অনুশীলনী-১১.৪
সরলরেখার সমীকরণঃ সরলরেখার বা রেখার সমীকরণ নির্ণয়
১. A(-1,3) এবং B(2,5) হলে AB এর
(i) দৈর্ঘ্য √13 একক
(ii) ঢাল 2/3
(iii) সমীকরণ 2x-3y = 11
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i,iii গ) ii,iii ঘ) i,ii iii
উত্তরঃ ক
[(i) AB এর দৈর্ঘ্য =√{(2+1)2+(5-3)2}=√(9+4)= √13
(ii) AB এর ঢাল
5-3
2
(iii) AB এর সমীকরণ
x-(-1) y-3
বা, (y-3).-3=2(X+1)
বা, 3y-9=2x+2
বা, 2x-3y=-9-2
বা, 2x-3y = -11 ]
২. √{s(s-a)(s-b)(s-c) এ s দ্বারা বুঝায়
ক) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল খ) বৃত্তের ক্ষেত্রফল
গ) ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা ঘ) বৃত্তের অর্ধ পরিধি
উত্তরঃ গ
[√{s(s-a)(s-b)(s-c) দ্বারা ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল ব্যঝায় যার বাহু তিনটির দৈর্ঘ্য a, b, c এবং অর্ধপরিসীমা s = (a+b+c)/2]
৩. নিচের চিত্র হতে উত্তর দাওঃ
ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
ক) 12 বর্গ একক খ) 15 বর্গ একক
গ) 6 বর্গ একক ঘ) 60 বর্গ একক
উত্তরঃ গ
[ABC সমকোণী, তাহলে BC=√(AC2-AB2)=√(52-32)= √(25-9)= √16=4 একক।
অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= ½ ✕AB✕BC
= ½ ✕3✕4
= 6 বর্গ একক ]
৪. নিচের চিত্র হতে উত্তর দাওঃ
AB রেখার ঢাল
ক) 2 খ) -2 গ) 0 ঘ) 6
উত্তরঃ খ
[AB এর ঢাল
1-(-3)
1+3
4
= -2 ]
৫. x-2y-10 = 0 ও 2x+y-3 = 0 রেখা দুইটির ঢাল দুইটির গুণফল
ক) -2 খ) 2 গ) -3 ঘ)-1
উত্তরঃ ঘ
[ x-2y-10 = 0
বা, y = ½ x – 5 রেখার ঢাল m1 = ½
আবার,
2x+y-3 = 0
বা, y = -2x+3 রেখার ঢাল m2=-2
অতএব, ঢালদ্বয়ের গুণফল m1m2= ½ ✕ (-2) = -1 ]
৬. y=x/2+2 এবং 5x-10y+20 = 0 সমীকরণদ্বয়
ক) দুটি ভিন্ন রেখা নির্দেশ করে খ) একই রেখা নির্দেশ করে
গ) রেখাদ্বয় সমান্তরাল ঘ) রেখাদ্বয় পরস্পরচ্ছেদী
উত্তরঃ খ
[y=x/2+2
বা, 10y = 5x+20 {10 দ্বারা গুণ করে}
বা, 5x-10y+20 = 0
অর্তায় ১ম সমীকরণ = ২য় সমীকরণ]
৭. y=x-3 এবং y=-x+3 এর ছেদবিন্দু
ক) (0,0) খ) (0,3) গ) (3,0) ঘ) (-3,3)
উত্তরঃ গ
[ y=x-3…….(i)
এবং y = -x+3……(ii)
তাহলে, x-3 = -x+3
বা, 2x = 3+3 = 6
বা, x =6/2 = 3
x=3, (i) নং এ বসিয়ে
y = 3-3 = 0
অতএব, সমীকরনদ্বয়ের ছেদবিন্দু (3,0).]
