অনুশীলনী-১০.২
১. (1+2x+x2)3 এর বিস্তৃতিতে-
(i.) পদসংখ্যা 4 (ii.) ২য় পদ 6x (iii.) শেষ পদ x6
নিচের কোনটি সঠিক?
ক) i, ii খ) i, iii গ) ii, iii ঘ) i, ii, iii
উত্তরঃ গ
[এখানে,(1+2x+x2)3 = {(1+x)2}3 = (1+x)6; তাহলে এই রাশির বিস্তৃতিতে পদ সংখ্যা হবে ৭; অর্থাৎ (i) সত্য নয়।
রাশিটির বিস্তৃতিতে ২য় পদ = (61).x1 = 6x অর্থাৎ (ii) নং সঠিক।
রাশিটির বিস্তৃতিতে শেষ পদ = (66).x6 =6.5.4.3.2/1.2.3.4.5.6 .x6 = x6 অর্থাৎ (iii) নং সঠিক।]
(x+1/x)n , যেখানে n জোড় সংখ্যা। এই তথ্য থেকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাও।
২. (r+1) তম পদটি x বর্জিত হলে r এর মান কত?
ক) 0 খ) n/2 গ) n ঘ) 2n
উত্তরঃ খ
[রাশিটি = (x+1/x)n
r+1 তম পদ = nCr .xn-r .x-r = nCr. xn-r-r = nCr .xn-2r
x বর্জিত পদের ক্ষেত্রে n-2r = 0 বা, r = n/2]
৩. n=4 হলে, চতুর্থ পদ কত?
ক) 4 খ) 4x গ) 4/x ঘ) 4/x2
উত্তরঃ ঘ
[n=4 হলে চতুর্থ পদ = 4C3 .x4-3 .x-3 = 4C3 .x4-3-3 =4C3 .x-2 =4.3.2/1.2.3 .x-2 =4x-2=4/x2]
৪. (x+y)5 এর বিস্তৃতিতে দ্বিপদী সহগগুলি হলঃ
ক) 5,10,10,5 খ) 1,5,10,10,5,1
গ) 10,5,5,10 ঘ) 1,2,3,3,2,1
উত্তরঃ খ
[প্যাসকেলের ত্রিভুজ হতে পাই,
অতএব, দ্বিপদী সহগগুলো হলোঃ 1,5,10,10,5,1.]
৫. (1-x)(1+x/2)8 –এর বিস্তৃতিতে x এর সহগ
ক) -1 খ) ½ গ) 3 ঘ) – ½
উত্তরঃ গ
[(1-x)(1+x/2)8
=(1-x)[(80).18.(x/2)0+(81).17.(x/2)1+(82).16.(x/2)2+…….]
=(1-x)[1+4x+7x2+……]
অতএব, x এর সহগ = (1.4)+(-1).1 = 4 – 1 = 3 ]
৬. (x2+1/x2)4 এর বিস্তৃতিতে x মুক্ত পদ কত?
ক) 4 খ) 6 গ) 8 ঘ) 0
উত্তরঃ খ
[(x2+1/x2)4 এর বিস্তৃতিতে সাধারণ পদ Tr+1
=4Cr (x2)4-r (1/x2)r = 4Cr x8-2r x-2r = 4Cr x8-4r
x মুক্ত পদের ক্ষেত্রে, 8-4r = 0 বা, r = 8/4 = 2
অতএব, x মুক্ত পদটি = 4C2 = 4.3/1.2 = 6 ]
৭. (x+4)4 বিস্তৃতির সহগগুলি সাজালে আমরা পাই-
উত্তরঃ খ
৮. নিন্মোক্ত প্রতিটি ক্ষেত্রে বিস্তৃত করঃ
ক) (2+x2)5
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,
(2+x2)5
=25+5C1 25-1 x2 + 5C2 25-2 (x2)2 +5C3 25-3 (x2)3+5C4 25-4 (x2)4+5C5 25-5 (x2)5
=25+5C1 24 x2 + 5C2 23 x4 +5C3 22 x6+5C4 21 x8+5C5 20 x10
=32+80x2+(5.4/1.2).8.x4+(5.4.3/1.2.3).4.x6 +(5.4.3.2/1.2.3.4).2.x8+(5.4.3.2.1/1.2.3.4.5).x10
=32+80x2+80x4+40x6+10x8+x10 (Ans.)
