অনুশীলনী-১৩
১. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য 5 সেন্টিমিটার, প্রস্থ 4 সেন্টিমিটার এবং উচ্চতা 3 সেন্টিমিটার। এর কর্ণ কত?
ক) 5√2 সেমি খ) 25 সেমি
গ) 25√2 সেমি ঘ) 50 সেমি
উত্তরঃ ক
[আমরা জানি, আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণ=√(52+42+32) সেমি = √50 সেমি= 5√2 সেমি]
২. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের অতিভুজ ভিন্ন অপর বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য 4 সেমি এবং 3 সেমি। ত্রিভুজটিকে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে-
a. উৎপন্ন ঘনবস্তুটি একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হবে
b. ঘনবস্তুটি একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার হবে
c. উৎপন্ন ঘনবস্তুটির ভূমির ক্ষেত্রফল হবে 9π বর্গ সেমি
ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?
ক) a খ) b গ) a ও c ঘ) b ও c
উত্তরঃ গ
[a. উৎপন্ন ঘনবস্তুটি একটি সমবৃত্তভূমিক কোণক হবে
c. ঘনবস্তুটির ভূমির ক্ষেত্রফল = πr2 = π.32 বর্গ সেমি = 9π বর্গ সেমি]
নিন্মের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও।
2 সেমি ব্যাসের একটি গোলোক আকৃতির বল একটি সিলিন্ডার আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়।
৩. সিলিন্ডারটির আয়তন কত?
ক) 2π ঘন সেমি খ) 4π ঘন সেমি গ) 6π ঘন সেমি ঘ) 8π ঘন সেমি
উত্তরঃ ক
[সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h ঘন একক = πr2.(2r) ঘন একক = 2πr3 ঘন একক = 2π.13 ঘন সেমি = 2π ঘন সেমি।(ব্যাস, 2r=2 সেমি বা r=1 সেমি)]
৪. সিলিন্ডারটির অনধিকৃত অংশের আয়তন কত?
ক) π/3 ঘন সেমি খ) 2π/3 ঘন সেমি গ) 4π/3 ঘন সেমি ঘ) 3π/3 ঘন সেমি
উত্তরঃ খ
[সিলিন্ডারের অনধিকৃত অংশের অয়তন
=সিলিন্ডারের আয়তন-গোলকের আয়তন
=(2π-4/3 πr2) ঘন একক
=(2π-4/3 π.12) ঘন সেমি
=2π/3 ঘন সেমি]
নিন্মের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ নম্বর প্রশ্নের উত্তর দাও।
6 সেমি ব্যসবিশিষ্ট একটি ধাতব কঠিন গোলককে গলিয়ে 3 সেমি ব্যসার্ধবিশিষ্ট একটি সমবৃত্তভূমিক সিলিন্ডার তৈরি করা হলো।
৫. উৎপন্ন সিলিন্ডারটির উচ্চতা কত?
ক) 4 সেমি খ) 6 সেমি গ) 8 সেমি ঘ) 12 সেমি
উত্তরঃ ক
[প্রশ্নমতে,
গোলকের আয়তন=সিলিন্ডারের আয়তন
বা, 4/3 πr13 = πr22h
বা, 4/3✕33 = 32✕h
বা, h = 4 সেমি]
৬. সিলিন্ডারটির বক্রতলের ক্ষেত্রফল কত বর্গ সেমি?
ক) 24π খ) 42π গ) 72π ঘ) 96π
উত্তরঃ ক
[সিলিন্ডারের বক্রতলের ক্ষেত্রফল]
=2πrh বর্গ একক
=2✕ π✕3✕4 বর্গ সেমি
=24 π বর্গ সেমি]
৭. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে 16 মি, 12 মি ও 4.5 মি। এর পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল, কর্ণের দৈর্ঘ্য এবং আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 16 মিটার
প্রস্থ b= 12 মিটার
এবং উচ্চতা c=4.5 মিটার।
অতএব,
আয়তাকার ঘনবস্তুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ একক
=2(16✕12+12✕4.5+4.5✕16) বর্গ মিটার
=2(192+54+72) বর্গ মিটার
=636 বর্গ মিটার
আবার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√(a2+b2+c2) একক
=√{(16)2+(12)2+(4.5)2} মিটার
=√(256+144+20.25) মিটার