৮. x=1, y=1 রেখা দুইটি যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাঙ্ক
ক) (0,1) খ) (1,0) গ) (0,0) ঘ) (1,1)
উত্তরঃ ঘ
৯. x=1, y=1 রেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ক্ষেত্রটি তৈরি করে তার ক্ষেত্রফল
ক) ½ বর্গ একক খ)1 বর্গ একক
গ) 2 বর্গ একক ঘ) 4 বর্গ একক
উত্তরঃ খ
[x=1, y=1 রেখাদ্বয় যথাক্রমে Y ও X অক্ষের সাথে সমান্তরাল রেখা। অর্থাৎ রেখাদ্বয় অক্ষদ্বয়ের সাথে যে বর্গ ক্ষেত্র উৎপন্ন করে তার বাহুর দৈর্ঘ্য 1 একক। অতএব ক্ষেত্রফল = 12 = 1 বর্গ একক]
১০. একটি সরলরেখার সমীকরণ.নির্ণয় কর.যা (2,-1) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল 2।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, ঢাল m = 2 এবং নির্দিষ্ট বিন্দু (2,-1)
অতএব, (x1,y1) বিন্দুগামী এবং m.ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ
y-y1=m(x-x1)
বা, y-(-1) = 2(x-2)
বা, y+1 = 2x-4
বা, y =2x-5 (Ans.)
১১. নিন্মোক্ত বিন্দুসমূহ দ্বারা অতিক্রান্ত সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
ক) A(1,5), B(2,4)
সমাধানঃ
আমরা জানি, (x1,y1) এবং (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
x-x1 x1-x2
এখানে, (x1,y1)=(1,5) ও (x2,y2)=(2,4)
অতএব, A(1,5) ও B(2,4) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
x-1 1-2
x-1 -1
বা, x-1 = -(y-5)
বা, x-1 = -y+5
বা, -y+5=x-1
বা, -y =x-1-5
বা, -y =x -6
বা, y =-x+6 (Ans.)
খ) A(3,0), B(0,-3)
আমরা জানি, (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
x-x1 x1-x2
এখানে, (x1,y1)=(3,0) ও (x2,y2)=(0,-3)
অতএব, A(3,0) ও B(0,-3) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
x-3 3-0
x-3 3
বা, 3y = 3x – 9
বা, y =x-3 (Ans.)
গ) A(a,0), B(2a,3a)
আমরা জানি, (x1,y1) ও (x2,y2) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
x-x1 x1-x2
এখানে, (x1,y1)=(a,0) ও (x2,y2)=(2a,3a)
অতএব, A(a,0) ও B(2a,3a) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
x-a a-2a
x-a -a
বা, -ya = -3ax+3a2
বা, -y = -3x+3a
বা, y=3x-3a
১২. নিন্মোক্ত প্রতিক্ষেত্রে সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
ক) ঢাল 3 এবং y ছেদক 5
সমাধানঃ
এখানে ঢাল m=3 এবং y এর ছেদক c=5
অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = 3x+5
সুতরাং, y=3x+5 (Ans.)
খ) ঢাল 3 এবং y ছেদক -5
সমাধানঃ
এখানে ঢাল m=3 এবং y এর ছেদক c=-5
অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = 3x-5
সুতরাং, y=3x-5 (Ans.)
গ) ঢাল -3 এবং y ছেদক 5
সমাধানঃ
এখানে ঢাল m=-3 এবং y এর ছেদক c=5
অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = -3x+5
সুতরাং, y=-3x+5 (Ans.)
ঘ) ঢাল -3 এবং y ছেদক -5
সমাধানঃ
এখানে ঢাল m=-3 এবং y এর ছেদক c=-5
অতএব, সরলরেখার সমীকরণ, y=mx+c = -3x-5
সুতরাং, y=-3x-5 (Ans.)
