9-10 H Math 12

 অনুশীলনী-১২

১. AB || DC হলে

(i.)	à AB	=	à m.DC
যেখানে m একটি স্কেলার রাশি।
(ii.)	à AB	=	à DC
(iii.)	à AB	=	à CD

ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক.) i      খ.) ii

গ.) i ও ii    ঘ.) i, ii ও iii

উত্তরঃ ক

২. দুইটি ভেক্টর সমান্তরাল হলে--

.i. এদের যোগের ক্ষেত্রে সামান্ত্রিক বিধি প্রযোজ্য

.ii. এদের যোগের ক্ষেত্রে ত্রিভুজ বিধি প্রযোজ্য

.iii. এদের দৈর্ঘ্য সর্বদা সমান

ওপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠিক?

ক.) i      খ.) ii

গ.) i ও ii    ঘ.) i, ii ও iii

উত্তরঃ  খ

৩. AB=CD এবং AB||CD হলে নিচের কোনটি সঠিক?

ক.)	à AB	=	à CD
খ.)	à AB	=	à m.CD
যেখানে m>1
গ.)	à AB	+	à DC < 0
ঘ.)	à AB	+	à mCD=0
	যেখানে m>1

উত্তরঃ ক

৪.

à AA

ভেক্টর হচ্ছে

.i. বিন্দু ভেক্টর

.ii. একক ভেক্টর

.iii. শূন্য ভেক্টর

নিচের কোনটি সঠিক?

ক.) i      খ.) i, iii

গ.) i ও ii    ঘ.) i, ii ও iii

উত্তরঃ খ

৫. △ABC এর ক্ষেত্রে কোনটি সঠিক?

ক.)	à AB	+	à BC	=	à CA
খ.)	à AB	+	à AC	=	à BC
গ.)	à CB	+	à BA	+	à CA	=0
ঘ.)	à AB	+	à BC	+	à CA	=0

উত্তরঃ ঘ

৬.	ABCD সামন্তরিকের কর্ণদ্বয়
	à AC ও	à BD	হলে
	à AB ও	à AC	ভেক্টরদ্বয়কে
	à AD ও	à BD	ভেক্টরদ্বয়ের
	মাধ্যমে প্রকাশ কর এবং
	দেখাও যে,
	à AC +	à BD	à =2BC এবং
	à AC -	à BD	à =2AB

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ABCD একটি সামন্তরিক।
à AC ও	à BD	এর কর্ণদ্বয়।
à AB ও	à AC	ভেক্টরদ্বয়কে
à AD ও	à BD	ভেক্টরদ্বয়ের মাধ্যমে
প্রকাশ করতে হবে এবং দেখাতে হবে যে,
à AC +	à BD	=	à 2BC	এবং
à AC -	à BD	=	à 2AB

প্রমাণঃ নিচের চিত্রে দেখানো হলোঃ

৭. দেখাও যে,

ক) –(a+b)=-a-b

সমাধানঃ

–(a+b)

=(-1) (a+b)

=(-1)a+(-1)b [বন্টন সূত্র]

=-a-b [দেখানো হলো]

খ) a+b=c হলে a=c-b

সমাধানঃ

a+b=c

বা, a+b-b=c-b [উভয়পক্ষে (-b) যোগ করে]

বা, a+0=c-b

বা, a=c-b [দেখানো হলো]

৮. দেখাও যে,

ক) a+a=2a

সমাধানঃ

a+a

=1 a+1a [স্কেলার গুণের নিয়মানুসারে]

=(1+1)a [যেহেতু, (m+n)a=ma+na]

=2a (দেখানো হলো)

খ) (m-n)a=ma-na

সমাধানঃ

(m-n)a

={m+(-n)}a

=ma+(-n)a [যেহেতু, (m+n)a=ma+na]

= ma-na  [স্কেলার গুণের নিয়মানুসারে](দেখানো হলো)

গ) m(a-b)=ma-mb

সমাধানঃ

m(a-b)

= m{(a+(-b)}

=ma+m(-b)  [যেহেতু, (m+n)a=ma+na]

=ma-mb (দেখানো হলো)

৯. দেখাও যে,

ক) a,b প্রত্যেকে অশূন্য (০ নয়)ভেক্টর হলে, a=mb হতে পারে কেবলমাত্র যদি a,b এর সমান্তরাল হয় এই শর্তে।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a,b প্রত্যেকে অশূন্য ভেক্টর। দেখাতে হবে যে, a=mb হতে পারে কেবলমাত্র যদি a,b এর সমান্তরাল হয়।