=√420.25 মিটার
=20.5 মিটার
এবং
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন
=(a✕b✕c) ঘন একক
=(16✕12✕4.5) ঘন মিটার
=864 ঘন মিটার
৮. ভূমির উপর অবস্থিত 2.5 মি ও 1 মি প্রস্থ বিশিষ্ট (অভ্যন্তরীণ পরিমাপ) একটি আয়তাকার জলাধারের উচ্চতা 0.4 মিটার হলে, এর আয়তন এবং অভ্যন্তরীণ তলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার জলাধারটির দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতা যথাক্রমে a একক, b একক এবং c একক।
সুতরাং,
আয়তাকার জলাধারটির দৈর্ঘ্য a = 2.5 মিটার
প্রস্থ b= 1.0 মিটার
এবং উচ্চতা c=0.4 মিটার।
অতএব,
আয়তাকার ক্ষেত্রের আয়তন
=abc ঘন একক
=2.5✕1.0✕0.4 ঘন মিটার
=1 ঘন মিটার
আয়তাকার ক্ষেত্রের অভ্যন্তরীন তলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ একক
=2(2.5✕1.0+1.0✕0.4+0.4✕2.5) বর্গ মিটার
=2(2.5+0.4+1) বর্গ মিটার
=7.8 বর্গ মিটার
৯. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর মাত্রাগুলো 5 সেমি, 4 সেমি ও 3 সেমি হলে, তার কর্ণের সমান ধারবিশিষ্ট ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 5 সেমি
প্রস্থ b= 4 সেমি
এবং উচ্চতা c=3 সেমি
অতএব,
কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√(a2+b2+c2) একক
=√(52+42+32) সেমি
=√(25+16+9) সেমি
=√50 সেমি
=5√2 সেমি
তাহলে, ঘনকের ধার, p=5√2 সেমি।
অতএব,
ঘনকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=6p2 বর্গ একক
=6(5√2)2 বর্গ সেমি
=6✕50 বর্গ সেমি
=300 বর্গ সেমি
১০. 70 জন ছাত্রের জন্য এরূপ একটি হোস্টেল নির্মাণ করতে হবে যাতে প্রত্যেক ছাত্রের জন্য 4.25 বর্গমিটার মেঝে ও 13.6 ঘনমিটার শুণ্যস্থান থাকে। ঘরটি 34 মিটার লম্বা হলে, এর প্রস্থ ও উচ্চতা কত হবে?
সমাধানঃ
1 জন ছাত্রের জন্য প্রয়োজন 4.25 বর্গমিটার মেঝে
অতএব, 70 জন ছাত্রের জন্য প্রয়োজন (4.25✕70) বর্গমিটার মেঝে = 297.50 বর্গমিটার মেঝে
আমরা জানি,
দৈর্ঘ্য✕প্রস্থ = ক্ষেত্রফল
বা, 3.4✕প্রস্থ = 297.50
বা, প্রস্থ = 297.50/3.4 মিটার = 87.5 মিটার
এবং,
আয়তন = ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
বা, উচ্চতা = আয়তন/ক্ষেত্রফল = 13.6/4.25 = 3.2 মিটার
অতএব, হোস্টেলের প্রস্থ 87.5 মিটার এবং উচ্চতা 3.2 মিটার।
১১. একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 8 সেমি এবং ভূমির ব্যাসার্ধ 6 সেমি হলে, সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, কোণকের উচ্চতা h=8 সেমি
এবং ভূমির ব্যাসার্ধ r=6 সেমি।
অতএব,
কোণকের তির্যক বাহুর উচ্চতা l
=√(h2+r2) একক
=√(82+62) সেমি
=√(64+36) সেমি
=√100 সেমি
=10 সেমি
তাহলে,
কোণকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= πr(l+r) বর্গ একক
=3.1416✕6(10+6) বর্গ সেমি
=3.1416✕6✕16 বর্গ সেমি
=301.5936 বর্গ সেমি (প্রায়)
এবং,
কোণকের আয়তন
=(1/3) πr2h ঘন একক
=(1/3)✕3.1416✕62✕8 ঘন সেমি
=301.5929 ঘন সেমি (প্রায়)
১২. একটি সমবৃত্তভূমিক কোণকের উচ্চতা 24 সেমি এবং আয়তন 1232 ঘনসেমি। এর হেলানো উচ্চতা কত?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
কোণকের উচ্চতা h=24 সেমি
এবং কোণকের আয়তন = 1232 ঘন একক
এখন, কোণকের উচ্চতা h ও ব্যাসার্ধ r হলে
