9-10 H Math 11.2

 অনুশীলনী-১১.২

১. A(-2,0), B(5,0) এবং C(1,4) যথাক্রমে △ABC এর শীর্ষ বিন্দু।

ক) AB, BC, CA বাহুর দৈর্ঘ্য এবং △ABC এর পরিসীমা নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, প্রদত্ত বিন্দুসমূহ A(-2,0), B(5,0) এবং C(1,4) যথাক্রমে △ABC এর শীর্ষ বিন্দু।

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(5+2)²+(0-0)²}

=√7²

=7 একক (Ans.)

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(1-5)²+(4-0)²}

=√{(-4)²+4²}

=√(16+16)

=√32

=4√2 একক (Ans.)

CA বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(-2-1)²+(0-4)²}

=√{(-3)²+(-4)²}

=√(9+16)

=√25

=5 একক (Ans.)

△ABC এর পরিসীমা

=AB+BC+CA

=7+4√2+5

=12+4√2 একক (Ans.)

খ) ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

△ABC এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(-2,0), B(5,0) এবং C(1,4) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
=½	|	-2  5  1  -2  0  0  4   0	|	বর্গ একক
= ½(0+20+0-0-0+8) বর্গ একক
=14 বর্গ একক (Ans.)

২. নিন্মোক্ত প্রতিক্ষেত্রে ABC ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করঃ

ক) A(2,3), B(5,6) এবং C(-1,4)

সমাধানঃ

△ABC এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(2,3), B(5,6) এবং C(-1,4) কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
=½	|	2  5  -1   2 3  6  4   3	|	বর্গ একক
= ½(12+20-3-15+6-8) বর্গ একক
= ½ ✕(38-26) বর্গ একক
= ½ ✕ 12 বর্গ একক
= 6 বর্গ একক (Ans.)

খ) A(5,2), B(1,6) এবং C(-2,-3)

সমাধানঃ

△ABC এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(5,2), B(1,6) এবং C(-2,-3)  কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
=½	|	5  1  -2   5 2  6  -3   2	|	বর্গ একক
= ½(30-3-4-2+12+15) বর্গ একক
= ½ ✕(57-9) বর্গ একক
= ½ ✕ 48 বর্গ একক
= 24 বর্গ একক

৩. দেখাও যে, A(1,1), B(4,4), C(4,8) এবং D(1,5) বিন্দুগুলো একটি সামন্তরিকের শীর্ষ বিন্দু। AC ও BD কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজের মাধ্যমে তিন দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

A(1,1), B(4,4), C(4,8) এবং D(1,5) বিন্দুগুলোকে xy তলে স্থাপন করে একটি সামন্তরিক আঁকা হলোঃ

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(4-1)²+(4-1)²}

=√(3²+3²)

=√(9+9)

=√18

=3√2 একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(4-4)²+(8-4)²}

=√(0²+4²)

=√16

=4 একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(1-4)²+(5-8)²}

=√{(-3)²+(-3)²}

=√(9+9)

=√18

=3√2 একক

AD বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(1-1)²+(5-1)²}

=√(0²+4²)

=√4²

=4 একক

আবার,

কর্ণ AC এর দৈর্ঘ্য

=√{(4-1)²+(8-1)²}

=√(3²+7²)

=√(9+49)

=√58 একক

কর্ণ BD এর দৈর্ঘ্য

=√{(1-4)²+(5-4)²}

=√{(-3)²+1²}

=√(9+1)

=√10 একক

এখানে, AB=DC এবং AD=BC; কিন্তু কর্ণ AC ≠ BD

সুতরাং A,B,C,D বিন্দুগুলো একটি সামন্তরিকের শীর্ষবিন্দু (দেখানো হলো)।

সামন্তরিকের ক্ষেত্রফলঃ

এখনে,

△ABD এর শীর্ষ বিন্দুগুলো A(1,1), B(4,4) এবং D(1,5)  কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABD এর ক্ষেত্রফল
=½	|	1  4  1   1 1  4  5   1	|	বর্গ একক
= ½(4+20+1-4-4-5) বর্গ একক
= ½ ✕(25-13) বর্গ একক
= ½ ✕ 12 বর্গ একক
= 6 বর্গ একক