মনে করি, a=mb

তাহলে, a,b এর সমান্তরাল দেখানোই যথেষ্ট হবে।

a=mb হওয়ায় a ভেক্টরটি b এর স্কেলার গুণিতক। সুতরাং a এর দিক ও b এর দিক সমমূখী হবে যদি m>0 হয় এবং বিপরীত্মুখী হবে যদি m<0 হয়। এখানে m ≠ 0 কারন m=0 হলে a=0 হবে যা অসম্ভব কেননা a একটি অশূন্য ভেক্টর।

a ও b এর দিক যদি একই হয় তাহলে তারা সদৃশ সমান্তরাল আর যদি বিপরিত হয় তাহলে তারা বিসদৃশ সমান্তরাল হবে।

সুতরাং উভয়ক্ষেত্রেই a.b এর সমান্তরাল। (দেখানো হলো)

খ) a,b অশূন্য অসমান্তরাল ভেক্টর এবং ma+nb=0 হলে, m=n=0

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, a,b অশূন্য অসমান্তরাল ভেক্টর এবং ma+nb=0 । দেখাতে হবে যে, m=n=0

এখন,

ma+nb=0

বা, ma+nb-nb =0-nb (উভয়পক্ষে -nb যোগ করে)

বা, ma =-nb

যদি m ও n অশূন্য হয় তাহলে a ও b

(i) বিপরীতমুখী হবে যদি m ও n এর চিহ্ন একই হয়।

(ii) সমমুখী হবে যদি m ও n এর চিহ্ন বিপরীত হয়।

উভয় ক্ষেত্রেই a ও b সমান্তরাল হবে যা অসম্ভব কেননা দেওয়া আছে যে a ও b দুইটি অসমান্তরাল ভেক্টর।

অতএব, m ও n অশূন্য হতে পারে না।

অর্থাৎ m=n=0 (দেখানো হলো)

১০. A, B, C এবং D বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a,b,c ও d হলে দেখাও যে, ABCD সামন্তরিক হবে যদি এবং কেবল যদি b-a=c-d হয়।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে,

A, B, C এবং D বিন্দুগুলোর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a,b,c ও d

তাহলে,

à

AB=b-a

এবং

à

DC=c-d

মনে করি, ABCD একটি সামন্তরিক। তাহলে AB ও DC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল হবে।

অর্থাৎ

à    à

AB=DC

বা, b-a=c-d

বিপরীতক্রমে, মনে করি, b-a=c-d

তাহলে,

à    à

AB=DC

সুতরাং, AB ও DC পরস্পর সমান ও সমান্তরাল।

অর্থাৎ, ABCD একটি সামন্তরিক।

অতএব, ABCD সামন্তরিক হবে যদি এবং কেবল যদি b-a=c-d হয়।(দেখানো হলো)

১১. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ত্রিভুজের এক বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে অঙ্কিত অপর বাহুর সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুর মধ্যবিন্দুগামী।

সমাধানঃ

ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ করতে হবে যে, ত্রিভুজ এর একটি বাহুর মধ্যবিন্দু থেকে অঙ্কিত অপর বাহুটির সমান্তরাল রেখা তৃতীয় বাহুটির মধ্যবিন্দুগামী।

প্রমাণঃ

মনে করি, O বিন্দুর সাপেক্ষে,  ABC ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু A, B, C এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a, b, c। D, AB এর মধ্যবিন্দু। DE||BC এবং DE, AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, E, AC এর মধ্যবিন্দু।

যেহেতু, D, AB এর মধ্যবিন্দু, সেহেতু D এর অবস্থান ভেক্টর হবে,

à

OD = ½ (a+b).

E,AC এর মধ্যবিন্দু না হলে, মনে করি F, AC এর মধ্যবিন্দু। তাহলে F এর অবস্থান ভেক্টর হবে,

à

OF= ½ (a+c)

এখন,

à    à   à

DF=OF-OD

    = ½ (a+c)- ½ (a+b)

    = ½ (a+c-a-b)

    = ½ (c-b)

            à

    = ½ BC

অর্থাৎ, DF||BC. কিন্তু দেওয়া আছে, DE||BC. তাহলে DF ও DE যেহতু BC এর সমান্তরাল সেহেতু DF ও DE একই রেখা। অর্থাৎ F বিন্দু E বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।

অতএব, E, AC এর মধ্যবিন্দু (প্রমাণিত)

১২. প্রমাণ কর যে, কোনো চতুর্ভুজের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে তা একটি সামন্তরিক হয়।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD চতুর্ভুজের AC ও BD কর্ণদ্বয় পরস্পরকে O বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, ABCD একটি সামন্তরিক।

প্রমাণঃ

à    à

DO=OB [যেহেতু, O,BD এর মধ্যবিন্দু]….(i)

এবং

à    à

OC=AO [যেহেতু, O,AC এর মধ্যবিন্দু]….(ii)

এখন,

à    à    à

AB=AO+OB [ত্রিভুজ বিধি]

       à    à

    =OC+DO   [(i) ও (ii) হতে]

       à    à

    =DO+OC

       à  

    =DC

অতএব,

à    à

AB=DC

অতএব, AB=DC এবং

à      à

AB ও DC এর ধারক রেখাদ্বয় একই বা সমান্তরাল হবে। এখানে ধারক রেখাদ্বয় সম্পূর্ণ ভিন্ন। অর্থাৎ AB||DC.

