অনুশীলনী-১৪
১. একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে 3 উঠার সম্ভাবনা কোনটি?
ক) 1/6 খ) 1/3 গ) 2/3 ঘ) ½
উত্তরঃ ক
[একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলঃ 1,2,3,4,5,6
3 উঠার অনুকুল ফলাফল 1
সুতরাং, 3 উঠার সম্ভাবনা 1/6]
নিচের তথ্য থেকে ২ ও ৩ নম্বর প্প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি থলিতে নীল বল 12 টি, সাদা বল 16 টি এবং কালো বল 20 টি আছে। দৈবভাবে একটা বল নেওয়া হলো।
২. বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ক) 1/16 খ) 1/12 গ) 1/8 ঘ) ¼
উত্তরঃ ঘ
[মোট বল = 12+16+20=48 টি
নীল বল আছে 12 টি
সুতরাং, বলটি নীল হওয়ার সম্ভাবনা = 12/48 = ¼ ]
৩. বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা কত?
ক) 1/3 খ) 2/3 গ) 1/16 ঘ) 1/48
উত্তরঃ খ
[মোট বল = 12+16+20=48 টি
সাদা বল আছে 16 টি
সাদা বল ছাড়া অন্য বল = (48-16) টি= 32 টি
সুতরাং, বলটি সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 32/48 = 2/3 ]
নিন্মের তথ্য থেকে ৪ ও ৫ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি মুদ্রাকে তিনবার নিক্ষেপ করা হল।
৪. T অপেক্ষা অধিক বার H আসার সম্ভাবনা কত?
ক) 1/6 খ) 1/3 গ) ½ ঘ) 2/3
উত্তরঃ গ
[একটি মুদ্রাকে 3 বার নিক্ষেপ করলে নমুনা ক্ষেত্রটিঃ
{HHH. HHT. HTH. THH. HTT. THT. TTH. TTT}
ক্ষেত্রটিতে T অপেক্ষা অধিক বার H আছে 4 বার
ক্ষেত্রটিতে নমুনা সংখ্যা 8
সুতরাং, T অপেক্ষা অধিক বার H আসার সম্ভাবনা = 4/8 = ½ ]
৫. শূন্য বার T আসার সম্ভাবনা কত?
ক) 0 খ) ½ গ) 1 ঘ) 1/8
উত্তরঃ ঘ
[নমুনা ক্ষেত্রটিতে দেখি শূন্য বার T আসে 1 বার (HHH এর ক্ষেত্রে)
মোট নমুনার সংখ্যা 8
সুতরাং, শূন্য বার T আসার সম্ভাবনা = 1/8 ]
৬. দুইটি মুদ্রা নিক্ষেপের ক্ষেত্রে-
a. বড়জোড় একটি H পাওয়ার সম্ভাবনা = 0.75
b. কমপক্ষে একটি H পাওয়ার সম্ভাবনা = 0.75
c. HH একটি নমুনা বিন্দু।
নিচের কোনটি সঠিক?
ক. a,b খ. a,c গ) b,c ঘ. a,b,c
উত্তরঃ ঘ
৭. 30 টি টিকেট 1 থেকে 30 পর্যন্ত ক্রমিক নম্বর দেয়া আছে। টিকেটগুলো ভালভাবে মিশিয়ে একটি টিকেট দৈবভাবে নেয়া হলো। টিকেটটির ক্রমিক নম্বর ক) জোড় সংখ্যা খ) 4 দ্বারা বিভাজ্য গ) 4 এর চেয়ে ছোট ঘ) 22 এর চেয়ে বড় হওয়ার সম্ভাবনাগুলো নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
টিকেটগুলো ভালভাবে মিশিয়ে একটি টিকেট দৈবভাবে নেয়া হলে সম্ভাব্য ফলাফলঃ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,18,19,30 যা মোট 30টি
এখানে, যেকোনো ফলাফল আসার সম্ভাবনা সমান।
ক)
এখানে, জোড় সংখ্যাঃ 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30 যা মোট 15 টি
অতএব, জোড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 15/30 = ½
খ)
এখানে, চার দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাঃ 4,8,12,16,20,24,28 যা মোট 7 টি
অতএব, চার দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 7/30
গ)
এখানে, চার এর চেয়ে ছোট সংখ্যাঃ 1,2,3 যা মোট 3 টি