উপরোক্ত চার রেখা একই সমতলে এঁকে দেখাও [এই রেখাসমূহের মাধ্যমে বুঝা যাবে ঢাল এবং y ছেদকের চিহ্নের জন্য রেখা কোন চতুর্ভাগে অবস্থান করবে]
সমাধানঃ
(ক)
y=3x+5
বা, 0 = 3x+5 [y=0 ধরে]
বা, 3x = -5
বা, x = -5/3
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-5/3,0)
আবার,
y=3x+5
বা, y = 5 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)
(খ)
y=3x-5
বা, 0 = 3x-5 [y=0 ধরে]
বা, 3x = 5
বা, x = 5/3
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A2 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5/3,0)
আবার,
y=3x-5
বা, y = -5 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B2 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-5)
(গ)
y=-3x+5
বা, 0 = -3x+5 [y=0 ধরে]
বা, 3x = 5
বা, x = 5/3
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A3 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (5/3,0)
আবার,
y=-3x+5
বা, y = 5 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B3 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,5)
(ঘ)
y=-3x-5
বা, 0 = -3x-5 [y=0 ধরে]
বা, 3x = -5
বা, x = -5/3
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-5/3,0)
আবার,
y=-3x-5
বা, y = -5 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-5)
উপরোক্ত রেখা চারটি নিচে একই সমতলে আঁকা হলোঃ
১৩. নিন্মোক্ত রেখাসমূহ x অক্ষকে ও y অক্ষকে কোন বিন্দুতে ছেদ করে নির্ণয় কর। তারপর রেখাসমূহ এঁকে দেখাও।
ক) y=3x-3
সমাধানঃ
y=3x-3
বা, 0 = 3x-3 [y=0 ধরে]
বা, 3x = 3
বা, x = 1
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,0) (Ans.)
আবার,
y=3x-3
বা, y = -3 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-3) (Ans.)
নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ
খ) 2y=5x+6
সমাধানঃ
2y=5x+6
বা, 0 = 5x+6 [y=0 ধরে]
বা, 5x = -6
বা, x = -6/5
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-6/5, 0) (Ans.)
আবার,
2y=5x+6
বা, 2y = 6 [x=0 ধরে]
বা, y = 3
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,3) (Ans.)
নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ
গ) 3x-2y-4=0
সমাধানঃ
3x-2y-4=0
বা, 3x -4 =0 [y=0 ধরে]
বা, 3x = 4
বা, x = 4/3
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (4/3, 0) (Ans.)
আবার,
3x-2y-4=0
বা, -2y-4 = 0 [x=0 ধরে]
বা, -2y = 4
বা, y =-2
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-2) (Ans.)
নিচের চিত্রে রেখাটি আঁকা হলোঃ
১৪. (k,0) বিন্দুগামী ও k ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ k এর মাধ্যমে নির্ণয় কর। যদি রেখাটি (5,6) বিন্দুগামী হয় তবে k এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(k,0) বিন্দুগামী ও K ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
(y-0)=k(x-k) [যেহেতু, y-y1=m(x-x1)]
বা, y=k(x-k) (Ans.)
যদি রেখাটি (5,6) বিন্দুগামী হয়, তাহলে,
6 = k(5-k)
বা, 6 =5k-k2
বা, k2-5k+6 = 0
বা, k2-2k-3k+6=0
বা, k(k-2)-3(k-2) = 0
বা, (k-3)(k-2) = 0
বা, k-3 = 0 অথবা, k-2 = 0
বা, k=3 বা, k = 2
অতএব, k = 2,3 (Ans.)
১৫. (k2,2k) বিন্দুগামী এবং 1/k ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর। যদি রেখাটি (-2,1) বিন্দু দ্বারা অতিক্রম করে তবে k এর সম্ভাব্য মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(k2,2k) বিন্দুগামী এ্বং 1/K ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
(y-2k)=1/k(x-k2) [যেহেতু, y-y1=m(x-x1)]
বা, y-2k = x/k-k
বা, y = x/k-k+2k
বা, y = x/k+k (Ans.)