আবার,

△BCD এর শীর্ষ বিন্দুগুলো B(4,4), C(4,8) এবং D(1,5)  কে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABD এর ক্ষেত্রফল
=½	|	4  4  1   4 4  8  5   4	|	বর্গ একক
= ½(32+20+4-16-8-20) বর্গ একক
= ½ ✕(56-44) বর্গ একক
= ½ ✕ 12 বর্গ একক
= 6 বর্গ একক

অতএব,

ABCD সামন্তরিকের ক্ষেত্রফল

=△ABD এর ক্ষেত্রফল+△BCD এর ক্ষেত্রফল

=6 বর্গ একক + 6 বর্গ একক

=12  বর্গ একক

৪. A(-a,0), B(0,-a), C(a,0) এবং D(0,a) শীর্ষবিশিষ্ট চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ABCD চতুর্ভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো A(-a,0), B(0,-a), C(a,0) এবং D(0,a). এখন, A, B, C, D বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABCD এর ক্ষেত্রফল
=½	|	-a  0  a   0  -a  0 -a  0   a   0	|	বর্গ একক
= ½(a2+0+a2+0-0+a2-0+a2) বর্গ একক
= ½ ✕4a2 বর্গ একক
= 2a2 বর্গ একক

৫. দেখাও যে, A(0,-1), B(-2,3), C(6,7) এবং D(8,3) বিন্দুগুলো একটি আয়তক্ষেত্রের চারটি শীর্ষ। কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য এবং আয়তক্ষেত্রটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, A(0,-1), B(-2,3), C(6,7) এবং D(8,3)

তাহলে,

AB বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(-2-0)²+(3+1)²}

=√(4+16)

=√20 একক

BC বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(6+2)²+(7-3)²}

=√(64+16)

=√80 একক

CD বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(8-6)²+(3-7)²}

=√(4+16)

=√20 একক

AD বাহুর দৈর্ঘ্য

=√{(8-0)²+(3+1)²}

=√(64+16)

=√80 একক

AC কর্ণের দৈর্ঘ্য

=√{(6-0)²+(7+1)²}

=√(36+64)

=√100

=10 একক

BD কর্ণের দৈর্ঘ্য

=√{(8+2)²+(3+3)²}

=√(64+36)

=√100

=10 একক

দেখা যাচ্ছে, AB=CD, BC=AD এবং কর্ণ AC =কর্ণ BD.

অতএব, A, B, C, D বিন্দুগুলো একটি আয়তক্ষেত্রের শীর্ষবিন্দু (দেখানো হলো)

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল

=AB✕BC

=√80✕√20 বর্গ একক

=√1600 বর্গ একক

= 40 বর্গ একক (Ans.)

৬. তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক A(-2,1), B(10,6) এবং C(a,-6)। AB=BC হলে a এর সম্ভাব্য মানসমূহ নির্ণয় কর। a এর মানের সাহায্যে যে ত্রিভুজ গঠিত হয় এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুসমূহ হলোঃ A(-2,1), B(10,6) এবং C(a,-6) 

তাহলে,

AB

=√{(10+2)²+(6-1)²}

=√(12²+25)

=√(144+25)

=√169

=13 একক

এবং

BC

=√{(a-10)²+(-6-6)²}

=√{(a²-2.a.10+10²+(-12)²} [সূত্রমতে]

=√(a²-20a+100+144)

=√(a²-20a+244)

প্রশ্নানুসারে,

13 = √(a²-20a+244)

বা, 169 = a²-20a+244 [বর্গ করে]

বা, a²-20a+244-169 = 0

বা, a²-20a+75 = 0

বা, a²-15a-5a+75 = 0

বা, a(a-15)-5(a-15) = 0

বা, (a-5)(a-15) = 0

বা, a-5 = 0       অথবা, a-15 = 0

বা, a = 5           বা, a = 15

অতএব, a এর সম্ভাব্য মানসমূহঃ 5, 15 (Ans.)