অতএব, চার এর চেয়ে ছোট সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 3/30 = 1/10
ঘ)
এখানে, 22 এর চেয়ে বড় সংখ্যাঃ 23,24,25,26,27,28,29,30 যা মোট 8 টি
অতএব, 22 এর চেয়ে বড় সংখ্যা হওয়ার সম্ভাবনা = 8/30 = 4/15
৮. কোনো একটি লটারিতে 570 টি টিকেট বিক্রি হয়েছে। রহিম 15 টি টিকেট কিনেছে। টিকিটগুলো ভালভাবে মিশিয়ে একটি টিকেট দৈবভাবে প্রথম পুরস্কারের জন্য তোলা হলো। রহিমের প্রথম পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ
মোট লটারির সংখ্যা 570 টি
রহিমের ক্রয়কৃত টিকেট সংখ্যা 15 টি
অর্থাৎ, ১ম পুরুস্কার পাওয়ার অনুকুল ফলাফল 15 টি
তাহলে, রহিমের ১ম পুরস্কার পাওয়ার সম্ভাবনা = 15/570 = 1/38
৯. একটি ছক্কা একবার নিক্ষেপ করা হলে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ
একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে সম্ভাব্য ফলাফলঃ 1,2,3,4,5,6 যা মোট 6 টি
এখানে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাঃ 2,3,4,6 যা মোট 4 টি
অতএব,
ছক্কাটি নিক্ষেপে জোড় সংখ্যা অথবা তিন দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা 4/6 = 2/3
১০. কোনো একটি স্বাস্থ্য কেন্দ্রের রিপোর্ট অনুযায়ী কম ওজনের 155 টি শিশু, স্বাভাবিক ওজনের 386 টি শিশু এবং বেশি ওজনের 98 টি শিশু জন্ম নেয়। এখান হতে একটি শিশু দৈবভাবে নির্বাচন.করলে নির্বাচিত শিশুটি.বেশি ওজনের হবে এর সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ
মোট শিশুর সংখ্যা = (155+386+98) টি=639 টি
বেশি ওজনের শিশুর সংখ্যা = 98 টি
অতএব,
নির্বাচিত শিশুটি বেশি ওজনের হবে এর সম্ভাবনা = 98/639
১১. কোনো একটি ফ্যাক্টরিতে নিয়োগকৃত লোকদের কাজের ধরন অনুযায়ী নিন্মভাবে শ্রেণিকৃত করা যায়ঃ
শ্রেণিকরণ | সংখ্যা |
ব্যবস্থাপনায় | 157 |
পরিদর্শক হিসেবে | 52 |
উৎপাদন হিসেবে | 1473 |
অফিসিয়াল কাজে | 215 |
ক) ব্যবস্থাপনায় নিয়োজিত এর সম্ভাবনা কত?
খ) ব্যবস্থাপনায় অথবা উতপাদন কাজে নিয়োজিত এর সম্ভাবনা কত?
গ) উৎপাদন কাজে নিয়োজিত নয় এর সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ
মোট নিয়োগকৃত লোকসংখ্যা =(157+52+1473+215) জন= 1897 জন।
ক)
এখানে ব্যবস্থাপনায় নিয়োজিত লোকসংখ্যা = 157 জন।
অতএব,
নির্বাচিত লোকটি ব্যবস্থাপনায় নিয়োজিত হওয়ার সম্ভাবনা = 157/1897
খ)
ব্যবস্থাপনায় অথবা উৎপাদন কাজে নিয়োজিত লোকসংখ্যা = (157+1473) জন = 1630 জন।
অতএব,
নির্বাচিত লোকটি ব্যবস্থাপনায় অথবা উৎপাদন কাজে নিয়োজিত হওয়ার সম্ভাবনা = 1630/1897
গ)
উৎপাদন কাজে নিয়োজিত লোকসংখ্যা = 1473 জন।
তাহলে, উৎপাদন কাজে নিয়োজিত নয় এমন লোকসংখ্যা = (1897-1473) জন = 424 জন।
অতএব,
নির্বাচিত লোকটি উৎপাদন কাজে নিয়োজিত নয় এমন হওয়ার সম্ভাবনা = 424/1897
১২. দুই হাজার লাইসেন্স প্রাপ্ত ড্রাইভার এক বছরে নিন্মলিখিত সংখ্যক বার ট্রাফিক আইন ভঙ্গ করে।
ট্রাফিক আইন ভঙ্গের সংখ্যা | ড্রাইভারের সংখ্যা |
0 | 1910 |
1 | 46 |
2 | 18 |
3 | 12 |
4 | 9 |
4 এর অধিক | 5 |
খ) ড্রাইভারটির 4 এর অধিক বার আইন ভঙ্গ করার সম্ভাবনা কত?