কোণকের আয়তন = (1/3) πr2h
বা, 1232 = (1/3) πr2h
বা, πr2h = 3696
বা, 3.1416✕r2 ✕24 =3696
বা, r2 = 49.0196
বা, r = 7.0014 সেমি
তাহলে,
হেলানো উচ্চতা l
=√(h2+r2) একক
=√{(24)2+(7.0014)2} সেমি
=√(576+49.0196) সেমি
=25.0004 সেমি (প্রায়)
১৩. কোনো সমকোণী ত্রিভুজের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 5 সেমি ও 3.5 সেমি। একে বৃহত্তর বাহুর চতুর্দিকে ঘোরালে যে ঘনবস্তু উৎপন্ন হয়, তার আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
সমকোণী ত্রিভুজের 5 সেমি বাহুর চতুর্দিকে ত্রিভুজটিকে ঘোরালে 3.5 সেমি ব্যাসার্ধ এবং 5 সেমি উচ্চতা বিশিষ্ট সমবৃত্তভূমিক কোণক তৈরি হবে।
তাহলে সমবৃত্তভূমিক কোণকের ব্যাসার্ধ r = 3.5 সেমি ও উচ্চতা h=5 সেমি।
অতএব,
কোণকের আয়তন
= =(1/3) πr2h ঘন একক
=(1/3)✕3.1416✕(3.5)2✕5 ঘন সেমি
=64.14 ঘন সেমি (প্রায়)
১৪. 6 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলকের পৃষ্টতল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাসার্ধ r = 6 সেমি।
অতএব,
গোলকের পৃষ্টতলের ক্ষেত্রফল
= 4πr2 বর্গ একক
=4✕3.1416✕62 বর্গ সেমি
=452.3904 বর্গ সেমি (প্রায়)
এবং
গোলকের আয়তন
= (4/3)πr3 ঘন একক
= (4/3)✕3.1416✕63 ঘন সেমি
=904.7808 ঘন সেমি (প্রায়)
১৫. 6, 8, r সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট তিনটি কঠিন কাচের বল গলিয়ে 9 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি কঠিন গোলকে পরিনত করা হলো। r এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
6, 8, r সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তনের সমষ্টি
={(4/3)π(6)3+(4/3)π(8)3+(4/3)π(r)3} ঘন সেমি
=(4/3)π(63+83+r3) ঘন সেমি
আবার,
9 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট গোলকের আয়তন =(4/3)π.93 ঘন সেমি
প্রশ্নমতে,
(4/3)π(63+83+r3) =(4/3)π.93
বা, 63+83+r3=93
বা, 216+512+r3=729
বা, r3=729-216-512
বা, r3=1
বা, r=1
১৬. একটি ফাঁপা লোহার গোলকের বাইরের ব্যাস13 সেমি এবং লোহার বেধ 2 সেমি। ঐ গোলকে ব্যবহৃত লোহা দিয়ে একটি নিরেট গোলক তৈরি করা হলো। তার ব্যাস কত হবে?
সমাধানঃ
গোলকের বাইরের ব্যাসার্ধ = 13/2 সেমি = 6.5 সেমি
লোহার বেধ = 2 সেমি
তাহলে,
গোলকের ফাঁপা অংশের ব্যাসার্ধ = (6.5-2) সেমি = 4.5 সেমি।
এখন,
ফাঁপা অংশের আয়তন
=(4/3)π.(4.5)3 ঘন সেমি
=(4/3)✕3.1416✕(4.5)3 ঘন সেমি
=381.7044 ঘন সেমি
সম্পূর্ণ গোলকের আয়তন
=(4/3)π.(6.5)3 ঘন সেমি
=(4/3)✕3.1416✕(6.5)3 ঘন সেমি
=1150.3492 ঘন সেমি
তাহলে,
গোলকে ব্যবহৃত নিরেট লোহার আয়ত্ন
=(1150.3492-381.7044) ঘন সেমি
=768.6448 ঘন সেমি
এখন,
নিরেট লোহার গোলকের ব্যাসার্ধ r হলে এর আয়তন = (4/3)π.r3 ঘন একক
অর্থাৎ,
(4/3)π.r3 = 768.6448
বা, r3 = 183.5 [π=3.1416 ধরে]
বা, r=5.6826
বা, 2r=11.3652 সেমি
অতএব, নিরেট গোলকের ব্যাস 11.37 সেমি (প্রায়)।
১৭. 4 সেমি ব্যাসার্ধের একটি নিরেট গোলককে গলিয়ে 5 সেমি বহিব্যাসার্ধ বিশিষ্ট ও সমভাবে পুরু একটি ফাঁপা গোলক প্রস্তুত করা হলো। দ্বিতীয় গোলকটি কত পুরু?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 4 সেমি
এবং ফাঁপা গোলকের বহিঃব্যাসার্ধ r1 = 5 সেমি
ধরি ফাঁপা গোলকের অন্তঃব্যাসার্ধ = r2 সেমি