যখন a=5, তখন বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-2  5  10  -2  1  -6   6   1	|	বর্গ একক
= ½ ✕(12+30+10-5+60+12) বর্গ একক
= ½ ✕ (124-5) বর্গ একক
= ½ ✕ 119 বর্গ একক
= 119/2 বর্গ একক
= 59½ বর্গ একক (Ans.)

যখন a=15, তখন বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

△ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-2  15  10  -2  1  -6    6    1	|	বর্গ একক
= ½ ✕(12+90+10-15+60+12) বর্গ একক
= ½ ✕ (184-15) বর্গ একক
= ½ ✕ 169 বর্গ একক
= 169/2 বর্গ একক
= 84½ বর্গ একক (Ans.)

৭. A, B, C তিনটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে A(a,a+1), B(-6,-3) এবং C(5,-1)। AB এর দৈর্ঘ্য AC এর দৈর্ঘ্যের দ্বিগুণ হলে a এর সম্ভাব্য মান এবং ABC ত্রিভুজটির বৈশিষ্ট বর্ণনা কর।

সমাধানঃ

প্রদত্ত স্থানাঙ্ক বিন্দুসমূহঃ A(a,a+1), B(-6,-3) এবং C(5,-1)।

তাহলে,

AB

=√{(-6-a)²+(-3-a-1)²}

=√{(-6-a)²+(-4-a)²}

=√{(-6)²-2.(-6).a+a²+(-4)²-2.(-4).a+a²}

=√(36+12a+a²+16+8a+a²)

=√(2a²+20a+52) একক

AC

=√{(5-a)²+(-1-a-1)²}

=√{(5-a)²+(-2-a)²}

=√{5²-2.5.a+a²+(-2)²-2.(-2).a+a²}

=√(25-10a+a²+4+4a+a²)

=√(2a²-6a+29) একক

প্রশ্নানুসারে,

AB=2AC

বা, √(2a²+20a+52) = 2√(2a²-6a+29)

বা, 2a²+20a+52 = 4(2a²-6a+29) [বর্গ করে]

বা, 2a²+20a+52 = 8a²-24a+116

বা, 2a²+20a+52-8a²+24a-116 = 0

বা, -6a²+44a-64 = 0

বা, 6a²-44a+64 = 0

বা, 2(3a²-22a+32) = 0

বা, 3a²-22a+32 = 0

বা, 3a²-6a-16a+32 = 0

বা, 3a(a-2)-16(a-2) = 0

বা, (a-2)(3a-16) = 0

বা, a-2 = 0       অথবা, 3a-16 = 0

বা, a = 2           বা, 3a = 16

                        বা, a = ¹⁶/₃

অতএব, a এর সম্ভাব্য মান 2 এবং ¹⁶/₃ (Ans.)

এখন,

a=2 হলে,

AB =√(2.2²+20.2+52) একক = √(8+40+52) একক =√100 একক = 10 একক

AC =√(2.2²-6.2+29) একক = √(8-12+29) একক =√25 একক = 5 একক

BC

=√{(5+6)²+(-1+3)²}

=√(121+4)

=√125

=5√5 একক

দেখা যাচ্ছে, AB²+AC² = 10² + 5² = 100+25 = 125 =(5√5)² = BC²

অতএব, পীথাগোরাস এর সূত্র অনুসারে △ABC একটি সমকোণী ত্রিভুজ, BC অতিভুজ এবং ∠BAC সমকোণ।

আবার,

a=¹⁶/₃ হলে,

AB

=√{2.(¹⁶/₃)²+20.(¹⁶/₃)+52) একক

= √(2.(²⁵⁶/₉)+³²⁰/₃+52) একক

=√{^{(512+960+468)}/₉} একক

= √(¹⁹⁴⁰/₉) একক

=^√1940/₃

AC

=√(2.(¹⁶/₃)²-6.(¹⁶/₃)+29) একক

= √(⁵¹²/₉-32+29) একক

=√{^{(512-288+261)}/₉} একক

^= √485/₃ একক

এবং BC = 5√5 একক

যেহেতু, AB ≠ AC ≠ BC সুতরাং ত্রিভুজটি বিষমবাহু ত্রিভুজ।

৮. নিন্মোক্ত চতুর্ভুজসমূহের ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর [পদ্ধতি ২ ব্যবহার কর]:

ক) (0,0), (-2,4), (6,4), (4,1)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,

A(0,0), B(4,1), C(6,4), D(-2,4)

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	0  4  6  -2  0 0  1  4    4  0	|	বর্গ একক
= ½ ✕(0+16+24+0-0-6+8-0) বর্গ একক
= ½ ✕ (48-6) বর্গ একক
= ½ ✕ 42 বর্গ একক
= 21 বর্গ একক (Ans.)

খ) (1,4), (-4,3), (1,-2), (4,0)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,

A(1,4), B(-4,3), C(1,-2), D(4,0)

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	1  -4  1   4  1 4   3  -2  0  4	|	বর্গ একক
= ½ ✕(3+8+0+16+16-3+8-0) বর্গ একক
= ½ ✕ (51-3) বর্গ একক
= ½ ✕ 48 বর্গ একক
= 24 বর্গ একক (Ans.)

গ) (0,1), (-3,-3), (4,3), (5,1)

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলোকে গ্রাফ কাগজে বসিয়ে পাই,

A(-3,-3), B(5,1), C(4,3), D(0,1)

বিন্দু চারটিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	-3  5  4  0  -3 -3  1  3  1  -3	|	বর্গ একক
= ½ ✕(-3+15+4+0+15-4-0+3) বর্গ একক
= ½ ✕ (37-7) বর্গ একক
= ½ ✕ 30 বর্গ একক
= 15 বর্গ একক (Ans.)

৯. দেখাও যে, A(2,-3), B(3,-1), C(2,0), D(-1,1) এবং E(-2,-1) শীর্ষবিশিষ্ট বহুভুজের ক্ষেত্রফল 11 বর্গ একক।

সমাধানঃ

প্রদত্ত বিন্দুগুলো A(2,-3), B(3,-1), C(2,0), D(-1,1) এবং E(-2,-1) শীর্ষবিশিষ্ট বহুভুজটি পঞ্চভুজ ABCDE এর ক্ষেত্রফল।

অতএব, বিন্দুসমূকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,

ABCDE এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	2  3  2  -1  -2 2 -3 -1  0  1  -1 -3	|	বর্গ একক
= ½ ✕(-2+0+2+1+6+9+2-0+2+2) বর্গ একক
= ½ ✕ (24-2) বর্গ একক
= ½ ✕ 22 বর্গ একক
= 11 বর্গ একক (দেখানো হলো)

১০. একটি চতুর্ভুজের চারটি শীর্ষ A(3,4), B(-4,2), C(6,-1) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত। ABCD চতুর্ভুজের ক্ষেত্রফল ত্রিভুজ ABC এর ক্ষেত্রফলের দ্বিগুণ হলে p এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, চতুর্ভুজের  শীর্ষ A(3,4), B(-4,2), C(6,-1) এবং D(p,3) এবং শীর্ষসমূহ ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত।

অতএব, বিন্দুসমূকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,

ABCD এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	3  -4  6  p   3 4    2  -1  3  4	|	বর্গ একক
= ½ ✕(6+4+18+4p+16-12+p-9) বর্গ একক
= ½ ✕ (23+5p) বর্গ একক

আবার, A, B, C ঘড়ির কাঁটার বিপরীতে বিবেচনা করে পাই,

ABC এর ক্ষেত্রফল
= ½	|	3  -4   6    3 4    2  -1   4	|	বর্গ একক
= ½ ✕(6+4+24+16-12+3) বর্গ একক
= ½ ✕ (53-12) বর্গ একক
= 41/2 বর্গ একক

প্রশ্নানুসারে,

½ ✕(23+5p) =2✕ ⁴¹/₂

বা, 23+5p = 41✕2

বা, 5p+23 = 82

বা, 5p = 82-23

বা, 5p =59

বা, p = ⁵⁹/₅ (Ans.)