সমাধানঃ
মোট ড্রাইভারের সংখ্যা = (1910+46+18+12+9+5) জন= 2000 জন।
ক)
একটি আইন ভঙ্গ করে এমন ড্রাইভারের সংখ্যা = 46 জন।
অতএব,
নির্বাচিত ড্রাইভারটির 1 টি আইন ভঙ্গ করার সম্ভাবনা = 26/2000 = 23/1000
খ)
4 এর অধিক অর্থাৎ 5 বা তার অধিক আইন ভঙ্গ করে এমন ড্রাইভারের সংখ্যা = 5 জন।
অতএব,
নির্বাচিত ড্রাইভারটির 4 এর অধিক আইন ভঙ্গ করার সম্ভাবনা = 5/2000 = 1/400
১৩. 1 টি মুদ্রা ও 1 টি চক্কা নিক্ষেপ ঘটনার probability tree তৈরি কর।
সমাধানঃ
একটি মুদ্রা ও একটি ছক্কা নিক্ষেপ ঘটনার probability tree নিন্মে দেখানো হলোঃ
১৪. probability tree এর সাহায্যে নিচের ছকটি পূরণ করঃ
মুদ্রা নিক্ষেপ | সকল সম্ভাব্য ফলাফল | সম্ভাবনা |
একবার মুদ্রা নিক্ষেপ | P(T)= | |
দুইবার মুদ্রা নিক্ষেপ | P(1H)= P(HT)= | |
তিনবার মুদ্রা নিক্ষেপ | P(HHT)= P(2H)= |
একবার মুদ্রা নিক্ষেপের probability tree হলোঃ
মুদ্রা নিক্ষেপ | সকল সম্ভাব্য ফলাফল | সম্ভাবনা |
একবার মুদ্রা নিক্ষেপ | H,T | P(T)=½ |
দুইবার মুদ্রা নিক্ষেপ | HH, HT, TH, TT | P(1H)=2/4=½ P(HT)= ¼ |
তিনবার মুদ্রা নিক্ষেপ | HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT | P(HHT)= 1/8 P(2H)= 3/8 |
ক) লোকটির ঢাকা হতে রাজশাহী ট্রেন নয় এবং রাজশাহী হতে দিনাজপুর বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
খ) লোকটির রাজশাহী ট্রেনে কিন্তু দিনাজপুর বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
সমাধানঃ
Probability tree:
লোকটি ঢাকা হতে রাজশাহী ট্রেনে নয় এবং রাজশাহী হতে দিনাজপুর বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা,
P [রাজশাহী ট্রেনে নয়, দিনাজপুর বাসে]=4/9*2/7=8/63
খ)
লোকটি রাজশাহী ট্রেনে কিন্তু দিনাজপুর বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা,
P [রাজশাহী ট্রেনে নয়, দিনাজপুর বাসে]=5/9*5/7=25/63
১৬. একজন লোকের ঢাকা হতে চট্রগ্রাম ট্রেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 2/9, বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 3/7, প্লেনে যাওয়ার সম্ভাবনা 1/9। লোকটির চট্রগ্রাম হতে কক্সবাজার বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা 2/5 এবং গাড়িতে যাওয়ার সম্ভাবনা 3/7। probability tree ব্যবহার করে লোকটির চট্রগ্রাম ট্রেনে এবং কক্সবাজার বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা বের কর।
সমাধানঃ
Probability tree:
লোকটি ঢাকা থেকে চট্রগ্রাম ট্রেনে ও কক্সবাজার বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা,
P [চট্রগ্রাম ট্রেনে এবং কক্সবাজার বাসে]] = 2/9✕2/5 = 4/45
১৭. একটি দুই টাকার মুদ্রা চার বার নিক্ষেপ করা হলো। (এর শাপলার পিঠকে L এবং প্রাঠমিক শিক্ষার শিশুর পিঠকে C বিবেচনা করে)
ক) যদি মুদ্রাটিকে চার বারের পরিবর্তে দুইবার নিক্ষেপ করা হয় তবে একটি L আসার সম্ভাবনা এবং একটি C না আসার সম্ভাবনা কত?