আমরা জানি, উভয় গোলকের নিরেট লোহার আয়তন সমান।
অর্থাৎ,
(4/3)π.r3 = (4/3)π.r13-(4/3)π.r23
বা, r3=r13-r23
বা, 43=53-r23
বা, r23=53-43
বা, r23=61
বা, r2=3.937
তাহলে,
দ্বিতীয় বা ফাঁপা গোলকের পুরুত্ব = (r1-r2) = (5-3.937) সেমি = 1.063 সেমি।
১৮. একটি লোহার নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ 6 সেমি। এর লোহা থেকে 8 সেমি দৈর্ঘ্য ও 6 সেমি ব্যাসের কয়টি নিরেট সিলিন্ডার প্রস্তুত করা যাবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, নিরেট গোলকের ব্যাসার্ধ = 6 সেমি
এবং লোহার সিলিন্ডারের ব্যাস = 6 সেমি
ধরি, সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r = 6/2 = 3 সেমি এবং দৈর্ঘ্য h = 8 সেমি।
তাহলে, গোলকের আয়তন = (4/3).π.63 ঘন সেমি
এবং সিলিন্ডারের আয়তন = πr2h ঘন একক = π.32.8 ঘন সেমি
মনে করি, n সংখ্যক সিলিন্ডার তৈরি করা যাবে।
অতএব,
সিলিন্ডার সমূহের আয়তন = নিরেট গোলকের আয়তন
বা, n.π.32.8 = (4/3).π.63
বা, n.32.8 = (4/3).63
বা, n.9.8 = (4/3).216
বা, n.9.8 = 4.72
বা, n = 4
অতএব, সিলিন্ডারের সংখ্যা 4 টি।
১৯. 22/π সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলক আকৃতির বল একটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায়। বাক্সটির অনধিকৃত অংশের আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
গোলকের ব্যাসার্ধ r = 22/π সেমি
যেহেতু গোলকটি ঘনক আকৃতির বাক্সে ঠিকভাবে এঁটে যায় সেহেতু ঘনকের বাহু গোলকের ব্যাসের সমান হবে।
অতএব,
ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য = 2r = 2 ✕ 22/π সেমি = 44/3.1416 সেমি = 14.0056 সেমি
এবং ঘনকের আয়তন = (ঘনকের বাহুর দৈর্ঘ্য)3 ঘন একক = (14.0056)3 ঘন সেমি = 2747.2954 ঘন সেমি।
গোলকের আয়তন = (4/3).π.(22/π)3 ঘন একক = 1438.4832 ঘন সেমি [π=3.1416 ধরে]
অতএব,
অনধিকৃত অংশের আয়তন
= ঘনকের আয়তন – গোলকের আয়তন
= (2747.2954-1438.4832) ঘন সেমি
=1308.812 ঘন সেমি
২০. 13 সেমি ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি গোলকের কেন্দ্র থেকে 12 সেমি দূরবর্তী কোন বিন্দুর মধ্য দিয়ে ব্যাসের উপর লম্ব সমতল গোলকটিকে ছেদ করে। উৎপন্ন তলটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
প্রশ্ন অনুসারে চিত্র থেকে গোলকের কেন্দ্র থেকে তলের দূরত্ব OA = 12 সেমি এবং গোলকের ব্যাসার্ধ OB = 13 সেমি।
সমকোণী ত্রিভুজ OBA থেকে পাই,
OB2 = OA2 + AB2
বা, AB2 = OB2 – OA2
বা, AB2 = 132 – 122
বা, AB2 = 169-144
বা, AB2 = 25
বা, AB = 5 সেমি
ধরি, সমতলটি একটি বৃত্ত হবে যার ব্যাসার্ধ, r = 5 সেমি
আমরা জানি,
বৃত্তের ক্ষেত্রফল = πr2 বর্গ একক
= π.52 বর্গ সেমি
= 3.1416 ✕ 25 বর্গ সেমি
= 78.5 বর্গ সেমি
অতএব, তলের ক্ষেত্রফল = 78.5 বর্গ সেমি।
২১. একটি ঢাকনাযুক্ত কাঠের বাক্সের বাইরের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে 1.6 মি ও 1.2 মি, উচ্চতা 0.8 মি এবং এর কাঠ 3 সেমি পুরু। বাক্সটির ভিতরের তলের ক্ষেত্রফল কত? প্রতি বর্গমিটার 14.44 টাকা হিসাবে বাক্সের ভিতর রং করতে কত খরচ হবে?
সমাধানঃ
3 সেমি= 0.03 মিটার
অতএব,
বাক্সের ভিতরের দৈর্ঘ্য, a = (1.6-2✕0.03) = 1.54 মি