অতএব, ABCD একটি সামন্তরিক।

১৩. ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, ট্রাপিজিয়ামের অসমান্তরাল বাহুদ্বয়ের মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের যোগফলের অর্ধেক।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB ও CD বাহুদ্বয় অসমান্তরাল এবং BC ও AD বাহুদ্বয় সমান্তরাল। E ও F যথাক্রমে AB ও CD এর মধ্যবিন্দু। E ও F যোগ করা হলো।

প্রমাণ করতে হবে যে, EF, AD ও BC এর সমান্তরাল এবং

à         à    à

EF= ½(AD+BC)

প্রমাণঃ

মনে করি, কোনো ভেক্টর মূল বিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে a, b, c ও d.

তাহলে,

à

BC=c-b

à

AD=d-a

এখন,

E বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ½ (a+b) [যেহেতু, E, AB এর মধ্যবিন্দু]

F বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ½ (c+d) [যেহেতু, F, CD এর মধ্যবিন্দু]

অতএব,

à

EF= ½ (c+d) - ½ (a+b)

    = ½ (c+d-a-b)

    = ½ {(c-b)+(d-a)}

      à        à   à

বা, EF= ½(BC+AD)

কিন্তু BC ও AD পরস্পর সমান্তরাল হওয়ায়

à    à

BC+AD ভেক্টরটিও তাদের (অর্থাৎ BC ও AD এর) সমান্তরাল হবে। সুতরাং

à

EF ভেক্টরও BC ও AD এর সমান্তরাল হবে।

কারন,

à         à    à

EF= ½(AD+BC)

অতএব,

EF, AD ও BC এর সমান্তরাল এবং

à         à    à

EF= ½(AD+BC)  [প্রমাণিত]

১৪. ভেক্টরের. সাহায্যে প্রমাণ. কর যে., ট্রাপিজিয়াম. এর কর্ণদ্বয়ের. সংযোজক সরলরেখা. সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের সমান্তরাল ও তাদের বিয়োগফল এর অর্ধেক।

সমাধানঃ

মনে করি, ABCD ট্রাপিজিয়ামের AB||CD এবং AC ও BD কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু যথাক্রমে P ও Q। P, Q যোগ করি ।

প্রমাণ করতে হবে যে,

PQ = ½ (DC-AB)

এবং

PQ||AB||CD.

প্রমাণঃ

মনে করি., কোনো ভেক্টর. মূলবিন্দুর সাপেক্ষে A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর. যথাক্রমে a, b, c ও d. 

তাহলে,

à

AB=b-a

à

DC=c-d

P বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ½(b+d) [যেহেতু, P, BD এর মধ্যবিন্দু]

Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর = ½(a+c) [যেহেতু, Q, AC এর মধ্যবিন্দু]

অতএব,

à

PQ= ½ (a+c)- ½ (b+d)

     = ½ (a+c-b-d)

     = ½{(c-d)-(b-a)}

      à           à   à

বা, PQ = ½ (DC-AB)   

AB||CD হওয়ায়

à   à

DC-AB ভেক্টরটিও

à      à

AB ও CD ভেক্টরের সমান্তরাল হবে। তাহলে,

à

PQ ভেক্টরটিও

à      à

AB ও CD ভেক্টরের সমান্তরাল হবে। কারন,

à            à   à

PQ = ½ (DC-AB) 

        à              à   à

বা, ।PQ। = ½ ।(DC-AB)। 

বা, PQ= ½ (DC-AB)

অর্থাৎ,

PQ||AB||DC ও PQ = ½ (DC-AB) (প্রমাণিত) 

১৫. △ABC এর AB ও AC বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D ও E।

ক)	à AD	+	à DE	কে
	à AC	ভেক্টরের
	মাধ্যমে প্রকাশ কর।

সমাধানঃ

△ABC-এ

à    à   à

AD+DE=AE  [ত্রিভুজ বিধি.]