যদি রেখাটি (-2,1) বিন্দুগামী হয়, তাহলে,
1 = -2/k+k
বা, k =-2+k2 [উভয়পক্ষকে k দ্বারা গুণ করে]
বা, k2-k-2 = 0
বা, k2-2k+k-2 = 0
বা, k(k-2)+1(k-2) = 0
বা, (k+1)(k-2)=0
বা, k+1 = 0 অথবা, k-2 = 0
বা, k = -1 বা, k = 2
অতএব,
k এর সম্বাব্য মান -1,2 (Ans.)
১৬. একটি রেখা A(-2,3) বিন্দু দিয়ে যায় এবং যার ঢাল ½ । রেখাটি যদি (3,k) বিন্দু দিয়েও যায় তবে k এর মান কত?
সমাধানঃ
A(-2,3) বিন্দুগামী ও ½ ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
(y-3) = ½ (x+2)
বা, y = x/2 +1 +3
বা, y = x/2 +4
রেখাটি (3,k) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করলে,
বা, k = 3/2 +4
বা, k = 11/2 (Ans.)
১৭. 3 ঢালবিশিষ্ট একটি রেখা A(-1,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং x অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে। A বিন্দুগামী অন্য একটি রেখা x অক্ষকে C(2,0) বিন্দুতে ছেদ করে।
ক) AB ও AC রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
A(-1,6) বিন্দু দিয়ে যায় এবং 3 ঢাল বিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
(y-6) = 3(x+1) [যেহেতু, y-y1=m(x-x1)]
বা, y = 3x+3+6
বা, y = 3x+9
রেখাটি X অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে।
তাহলে, B বিন্দুতে কোটি, y = 0
বা, 3x+9 = 0
বা, x = -3
অতএব, B বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-3,0)
তাহলে,
AB রেখার সমীকরণ,
x+1 -1+3
বা, (y-6)2 = (x+1)6
বা, 2y-12 = 6x+6
বা, 2y = 6x+6+12
বা, 2y = 6x+18
বা, y = 3x+9 (Ans.)
এবং, AC রেখার সমীকরণ,
x+1 -1-2
বা, (y-6).(-3) = (x+1)6
বা, -3y+18 = 6x + 6
বা, -3y =6x+6-18
বা, -3y = 6x-12
বা, y =-2x+4 (Ans.)
খ) △ABC এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ | ||||
△ABC এর ক্ষেত্রফল | ||||
= ½ | | | -1 -3 2 -1 6 0 0 6 | | | বর্গ একক |
= ½ ✕ (0+0+12+18-0-0) বর্গ একক | ||||
= ½ ✕30 বর্গ একক | ||||
= 15 বর্গ একক (Ans.) | ||||
১৮. দেখাও যে, y-2x+4=0 এবং 3y=6x+10 রেখাদ্বয় পরস্পপর ছেদ করে না। রেখাদ্বয়ের চিত্র এঁকে ব্যাখ্যা কর কেন সমীকরণ দুইটির সমাধান নাই।
সমাধানঃ
y-2x+4=0
বা, y = 2x-4……..(i)
এবং
3y=6x+10
বা, y = 2x+10/3……..(ii)
যেহেতু (i) ও (ii) উভয় রেখার ঢাল m1 = m2 = 2 এবং y অক্ষের কর্তিত অংশ যথাক্রমে -4 ও 10/3 অসমান। সুতরাং রেখাদ্বয় পরস্পপর সমান্তরাল এবং পরস্পর ছেদ করে না।
এখন,
y = 2x-4
বা, 2x -4 =0 [y=0 ধরে]
বা, 2x = 4
বা, x = 2
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (2, 0)
আবার,
y = 2x-4
বা, y =-4 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B1 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B1 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,-4)
এবং,
y = 2x+10/3
বা, 2x +10/3 =0 [y=0 ধরে]
বা, 2x = -10/3
বা, x = -10/6 =-5/3
অর্থাৎ, রেখাটি X অক্ষকে A2 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