বাক্সের ভিতরের প্রস্থ, b =(1.2-2✕0.03) = 1.14 মি
বাক্সের ভিতরের উচ্চতা, c = (0.8-2✕0.03) = 0.74 মি
[যেহেতু বাক্স আয়তাকার হয় সেহেতু এর পুরুত্ব উভয় দিকে সমান হারে বাদ দিয়ে ভিতরের দৈর্ঘ্য বা প্রস্থ বা উচ্চতা মাপা হয়]
অতএব,
ভিতরের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ মিটার
=2(1.54✕1.14+1.14✕0.74+0.74✕1.54) বর্গ মিটার
=7.4776 বর্গ মিটার
দেওয়া আছে,
প্রতি বর্গ মিটার ক্ষেত্রে খরচ হয় 14.44 টাকা
অতএব, 7.4776 বর্গ মিটার ক্ষেত্রে খরচ হয় (14.44✕7.4776) টাকা = 107.98 টাকা।
২২. 120 মি দৈর্ঘ্য ও 90 মি প্রস্থ (বহির্মাপ) বিশিষ্ট আয়তাকার বাগানের চতুর্দিকে 2 মি উচু ও 25 সেমি পুরু প্রাচীর নির্মাণ করতে 25 সেমি দৈর্ঘ্য, 12.5 সেমি প্রস্থ এবং 8 সেমি বেধ বিশিষ্ট কতগুলো ইট লাগবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
বাগানের দৈর্ঘ্য, A=120 মিটার
বাগানের প্রস্থ, B = 90 মিটার
প্রচীরের উচ্চতা, H = 2 মিটার
প্রাচীরের পুরুত্ব, d = 25 সেমি =0.25 মিটার
প্রতিটি ইটের দৈর্ঘ্য a = 25 সেমি = 0.25 মিটার
প্রতিটি ইটের প্রস্থ b = 12.5 সেমি = 0.125 মিটার
প্রতিটি ইটের উচ্চতা c = 8 সেমি = 0.08 সেমি
এখন,
প্রাচীর ছাড়া বাগানের দৈর্ঘ্য = (A-2d) মিটার = (120-2✕0.25) মিটার = 119.5 মিটার
প্রাচীর ছাড়া বাগানের প্রস্থ = (B-2d) মিটার = (90-2✕0.25) মিটার = 89.5 মিটার
অতএব,
প্রাচীর ছাড়া বাগানের ক্ষেত্রফল = (119.5✕89.5) বর্গ মিটার = 10695.25 বর্গ মিটার।
প্রাচীর সহ বাগানের ক্ষেত্রফল = (120✕90) বর্গ মিটার = 10800 বর্গ মিটার
অতএব,
যে স্থানে প্রাচীর অবস্থিত সে স্থানের ক্ষেত্রফল
=(প্রাচীর সহ বাগানের ক্ষেত্রফল-প্রাচীর ছাড়া বাগানের ক্ষেত্রফল)
=(10800-10695.25) বর্গ মিটার
=104.75 বর্গ মিটার
তাহলে,
প্রাচীরের আয়তন
=প্রাচীরের অবস্থিত স্থানের ক্ষেত্রফল✕প্রাচীরের উচ্চতা
=104.75✕2 ঘন মিটার
=209.5 ঘন মিটার
এখন,
প্রতিটি ইটের আয়তন = abc ঘন মিটার
=(0.258✕0.125✕0.08) ঘন মিটার
=0.0025 ঘন মিটার
অতএব, 209.5 ঘন মিটার প্রাচীর নির্মাণে ইট লাগবে (209.5/0.0025) টি = 83800 টি।
২৩. একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত 4:3 এবং এর আয়তন 2304 ঘন সেমি। প্রতি বর্গসেন্টিমিটারে 10 টাকা হিসাবে ঐ বস্তুর তলায় সীসার প্রলেপ দিতে 1920 টাকা খরচ হলে, ঐ বস্তুর মাত্রাগুলো নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
মনে করি, আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য = 4x সেমি
এবং প্রস্থ = 3x সেমি ও উচ্চতা = h সেমি
তাহলে, ঐ ঘনবস্তুর আয়তন = 4x.3x.h ঘন সেমি = 12x2h ঘন সেমি।
প্রশ্নমতে,
12x2h = 2304 ……(i)
যেহেতু প্রতি বর্গ সেমি 10 টাকা হিসেবে বস্তুটির তলায় সীসার প্রলেপ দিতে মোট খরচ 1920 টাকা সেহেতু,
তলার ক্ষেত্রফল
1920/10 = 192 বর্গ সেমি ।
তাহলে,
4x.3x=192
বা, 12x2 = 192…….(ii)
বা, x2 = 16
বা, x = 4
(ii) নং থেকে মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
192h=2304
বা, h = 12
অতএব,
দৈর্ঘ্য = 4x = 4✕4 = 16 সেমি
প্রস্থ = 3x = 3✕4 = 12 সেমি
এবং উচ্চতা h = 12 সেমি
২৪. কোণক আকারের একটি তাঁবুর উচ্চতা 7.5 মিটার। এই তাঁবু দ্বারা 2000 বর্গমিটার জমি ঘিরতে চাইলে কি পরিমাণ ক্যানভাস লাগবে?
