9-10 H Math 5.6

 অনুশীলনী-৫.৬

সমাধান করঃ

১.

2^x+3^y=31

2^x-3^y=-23

সমাধানঃ

2^x+3^y=31……….(i)

2^x-3^y=-23……..(ii)

(i)+(ii) করে পাই,

2.2^x=8

বা,  2^x=4

বা,  2^x=2²

বা,  x=2    [a^m=aⁿ হলে m=n]

আবার (i)-(ii) করে পাই,

2.3^y=54

বা,  3^y=27

বা,  3^y=3³

বা,  y=3

∴ (x,y)=(2,3)

২.

3^x=9^y

5^x+y+1=25^xy

সমাধানঃ

3^x=9^y……….(i)

5^x+y+1=25^xy……….(ii)

এখন,

3^x=9^y

বা,  3^x=(3²)^y

বা,  3^x=3^2y

বা,  x=2y……(iii)

x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

5^2y+y+1=25^2y.y

বা,  5^3y+1=(5²)^2y.y

বা,  5^3y+1=5^4y.y

বা,  3y+1=4y.y

বা,  3y+1=4y²

বা,  4y²-3y-1=0

বা,  4y²-4y+y-1=0

বা,  4y(y-1)+1(y-1)=0

বা,  (4y+1)(y-1)=0

বা,  4y+1=0 অথবা, y-1=0

বা,  4y=-1    বা,  y=1

বা,  y=-¹/₄

(iii). নং এ y মান বসিয়ে পাই,

y=1 হলে x=2.1=2

y=-¹/₄ হলে x=2.(-¹/₄)=-¹/₂

∴ (x,y)=(2,1),(-¹/₂,-¹/₄)

৩.

3^x.9^y=81

2x-y=8

সমাধানঃ

3^x.9^y=81….(i)

2x-y=8……(ii)

এখন,

3^x.9^y=81

বা,  3^x.(3²)^y=3⁴

বা,  3^x.3^2y=3⁴

বা,  3^x+2y=3⁴

বা,  x+2y=4

বা,  2x+4y=8…..(iii)

(ii)-(iii) করে পাই,

-5y=0

বা,  y=0

y=0, (ii) নং এ বসিয়ে পাই,

2x-0=8

বা,  2x=8

বা,  x=⁸/₂

বা,  x=4

∴ (x,y)=(4,0)

৪.

2^x.3^y=18

2^2x.3^y=36

সমাধানঃ

2^x.3^y=18……(i)

2^2x.3^y=36……(ii)

এখন (ii) নং কে (i) নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

2^2x.3^y        36

------- = -------

2^x.3^y          18

বা,  2^2x-x.3^y-y=2

বা,  2^x.3⁰=2¹

বা,  2^x=2¹

বা,  x=1

x=1, (i) নং এ বসিয়ে পাই,

2¹.3^y=18

বা,  3^y=¹⁸/₂

বা,  3^y=9

বা,  3^y=3²

বা,  y=2

∴ (x,y)=(1,2)

৫.

a^x.a^y+1=a⁷

a^2y.a^3x+5=a²⁰

সমাধানঃ

a^x.a^y+1=a⁷…..(i)

a^2y.a^3x+5=a²⁰……..(ii)

(i) নং হতে পাই,

a^x+y+1=a⁷

বা,  x+y+1=7

বা,  x+y=7-1

বা,  x+y=6……(iii)

(ii) নং হতে পাই,

a^2y+3x+5=a²⁰

বা,  2y+3x+5=20

বা,  3x+2y=20-5

বা,  3x+2y=15…….(iv))

(iii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

3x+3y=18…….(v)

এখন, (v)-(iv) করে পাই,

y=3

y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

x+3=6

বা,  x=6-3

বা,  x=3

∴ (x,y)=(3,3)

৬.

y^x=x²

x^2x=y⁴(y≠1)

সমাধানঃ

y^x=x²……….(i)

x^2x=y⁴……..(ii)

এখন,

x^2x=y⁴

বা,  (x²)^x=y⁴

বা,  (y^x)^x=y^y [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা,  x.x=4

বা,  x²=4

বা,  x=±2

আবার, (i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

যখন x=2 তখন

y²=2²

বা,  y²=4

বা,  y=±2

যখন x=-2 তখন

y^-2=(-2)²

বা,  ¹/_y²=4

বা,  y²=¼

বা,  y=±½

(x,y)=(2,2), (2,-2), (-2, ½), (-2,-½)

৭.

y^x=4

y²=2^x

সমাধানঃ

y^x=4………..(i)

y²=2^x………(ii)

এখন,

y²=2^x

বা,  (y²)^x=(2^x)^x [উভয় পক্ষের ঘাত x-এ উন্নীত করে]

বা,  (y^x)²=(2^x)^x

বা,  (4)²=(2^x)^x [(i) নং হতে মান বসিয়ে]

বা,  (2²)²=(2^x)^x

বা,  2^2.2=2^x.x

বা,  2.2=x.x

বা,  x²=4

বা,  x=±2

আবার, (i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

যখন x=2 তখন

y²=4

বা,  y=±2

যখন x=-2 তখন

y^-2=4

বা,  y²=¼

বা,  y=±½  

∴ (x,y)=(2,2), (2,-2), (-2,½), (-2,-½)  

৮.

4^x=2^y

(27)^xy=9^y+1

সমাধানঃ

4^x=2^y………..(i)

(27)^xy=9^y+1……….(ii)

এখন,

(27)^xy=9^y+1

বা,  (3³)^xy=(3²)^y+1

বা,  3^3xy=3^2y+2

বা,  3xy=2y+2……(iii)

আবার,

4^x=2^y

(2²)^x=2^y

বা,  2^2x=2^y

বা,  2x=y

বা,  y=2x……….(iv)

y=2x (iii) নং এ বসিয়ে পাই,

3x.2x=2.2x+2

বা,  6x²=4x+2

বা,  3x²=2x+1 [2 দ্বারা ভাগ করে]

বা,  3x²-2x-1=0

বা,  3x²-3x+x-1=0

বা,  3x(x-1)+1(x-1)=0

বা,  (3x+1)(x-1)=0

বা,  3x+1=0    অথবা, x-1=0

বা,  3x=-1       বা,  x=1

বা,  x=-¹/₃

(iv) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

যখন x=-¹/₃ তখন

y=2.(-¹/₃)=-²/₃

যখন x=1 তখন

y=2.1=2

∴ (x,y)=(1,2), (-¹/₃, -²/₃)

৯.

8y^x-y^2x=16

2^x=y²

সমাধানঃ

8y^x-y^2x=16…….(i)

2^x=y²……(ii)

এখন,

8y^x-y^2x=16

বা,  -y^2x+8y^x-16=0

বা,  y^2x-8y^x+16=0

বা,  (y^x)²-2.4.y^x+4²=0

বা,  (y^x-4)²=0

বা,  y^x-4=0

বা,  y^x=4…………(iii)

আবার,

2^x=y²

বা,  (2^x)^x=(y²)^x [উভয় পক্ষের ঘাত x-এ উন্নীত করে]

বা,  2^x.x=(y^x)²

বা,  2^x.x=4² [(iii) নং হতে মান বসিয়ে]

বা,  2^x.x=(2²)²

বা,  2^x.x=2^2.2

বা,  x.x=2.2

বা,  x²=4

বা,  x=±2

এখন, (iii) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,

যখন x=2 তখন

y²=4

বা,  y=±2

যখন x=-2 তখন

y^-2=4

বা,  y²= ¼

বা,  y=±½

∴ (x,y)=(2,2), (2,-2), (-2, ½), (-2,-½)