A2 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (-5/3, 0)
আবার,
y = 2x+10/3
বা, y =10/3 [x=0 ধরে]
অর্থাৎ, রেখাটি Y অক্ষকে B2 বিন্দুতে ছেদ করলে পাই,
B2 বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, 10/3)
ছক কাগজে A1, B1, A2 ও B2 বিন্দু স্থাপন করে রেখাদ্বয় আঁকা হলোঃ
সুতরাং, উপরিক্ত চিত্রে দেখা যাচ্ছে যে, রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল অর্থাৎ তাদের কোনো ছেদবিন্দু নেই। তাই প্রদত্ত সমীকরণদ্বয়ের সমাধান নেই।
১৯. y=x+5, y=-x+5 এবং y=2 সমীকরণ তিনটি একটি ত্রিভুজের তিনটি বাহু নির্দেশ করে। ত্রিভুজটির চিত্র আঁক এবং ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
এখানে,
y=x+5…..(i)
y=-x+5…..(ii)
y=2……(iii)
এখন,
y=x+5
বা, y=5 যখন x=0
তাহলে, (i) নং রেখা X অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে ছেদ করে।
y=x+5
বা, 0 = x+5 যখন y = 0
বা, x = -5
তাহলে, (i) নং রেখা Y অক্ষকে (-5,0) বিন্দুতে ছেদ করে।
আবার,
y=-x+5
বা, y = 5 যখন x=0
তাহলে, (ii) নং রেখা X অক্ষকে (0,5) বিন্দুতে ছেদ করে।
y = -x+5
বা, 0 = -x +5 যখন y = 0
বা, x = 5
তাহলে, (ii) নং রেখা Y অক্ষকে (5,0) বিন্দুতে ছেদ করে।
এবং
y=2
অর্থাৎ, এটি হলো. x অক্ষের সমান্তরাল রেখা. যা Y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করে।
উপরিউক্ত তথ্যের আলোকে রেখাগুলো গ্রাফ কাগজে আঁকা হলোঃ
চিত্র থেকে (i), (ii) ও (iii) নং রেখা দ্বারা গঠিত ত্রিভুজ ABC যার A(0,5), B(-3,2), C(3,2) এবং D বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0,2).
এখন, △ABC এর ভূমি
BC=BD+DC=3+3=6 একক।
উচ্চতা AD=OA-OD=5-2=3 একক।
অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল
= ½✕BC✕AD বর্গ একক
= ½✕6✕3 বর্গ একক
=9 বর্গ একক (Ans.)
২০. y=3x+5, এবং 3x+y=10 রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় কর। রেখাদ্বয়ের চিত্র আঁক এবং X অক্ষ সমন্বয়ে গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
y=3x+4
বা, 3x-y+4=0……..(i)
এবং,
3x+y=10
বা, 3x+y-10=0…….(ii)
প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক হবে (i) ও (ii) নং সমীকরণের সমাধান।
(i)+(ii)---à
6x-6=0
বা,6x=6
বা, x=1
এখন, x=1, (i) নং এ বসিয়ে,
3.1-y+4=0
বা, -y+7=0
বা, y=7
তাহলে, রেখাদ্বয়ের ছেদ বিন্দুর স্থানাঙ্ক (1,7)
(i) নং রেখার উপর একটি বন্দু (1,7) এবং অপর একটি বিন্দু (-4/3,0) [(i) নং এ y=0 বসিয়ে]
(ii) নং রেখার উপর একটি বন্দু (1,7) এবং অপর একটি বিন্দু (10/3,0) [(ii) নং এ y=0 বসিয়ে]
এখন প্রাপ্ত বিন্দুগুলো গ্রাফ কাগজে বসিয়ে ত্রিভুজটি আঁকি।
ABC ত্রিভুজের ভূমি AC=√{(-4/3-10/3)2+(0-0)2} একক
=√{(-14/3)2} একক
=14/3 একক
এবং উচ্চতা = 7 একক।
অতএব,
△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½ ✕ 14/3 ✕ 7 বর্গ একক
= 49/3 বর্গ একক
=161/3 বর্গ একক (Ans.)