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
তাঁবুর উচ্চতা h = 7.5 মিটার
এবং জমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গ মিটার
অতএব, কোণকের ভূমির ক্ষেত্রফল = 2000 বর্গ মিটার
ধরি, কোণকের ভূমির ব্যাসার্ধ = r মিটার
প্রশ্নমতে,
πr2 = 2000
বা, r2 = 636.6183 [π=3.1416 ধরে]
বা, r = 25.2313
আমরা জানি,
কোণকের তীর্যক বাহুর দৈর্ঘ্য,
l=√(h2+r2) একক
= √{(7.5)2+(25.2313)2}
= 26.3224 মিটার
এখন, মোট ক্যানভাস প্রয়োজন হবে কোণকের বক্রতলের ক্ষেত্রফলের সমান।
অর্থাৎ তাঁবুর ক্যানভাসের পরিমাণ
= πrl বর্গ মিটার
=(3.1416✕25.2313✕26.3224) বর্গ মিটার
=2086.4885 বর্গ মিটার।
২৫. একটি পঞ্চভুজাকার প্রিজমের দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে 6 সেমি ও 8 সেমি এবং অপর তিনটি বাহুর প্রত্যেকটির দৈর্ঘ্য 10 সেমি, উচ্চতা 12.5 সেমি। প্রিজমটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন রের কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
প্রিজমের ভূমি একটি পঞ্চভুজ ।
দেওয়া আছে, ABCDE পঞ্চভুজের তিনটি বাহুর দৈর্ঘ্য 10 সেমি এবং দুইটি বাহুর দৈর্ঘ্য 6 সেমি ও 8 সেমি এবং উচ্চতা 12.5 সেমি।
অর্থাৎ AB=BC=CD=10 সেমি, AE=8 সেমি, DE=6 সেমি।
অতএব , পঞ্চভুজাকার প্রিজমটির ভূমি ABCD বর্গ এবং △ADE এর সমন্বয়ে গঠিত।
ABCD বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল =(10)2 সেমি = 100 বর্গ সেমি
△ADE এ , AD = 10 সেমি
ত্রিভুজটির পরিসীমা, 2s=(8+6+10) সেমি
∴ s = 24/2 = 12 সেমি
আমরা জানি,
AD, AE, DE বাহু বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= √{s(s –AD) (s-AE) (s-DE)} বর্গ একক
= √{12 (12-10) (12-8) (12-6)} বর্গ সেমি
= √576 বর্গ সেমি
= 24 বর্গ সেমি
প্রিজমের ভূমির পরিসীমা = (10✕3+8+6) সেমি = 44 সেমি
এখন, প্রিজমের উচ্চতা = 12.5 সেমি
আমরা জানি,
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2(ভূমির ক্ষেত্রফল) + ভূমির পরিসীমা ✕ উচ্চতা
= 2 (100+24) বর্গসেমি + 44 ✕ 12.5 বর্গ সেমি
= (248 + 44✕12.5 ) বর্গ সেমি
= 798 বর্গ সেমি
এবং প্রিজমের আয়তন
= ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=124✕12.5 ঘন মিটার
= 1550 ঘন মিটার
২৬. 4 সেমি বাহু বিশিষ্ট একটি সুষম ষড়ভুজাকার প্রিজমের উচ্চতা 5 সেমি। ইহার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
সুষম ষড়ভুজাকার প্রিজমের উচ্চতা = 5 সেমি
প্রিজমটি সুষম ষড়ভুজাকার বলে এখানে,
ভূমির ক্ষেত্রফল = 6 টি সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফলের সমান যার বাহুর দৈর্ঘ্য 4 সেমি।
অতএব,
প্রিজমটির ভূমির ক্ষেত্রফল
= 6 ✕ (√3/4) (বাহুর দৈর্ঘ্য)2 বর্গ সেমি
= 6 ✕ (√3/4) (4)2 বর্গ সেমি
= 6 ✕ √3 ✕ 4 বর্গ সেমি
= 41.569 বর্গ সেমি
এখন,
প্রিজমটির ভূমির পরিসীমা = 6 ✕ 4 সেমি = 24 সেমি।
অতএব,
প্রিজমের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=2(ভূমির ক্ষেত্রফল)+ভুমির পরিসীমা✕উচ্চতা
=2✕41.569+24✕5 বর্গ সেমি
=83.138+120 বর্গ সেমি
=203.138 বর্গ সেমি
এবং
প্রিজমের আয়তন
= ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=41.569✕5 ঘন সেমি
=207.845 ঘন সেমি
২৭. 6 সেমি বাহু বিশিষ্ট সুষম ষড়ভুজাকার প্রিজমের উপর অবস্থিত একটি পিরামিডের উচ্চতা 10 সেমি। ইহার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
সুষম ষড়ভুজাকৃতির একটি পিরামিডের,
প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্য a = 6 সেমি এবং উচ্চতা h = 10 সেমি।
অতএব,
পিরামিডের ভূমির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
= 6 ✕ (√3/4) a2 বর্গ সেমি
= 6 ✕ (√3/4) 62 বর্গ সেমি
= 93.53 বর্গ সেমি
এখন,
ভূমির কেন্দ্র থেকে প্রতি বাহুর দূরত্ব r
= কেন্দ্র হতে বাহুগুলোর লম্ব দূরত্ব
= √{62-(½✕6)2} সেমি
= √(36-9) সেমি
= √27 সেমি
অতএব,
হেলানো উচ্চতা,
l = √{102+(√27)2} সেমি
= √(100+27)
= 11.27 সেমি
এখন,
সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=(ভূমির ক্ষেত্রফল)+½✕(ভূমির পরিধি✕হেলানো উচ্চতা)
= 93.53 + ½✕6✕6✕11.27 বর্গ সেমি
= 93.53 + 202.85 বর্গ সেমি
= 296.39 বর্গ সেমি
পিরামিডের আয়তন
