখন, m এর মান 0 থেকে 11 এবং n এর মান 0 থেকে 11 পর্যন্ত বসিয়ে ঘন্টা ও মিনিটের কাটা পরস্পর স্থান বিনিময় করার পর শুদ্ধ সময় পাওয়া যাবে।

এখন, m=0, n=1 হলে,

     60(1+12.0)

x=---------------

         143

       60

  =--------

      143

  =0.41

যেহেতু 12 টা থেকে 1 টা পর্যন্ত ঘর আছে 5 টি এবং x=0.41 সেহেতু ঘন্টার কাটা 12 টা নির্দেশ করে।

এবং,

    60(0+12.1)

y=---------------

         143

      720

  =--------

      143

  =5.03496

∴ 12 টা 5.03496 মিনিটে ঘন্টা ও মিনিটের কাটা স্থান বিনিময়ে সময় শুদ্ধ হবে।

এখন, m এর মান 0 থেকে 11 পর্যন্ত মোট মান 12 টি

এবং n এর মানও 12 টি।

তাহলে m ও n এর মান বসিয়ে শুদ্ধ সময় পাওয়া যাবে =12✕12=144 বার।

কিন্তু, m=0, n=0 এবং m=11, n=11 বসালে একই মান পাওয়া যায়।

তাই, শুদ্ধ সময় হবে 144-1=143 বার।