২১. প্রমাণ কর যে, 2y-x=2, y+x=7 এবং y=2x-5 রেখা তিনটি সমবিন্দু (concurrent) অর্থাৎ একই বিন্দু দ্বারা অতিক্রম করে।
সমাধানঃ
প্রদত্ত রেখাত্রয়ঃ
2y-x=2……..(i)
y+x=7
বা, 2y+2x=14……(ii)
এবং
y=2x-5
বা, y-2x=-5……(iii)
(i)-(ii)----à করে পাই,
-3x=-12
বা, x=4
x=4 (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2y-4=2
বা, 2y = 2+4
বা, 2y = 6
বা, y = 3
অর্থাৎ, (i) ও (ii) রেখার ছেদবিন্দু (x,y) = (4,3)
প্রদত্ত রেখাত্রয় সমবিন্দু হলে (4,3) বিন্দু দ্বারা (iii) নং সমীকরণটি সিদ্ধ হবে।
সুতরাং (iii) নং এর বামপক্ষ = 3-2.4 = 3- 8 = - 5 = ডানপক্ষ।
সুতরাং, প্রদত্ত রেখাত্রয় সমবিন্দু (প্রমাণিত)।
২২. y=x+3, y=x-3, y=-x+3 এবং y=-x-3 একটি চতুর্ভুজের চারটি বাহু নির্দেশ করে। চতুর্ভুজটি আঁক এবং ক্ষেত্রফল তিনটি ভিন্ন পদ্ধতিতে নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
y=x+3------(i)
বা, x=-3 যখন y=0 এবং y=3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (-3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,3) বিন্দুতে ছেদ করে।
y=x-3-------(ii)
বা, x=3 যখন y=0 এবং y=-3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,-3) বিন্দুতে ছেদ করে।
y=-x+3------(iii)
বা, x=3 যখন y=0 এবং y=3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,3) বিন্দুতে ছেদ করে।
y=-x-3------(iv)
বা, x=-3 যখন y=0 এবং y=-3 যখন x=0
অর্থাৎ, (i) নং রেখা X অক্ষকে (-3,0) বিন্দুতে ছেদ করে
এবং Y অক্ষকে (0,-3) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন প্রাপ্ত তথ্যানুযায়ী (i), (ii), (iii) ও (iv) নং রেখাকে গ্রাফ কাগজে অঙ্কন করি।
উৎপন্ন চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(3,0), B(0,3), C(-3,0) এবং D(0,-3)
চতুর্ভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয়ঃ
প্রথম পদ্ধতিঃ
AC কর্ণ ABCD কে △ABC ও △ACD তে বিভক্ত করে।
এখন,
AB=√{(3-0)2+(0-3)2}=√(9+9)=3√2 একক
BC=√{(0+3)2+(3-0)2}=√(9+9)=3√2 একক
CD=√{(-3-0)2+(0+3)2}=√(9+9)=3√2 একক
AD=√{(3-0)2+(0+3)2}=√(9+9)=3√2 একক
AC=√{(3+3)2+(0+0)2}=√(6)2=6 একক
△ABC এর পরিসীমা = AB+BC+CA=3√2+3√2+6=6√2+6=6(√2+1)
অতএব, △ABC এর অর্ধপরিসীমা = 3(√2+1)
△ACD এর পরিসীমা = AB+BC+CA=3√2+3√2+6=6√2+6=6(√2+1)
অতএব, △ACD এর অর্ধপরিসীমা = 3(√2+1)
△ABC এর ক্ষেত্রফল = √{s(s-AB)(s-BC)(s-AC) বর্গ একক
=√[3(√2+1){ 3(√2+1)- 3√2}{ 3(√2+1)- 3√2}{ 3(√2+1)- 6}] বর্গ একক
=√[3(√2+1){(3)(3)(3√2-3)] বর্গ একক
=√[(3√2+3){(3)(3)(3√2-3)] বর্গ একক