= 1/3✕ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
= 1/3✕93.353✕10 ঘন সেমি
= 311.77 ঘন সেমি
২৮. একটি সুষম চতুস্তলকের যেকোনো ধারের দৈর্ঘ্য 8 (আট) সেমি হলে, ইহার সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
একটি সুষম চতুস্তলক চারটি সমবাহু দ্বারা গঠিত।
সুতরাং,
চতুস্তলকের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 4✕সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল
= 4✕(√3/4) a2 [a=বাহুর দৈর্ঘ্য]
=4✕(√3/4)82 বর্গ সেমি [দেওয়া আছে, বাহুর দৈর্ঘ্য = 8 সেমি]
= 110.85 বর্গ সেমি
ধরি, চতুস্তলকের ত্রিভুজাকৃতির লম্ব উচ্চতা, h
= (√3/2) a সেমি
= (√3/2)✕8 সেমি
= 6.93 সেমি
এবং ত্রিভুজাকৃতির ভূমির পরিবৃত্তের ব্যাস R হলে, ব্রক্ষ্মগুপ্তের উপপাদ্য হতে পাই,
8✕8=R✕h
বা, 64 = R✕6.93
বা, R = 9.24
অতএব, ব্যাসার্ধ r = 9.24/2 = 4.62 সেমি।
এখন,
চতুস্তলকের উচ্চতা H হলে,
l2=r2+H2
বা, 82 = (4.62)2+H2
বা, H2 = 64-21.34 = 42.66
বা, H = 6.53
অতএব,
চতুস্তলকটির আয়তন
=1/3✕ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=1/3✕(√3/4)82✕6.53
=60.32 ঘন সেমি
২৯. একটি স্থাপনার নিচের অংশ 3 মি দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট আয়তাকার ঘনবস্তু ও উপরের অংশ সুষম পিরামিড। পিরামিডের ভূমির বাহুর দৈর্ঘ্য 2 মি এবং উচ্চতা 3 মি হলে স্থাপনাটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল ও আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
যেহেতু পিরামিডটি আয়তাকার ঘনবস্তুর উপর স্থাপিত সেহেতু ঘনবস্তুর প্রস্থ b = ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য a = 2 মি।
দেওয়া আছে, ঘনবস্তুর উচ্চতা c = 3 মি।
অতএব,
আয়তাকার ঘনবস্তুর আয়তন
= abc ঘন একক
= 2✕2✕3 ঘন মি
= 12 ঘন মি।
আবার,
পিরামিডের ভূমির অর্থাৎ বর্গের ক্ষেত্রফল = 2✕2 বর্গ মি = 4 বর্গ মি।
এখন,
পিরামিডের আয়তন
=1/3✕ভূমির ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=1/3✕4✕3 ঘন মি
= 4 ঘন মি
অতএব,
স্থাপনাটির আয়তন = 12+4 ঘন মি = 16 ঘন মি।
আবার,
আয়তাকার ঘনবস্তুর সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ একক
=2(2✕2+2✕3+3✕2) বর্গ একক
=32 ঘন মি
পিরামিডের ভূমির পরিসীমা = 4✕2 মিটার = 8 মিটার
এখন,
ভূমির কেন্দ্র থেকে প্রতি বাহুর দূরত্ব r
= কেন্দ্র হতে বাহুগুলোর লম্ব দূরত্ব
= 2/2 মি
= 1 মি
অতএব,
হেলানো উচ্চতা, l
=√(h2+r2) একক
=√(32+12) মি
=3.1623 মি
তাহলে,
পিরামিডের সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=ভূমির ক্ষেত্রফল+½(ভূমির পরিসীমা✕হেলানো উচ্চতা)
={4+½(8✕3.1623)} বর্গ মি
=(4+12.649) বর্গ মি
=16.649 বর্গ মি
কিন্তু আয়তাকার ঘনবস্তুর উপরিতল এবং পিরামিডের ভূমি পরস্পপরের উপর স্থাপিত যার ক্ষেত্রফল = (4+4) বর্গ মি = 8 বর্গ মি।
অর্থাৎ,
স্থাপনাটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=(32+16.65-8) বর্গ মি
=40.65 বর্গ মি
৩০. 25 মি দৈর্ঘ্য ও 18 মি প্রস্থ বিশিষ্ট ভূমির উপর অবস্থিত দোচালা গুদাম ঘরের দেয়ালের উচ্চতা 5 মি। প্রতিটি চালার প্রস্থ14 মি হলে গুদাম ঘরটির আয়তন নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্র থেকে পাই, দোচালা গুদাম ঘরটির নিচের অংশ একটি আয়তাকার ঘনবস্তু এবং উপরের অংশ একটি ত্রিভুজাকার প্রিজম।
অতএব,
ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, a=25 মিটার, প্রস্থ, b=18 মিটার এবং উচ্চতা c=5 মিটার
তাহলে,
ঘনবস্তুটির আয়তন
=abc ঘন মিটার
=25✕18✕5 ঘন মিটার
=2250 ঘন মিটার
প্রতিটি চালার প্রস্থ = 14 মিটার।
এখন, △ABC এর পরিসীমা = 18+14+14 = 46 মিটার
অতএব, s = 46/2 মিটার = 23 মিটার
তাহলে,
△ABC এর ক্ষেত্রফল
=√{s(s-18)(s-14)(s-14)} বর্গ মিটার
=√{23(23-18)(23-14)(23-14)} বর্গ মিটার
=√(23✕5✕9✕9) বর্গ মিটার
=√9315 বর্গ মিটার
=96.51 বর্গ মিটার
অতএব,
দোচালা প্রিজম আকৃতির ঘরের আয়তন
=△ABC এর ক্ষেত্রফল✕উচ্চতা
=96.51✕25 [এখানে উচ্চতা=ঘরের দৈর্ঘ্য]
=2412.85 ঘন মিটার
তাহলে,
গুদাম ঘরের মোট আয়তন
=ঘনবস্তুটির আয়তন+দোচালা প্রিজম আকৃতির ঘরের আয়তন
=2250+2412.85 ঘন মিটার
=4662.85 ঘন মিটার।
৩১.