                    à

           = ½ AC  [যেহেতু E,AC এর মধ্যবিন্দু]

সুতরাং,

à     à        à

AD+DE= ½ AC  [প্রকাশিত হলো]

খ) ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, BC||DE এবং DE= ½ BC

সমাধানঃ

D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু।

তাহলে,

à     à         à

BD=AD= ½ AB

এবং

à    à        à

AE=FC= ½ AC

ত্রিভুজ বিধি. অনুসারে পাই,

à    à    à

BC=BA+AC

      à    à    à

বা, BC=-AB+AC

      à   à   à

বা, BC=AC-AB……..(i)

এবং,

à

DE

   à    à

=DA+AE

    à    à

=-AD+AE

         à       à

=- ½AB+½AC

         à  à

= ½(AC-AB)

       à

= ½BC  [(i) নং হতে]

সুতরাং,

  à         à

|DE|= ½|BC|

অতএব, DE= ½BC এবং

à      à

DE ও BC এর ধারক রেখা একই বা সমান্তরাল। কিন্তু D ও E যথাক্রমে AB ও AC এর মধ্যবিন্দু বলে

à      à

DE ও BC এর ধারক রেখা একই হতে পারে না।

অতএব,

DE||BC

অর্থাৎ,

DE= ½ BC এবং DE||BC (প্রমাণিত)

গ) BCED ট্রাপিজিয়ামের কর্ণদ্বয়ের মধ্যবিন্দু  M ও N হলে ভেক্টরের সাহায্যে প্রমাণ কর যে, MN||DE||BC এবং MN= ½ (BC-DE)

সমাধানঃ

১৪ নং এর সমাধানের অনুরুপ।

১৬. △ABC এর BC, CA ও AB বাহুর মধ্যবিন্দু যথাক্রমে D, E, F।

ক)	à AB	ভেক্টরকে
	à BE	ও	à CF
	ভেক্টরের মাধ্যমে প্রকাশ কর।
খ)	প্রমাণ কর যে,
	à AD	+	à BE	+	à CF	=0

গ) ভেক্টরের. সাহায্যে. প্রমাণ কর যে., F বিন্দু দিয়ে. BC এর সমান্তরাল রেখা. অবশ্যই E বিন্দুগামী হবে।

সমাধানঃ

ক)

à

AB

   à   à

=EB+AE  [ত্রিভুজ বিধি.]

    à   à

=-BE+AE 

    à       à

=-BE+ ½AC  [E, AC এর মধ্যবিন্দু বলে]

    à         à   à

=-BE+ ½(AF+FC)  [ত্রিভুজ বিধি.]

    à            à   à

=-BE+ ½(½AB-CF)  [F,AB এর মধ্যবিন্দু বলে]

    à        à      à

=-BE+ ¼AB- ½CF

      à      à     à     à

বা, AB- ¼AB=-BE-½CF 

        à  à       à   à

বা, 4AB-AB=-4BE-2CF  [উভয়পক্ষকে 4 দ্বারা গুণ করে]

        à      à    à

বা, 3AB=-4BE-2CF   

      à         à       à

বা, AB=-⁴/₃BE-²/₃CF…….[প্রকাশিত হলো]  

খ)

△ABD-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই,

à     à   à

AD=AB+BD

      à    à      à

বা, AD=AB+½BC……(i)

△ACF-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই,

à    à  à

CF=AF-AC

      à      à   à

বা, CF=½AB-AC……(ii)

△ABE-এ ত্রিভুজ সূত্র হতে পাই,

à    à  à

BE=AE-AB

      à      à   à

বা, BE=½AC-AB……(iii)

(i)+(ii)+(iii) করে পাই,

à    à   à

AD+CF+BE

   à        à       à   à        à   à

=AB+ ½BC+ ½AB-AC+ ½AC-AB  

       à        à       à

= ½AB+ ½BC- ½AC  

        à    à        à

= ½(AB+BC)- ½AC  

       à       à

= ½AC- ½AC  

= 0

অতএব,

à    à   à

AD+CF+BE=0 (প্রমাণিত)

গ)

মনে করি, ABC ত্রিভুজের AB বাহুর মধ্যবিন্দু F দিয়ে BC বাহুর সমান্তরাল করে অঙ্কিত রেখা AC কে E বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, E, AC এর মধ্যবিন্দু।

ধরি, E নয় বরং P, AC এর মধ্যবিন্দু।

তাহলে,

à       à

AF= ½AB  [F,AB এর মধ্যবিন্দু বলে]

অতএব,

à

FP

   à   à

=FA+AP

    à   à

=-AF+AP

   à   à

=AP-AF

       à       à

= ½AC- ½AB

        à    à

= ½(AC- AB)

       à

= ½BC

অতএব,

à       à

FP= ½BC

অর্থাৎ FP||BC কিন্তু FE||BC (দেওয়া আছে)

অর্থাৎ FP ও FE ভিন্ন রেখা হতে পারে না বরং F বিন্দু E বিন্দুতে সমপতিত হবে।

E ও P একই বিন্দু হবে।

অর্থাৎ, E, AC এর মধ্যবিন্দু (প্রমাণিত)

[সামন্তরিকের বিপরীত বাহুগুলো সমান ও সমান্তরাল](প্রমাণিত)