=√[{(3√2)2-32}(3)(3)] বর্গ একক
=√{(18-9)(3)(3)} বর্গ একক
=√{(9)(3)(3)} বর্গ একক
=√81 বর্গ একক
=9 বর্গ একক
অনুরুপভাবে △ACD এর ক্ষেত্রফল = 9 বর্গ একক
তাহলে, ABCD এর ক্ষেত্রফল = 9+9 বর্গ একক=18 বর্গ একক
দ্বিতীয় পদ্ধতিঃ
১ম পদ্ধতি হতে পাই,
AB=BC=CA=DA=3√2 একক
এবং কর্ণ AC = 6 একক
আবার,
কর্ণ BD = √{(0-0)2+(3+3)2}=√62 = 6 একক
যেহেতু ABCD চতুর্ভুজের সবগুলো বাহুর দৈর্ঘ্য সমান ও কর্ণ AC=কর্ণ BD
অতএব, ABCD একটি বর্গ যার বাহুর দৈর্ঘ্য 3√2 একক
অতএব, ABCD এর ক্ষেত্রফল =(3√2)2 বর্গ একক = 9✕2 বর্গ একক =18 বর্গ একক।
তৃতীয় পদ্ধতিঃ
চতুর্ভুজেটির শীর্ষবিন্দুগুলো হলো A(3,0), B(0,3), C(-3,0) এবং D(0,-3)
বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বেবেচনা করে পাই,
ABCD এর ক্ষেত্রফল | ||||
= ½ | | | 3 0 -3 0 3 0 3 0 -3 0 | | | বর্গ একক |
= ½ (9+0+9+0-0+9+0+9) ‘’ | ||||
= ½ ✕36 ‘’ | ||||
=18 বর্গ একক | ||||
২৩. A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1) একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু।
ক) BD রেখা x অক্ষের সাথে কত ডিগ্রি কোণ উৎপন্ন করে তা নির্ণ্য় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, B(8,8) এবং D(1,1)
BD রেখার ঢাল m হলে, tanθ = m
এখন,
m
8-1
= 7/7
=1
অতএব,
tanθ = 1
বা, tanθ = tan450
বা, θ = 450
অর্থাৎ, BD রেখা X অক্ষের সাথে 450 কোণ উৎপন্ন করে।
খ) ABCD চতুর্ভুজের প্রকৃতি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1)
তাহলে,
AB=√{(-4-8)2+(13-8)2} একক
=√{(-12)2+52} একক
=√(144+25) একক
=13 একক
BC=√{(8-13)+(8+4)} একক= √(25+144) একক=13 একক
CD=√{(13-1)2+(-4-1)2} একক=√(144+25) একক=13 একক
DA=√{(1+4)+(1-13)2} একক=√(5+144) একক=13 একক
অর্থাৎ, ABCD চতুর্ভুজের চারটি বাহু সমান।
এখন,
AC=√{(13+4)2+(-4-13)2 একক=√{172+(-17)2} একক=√2(17)2 একক=17√2 একক
BD=√{(1-8)2+(1-8)2 একক= √72+72 একক=√2.72 একক=7√2 একক
অর্থাৎ, কর্ণ AC ≠ কর্ণ BD
চতুর্ভুজটি বাহুগুলো সমান কিন্তু কর্ণদ্বয় সমান নয়।
সুতরাং চতুর্ভুজটি একটি রম্বস।
গ)ABCD চতুর্ভুজের যে x অংশ অক্ষের সাথে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
ABCD চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু A(-4,13), B(8,8), C(13,-4) এবং D(1,1)
বিন্দুগুলোকে XY সমতলে স্থাপন করে পাই,
চিত্র হতে, ধরি, CD রেখা ও BC রেখা X-অক্ষকে যথাক্রমে E ও F বিন্দুতে ছেদ করেছে।
অতএব,
CD রেখার সমীকরণ
y-1 1+4 5
বা, 5x-5=-12y+12
বা, 5x+12y=17
বা, 5x = 17 যখন y=0
বা, x = 17/5
তাহলে E বিন্দুর স্থানাঙ্ক (17/5,0)