ক) নিন্মের চিত্রের ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
চিত্র হতে,
ঘনবস্তুটির দৈর্ঘ্য, a=8 সেমি;
প্রস্থ, b=5 সেমি এবং উচ্চতা, c=3 সেমি
অতএব,
ঘনবস্তুটির সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
=2(ab+bc+ca) বর্গ সেমি
=2(8✕5+5✕3+3✕8) বর্গ সেমি
=158 বর্গ সেমি
খ) ঘনবস্তুটির কর্ণের সমান ধার বিশিষ্ট একটি ধাতব ঘনককে গলিয়ে 1.8 সেমি ব্যাস বিশিষ্ট কতগুলো নিরেট গোলক উৎপন্ন করা যাবে তা নিকটতম পূর্ণসংখ্যায় নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
আমরা জানি,
ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য=√(a2+b2+c2) একক =√(82+52+32) সেমি = 9.9 সেমি (প্রায়)।
ধরি, ঘনকের ধার, x=ঘনবস্তুর কর্ণের দৈর্ঘ্য= 9.9 সেমি
এখন,
ঘনকের আয়তন
=x3 একক
=(9.9)3 ঘন সেমি
=970.299 ঘন সেমি
দেওয়া আছে, গোলকের ব্যাস = 1.8 সেমি
অতএব, গোলকের ব্যাসার্ধ, r = 1.8/2 = 0.9 সেমি
আমরা জানি,
গোলকের আয়তন
=(4/3)πr3 ঘন একক
=(4/3)✕3.1416✕(0.9)3 ঘন সেমি
=3.0536352 ঘন সেমি
ধরি, n সংখ্যক নিরেট গোলক তৈরি করা যাবে।
প্রশ্নমতে,
970.299=n✕3.0536352
বা, n=317.752101
অতএব, 317 টি গোলক তৈরি করা যাবে।
৩২. একটি সমবৃত্তভূমিক কোণাকৃতির তাঁবুর উচ্চতা 8 (আট) মিটার এবং এর ভূমির ব্যাস 50 মিটার।
ক) তাঁবুটির হেলানো উচ্চতা নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, তাঁবুর উচ্চতা, h=8 মিটার
এবং ভূমির ব্যাস = 50 মিটার
অতএব, ভূমির ব্যাসার্ধ, r=50/2=25 মিটার
তাহলে,
হেলানো উচ্চতা, l
=√(h2+r2) একক
=√(82+252) মি
=26.25 মি (প্রায়)
খ) তাঁবুটি স্থাপন করতে কত বর্গমিটার জমির/জায়গা প্রয়োজন হবে? তাঁবুটির ভিতরের শূন্যস্থানের পরিমাণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
তাবুটি স্থাপন করতে তার তলের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট জায়গা লাগবে যা একটি বৃত্ত।
অতএব,
তাঁবুটির তলের ক্ষেত্রফল
= πr2 বর্গ একক
= 3.1416✕252 বর্গ মিটার
=1963.50 বর্গ মিটার (প্রায়)
অর্থাৎ তাবুটি স্থাপন করতে 1963.50 বর্গ মিটার জায়গা প্রয়োজন।
আবার, তাঁবুটির ভেতরের শূন্যস্থানের পরিমাণ তাঁবুটির আয়তনের সমান।
অতএব,
তাঁবুটির আয়তন
=(1/3)πr2h ঘন একক
=(1/3)✕3.1416✕252✕8 ঘন মিটার
=5236 ঘন মিটার (প্রায়)
অতএব, তাঁবুটির শূন্যস্থানের পরিমাণ 5236 ঘন মিটার (প্রায়)।
গ) তাঁবুটির প্রতি বর্গমিটার ক্যানভাসের মূল্য 125 টাকা হলে ক্যানভাস বাবদ কত খরচ হবে?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
তাবুতির পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল
=πrl বর্গ একক
=3.1416✕25✕26.25 বর্গ মিটার
=2061.675 বর্গ মিটার (প্রায়)
প্রতি বর্গ মিটার ক্যানভাসের মূল্য 125 টাকা হলে ক্যানভাস বাবদ খরচ = তাঁবুর পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল✕প্প্রতি বর্গ মিটার ক্যানভাসের মূল্য
=(2061.675✕125) টাকা
=257709.38 টাকা (প্রায়)
0 Comments