খ) সম্ভাব্য ঘটনার probability tree. অঙ্কন কর এবং নমুনাক্ষেত্রটি লিখ।
গ) দেখাও যে, মুদ্রাটি n সংখ্যক বার নিক্ষেপ করলে সংঘটিত ঘটনা সংখ্যা 2n হয়।
সমাধানঃ
ক)
মুদ্রাটিকে দুইবার নিক্ষেপ করা হলে নমুনা ক্ষেত্র,
S = {LL,LC,CL,CC} যেখানে নমুনা বিন্দু 4টি।
একটি L আসার অনুকুল ফলাফল = {LC,CL} যেখানে নমুনা বিন্দু 2টি।
অতএব,
একটি L আসার সম্ভাবনা = 2/4 = ½
আবার,
একটি C না আসার অনুকুল ফলাফল ={LL,CC} যেখানে নমুনা বিন্দু 2টি।
অতএব,
একটি C না আসার সম্ভাবনা = 2/4 = ½
খ)
একটি দুই টাকার মুদ্রা চার বার নিক্ষেপে প্রত্যেক বার 2টি করে ফলাফল (L অথবা C) আসতে পারে। নিক্ষেপের ফলাফলকে probability tree এর সাহায্যে নিচে দেখানো হলোঃ
নমুনাক্ষেত্রটি হবেঃ
{LLLL, LLLC, LLCL, LLCC, LCLL, LCLC, LCCL, LCCC, CLLL, CLLC, CLCL, CLCC, CCLL, CCLC, CCCL, CCCC}
গ)
যেহেতু একটি মুদ্রায় 2টি পিঠ থাকে সুতরাং মুদ্রাটি একবার নিক্ষেপ করলে ফলাফল 2টি।
আবার, মুদ্রাটি ২য় বার নিক্ষেপ করলে তখন মোট ফলাফল হবে 4টি।
এমনভাবে,
মুদ্রাটি 1 বার নিক্ষেপে ফলাফল = 2
মুদ্রাটি 2 বার নিক্ষেপে ফলাফল = 4 = 2✕2 = 22
মুদ্রাটি 3 বার নিক্ষেপে ফলাফল = 8 = 2✕2✕2 = 23
মুদ্রাটি 4 বার নিক্ষেপে ফলাফল = 16 = 2✕2✕2✕2 = 24
∴ মুদ্রাটি n বার নিক্ষেপে ফলাফল = 2n
∴ মুদ্রাটি n সংখ্যক বার নিক্ষেপ করলে সংঘটিত ঘটনার সংখ্যা হয় 2n (দেখানো হলো)।
১৮. একটি ঝুড়িতে 8 টি লাল, 10 টি সাদা আর 7 টি কালো. মার্বেল আছে। দৈবভাবে একটি মার্বেট নেয়া হল।
ক) সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল নির্ণয় কর।
খ) মার্বেটটি (১) লাল হওয়ার সম্ভাবনা এবং (২) সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
গ) যদি প্রতিস্থাপন না করে একটি করে পরপর 4 টি মার্বেল তুলে নেয়া হয় তবে সবগুলো মার্বেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ক)
ঝুড়িতে মোট মার্বেলের সংখ্যা = (8+10+7) = 25 টি।
দৈবভাবে একটি মার্বেল নির্বাচন করা হলে 25টি মার্বেলের যেকোনো একটি আসতে পারে।
∴ সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 25
খ)
ঝুড়িতে মোট মার্বেলের সংখ্যা 25 টি।
(১) ঝুড়িতে মোট লাল মার্বেলের সংখ্যা = 8 টি
∴ মার্বেল লাল হওয়ার সম্ভাবনা = 8/25
(২) ঝুড়িতে মোট সাদা মার্বেলের সংখ্যা = 10 টি
∴ মার্বেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা = 10/25 = 2/5
আবার,
ঝুড়িতে মোট সাদা মার্বেলের সংখ্যা = 10 টি
ঝুড়িতে মোট সাদা নয় এমন মার্বেলের সংখ্যা = (25-10) = 15 টি
∴ মার্বেল সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা = 15/25 = 3/5
গ)
∴ ঝুড়িতে মোট মার্বেলের সংখ্যা 25 টি।
সাদা মার্বেল 10 টি
সমগ্র সম্ভাব্য ফলাফল = 25
বিনিময় না ধরে একটি করে পরপর চারটি মার্বেল তুলে নেওয়া হলে সবগুলো মার্বেল সাদা হওয়ার সম্ভাবনা
=10/25✕9/24✕8/23✕7/22
=21/1265
0 Comments