আবার BC রেখার সমীকরণ,
y-8 8+4 12
বা, 12x-96=-5y+40
বা,12x+5y=136
বা, 12x=136 যখন y=0
বা, x=136/12
বা, x=34/3
তাহলে F বিন্দুর স্থানাঙ্ক (34/3,0)
এখন, E(17/5,0), C(13,-4) F(34/3,0) বিন্দুত্রয় দ্বারা গঠিত
△ECF এর ক্ষেত্রফল | ||||
= ½ | | | 17/5 13 34/3 17/5 0 -4 0 0 | | | বর্গ একক |
= ½ (-68/5+0+0-0+136/3-0) ‘’ | ||||
= ½ (136/3-68/5) ‘’ | ||||
= ½ ✕ 476/15 ‘’ | ||||
=1513/15 বর্গ একক | ||||
অতএব, X-অক্ষের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 513/15 বর্গ একক।
২৪. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষবিন্দু হলো P(5,2), Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1)
ক) PS রেখার সমীকরণ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P(5,2) এবং S(-2,-1)
অতএব, PS রেখার সমীকরণঃ
x-5 y-2
x-5 y-2
বা, 3x-15=7y-14
বা, 3x-7y-1=0
খ) PQRS চতুর্ভুজের সমান ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
P(5,2), Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1) বিন্দুগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,
PQRS চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল | ||||
= ½ | | | 5 -3 -2 4 5 2 2 -1 -1 2 | | | বর্গ একক |
= ½ (10+3+2+8+6+4+4+5) ‘’ | ||||
= ½ ✕42 ‘’ | ||||
= 21 বর্গ একক | ||||
তাহলে, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য a = √21
অতএব,
বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য
=√2a একক
=√2✕√21 একক
=√42 একক
নির্নেয় বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য √42 একক।
গ) PQRS চতুর্ভুজের যে অংশ ২য় চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, P(5,2), Q(-3,2), R(4,-1) এবং S(-2,-1)
বিন্দুগুলোকে ছক কাগজে স্থাপন করে পাই,
PQ রেখা Y অক্ষকে (0,2) বিন্দুতে ছেদ করেছে।
আবার QS রেখার সমীকরণ,
y-2 2+1 3
বা, 3x+9=-y+2
বা, 3x+y=-7
বা, 3x = -7 [রেখাটি X অক্ষকে ছেদ করে বলে, y=0 ধরে]
বা, এক্স =-7/3
অতএব, QS রেখার ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক (-7/3,0)
এখন, দ্বিতীয় চতুর্ভাগে (0,0), (0,2), (-3,2) এবং (-7/3,0) বিন্দুগুলো দ্বারা গঠিত চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফলঃ
= ½ | | | 0 0 -3 -7/3 0 0 2 2 0 0 | | | বর্গ একক |
= ½ (0+0+0+0-0+6+14/3-0) ‘’ | ||||
= ½ ✕ (6+14/3) ‘’ | ||||
= ½ ✕ 32/3 ‘’ | ||||
= 16/3 বর্গ একক | ||||
অতএব, PQRS চতুর্ভুজের যে অংশ ২য় চতুর্ভাগে অবস্থান করে তার ক্ষেত্রফল 16/3 বর্গ একক।
0 Comments