খ) (2-1/2x)6
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,
(2-1/2x)6
=26+6C1 26-1 (-1/2x)1 + 6C2 26-2 (-1/2x)2+6C3 26-3 (-1/2x)3+6C4 26-4 (-1/2x)4+6C5 26-5 (-1/2x)5+6C6 26-6 (-1/2x)6
=26+6C1 25 (-1/2x)1 + 6C2 24 (-1/2x)2+6C3 23 (-1/2x)3+6C4 22 (-1/2x)4+6C5 21 (-1/2x)5+6C6 20 (-1/2x)6
=26+6C1 25 (-1/2x)1 + 6C2 24 (-1/2x)2+6C3 23 (-1/2x)3+6C4 22 (-1/2x)4+6C5 21 (-1/2x)5+6C6 20 (-1/2x)6
=64+6C1 .32 .(-1/2x) + 6C2.16 .(1/4x2)+6C3 .8 .(-1/8x3)+6C4 .4 .(1/16x4)+6C5 .2 .(-1/32x5)+6C6 .1. (1/64x6)
=64-96/x +(6.5/1.2).16 .(1/4x2)+(6.4.3/1.2.3) .8 .(-1/8x3)+(6.5.4.3/1.2.3.4 ).4 .(1/16x4)+(6.5.4.3.2/1.2.3.4.5) .2 .(-1/32x5)+1 .1. (1/64x6)
=64 - 96/x + 60/x2 - 20/x3 + 15/4x4 - 3/8x5+1/64x6 (Ans.)
৯. নিচের বিস্তৃতিগুলোর প্রথম চারটি পদ নির্ণয় কর।
ক) (2+3x)6
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,
(2+3x)6
=26+6c1 26-1 (3x)1 +6c2 26-2 (3x)2 +6c3 26-3 (3x)3 +………
=26+6c1 25 (3x)1 +6c2 24 9x2 +6c3 23 27x3 +………
=64+6. 32. 3x +(6.5/1.2) .16 .9x2 +(6.5.4/1.2.3). 8. 27x3 +………
=64+576x+2160x2+4320x3+…….. (Ans.)
খ) (4-1/2x)5
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে,
(4 - 1/2x)5
=45+5c1 .45-1.(- 1/2x)1 +5c2 45-2 (- 1/2x)2 +5c3 45-3 (- 1/2x)3 +………
=1024+5c1 .44.(- 1/2x) +5c2 .43 (1/4x2) +5c3 .42 (- 1/8x3) +………
=1024+5.256.(- 1/2x) +(5.4/1.2).64 (1/4x2) +(5.4.3/1.2.3) .16 (- 1/8x3) +………
=1024 - 640/x + 160/x2 - 20/x3+…… (Ans.)
১০. (p- ½ x)6 = r-96x+sx2+….. হলে, p, r এবং s এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(p- ½ x)6
=p6+6c1 p6-1 (- ½ x)1 + 6c2 p6-2 (- ½ x)2+……
=p6 + 6.p5 . (- ½ x) + (6.5/1.2) . p4 (x2/4) + ……..
= p6 – 3p5x + 15/4 p4x2 - ……
কিন্তু, (p- ½ x)6 = r-96x+sx2+…..
অতএব,
p6 – 3p5x + 15/4 p4x2 - ……= r-96x+sx2+….. (i)
(i) নং এর উভয় পক্ষ হতে ধ্রুবক পদ সমীকৃত করে পাই,
p6 = r ……..(ii)
(i) নং এর উভয় পক্ষ হতে x এর সহগ সমীকৃত করে পাই,
3p5 = 96
বা, p5 = 32
বা, p5=25
বা, p = 2
(ii) নং এ p=2 বসিয়ে পাই,
r = 64
অতএব,
p=2, r=64 (Ans.)
১১. (1+x/2)8 এর বিস্তৃতির x3 এর সহগ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(1+x/2)8
= 18+8c1 18-1 (x/2)1 + 8c2 18-2 (x/2)2+8c3 18-3 (x/2)3+……..
= 1 + 8 . 1 . x/2 + (8.7/1.2) . 1 . x2/4 + (8.7.6/1.2.3) . 1 . x3/8 + …..
= 1+ 4x + 7x2 + 7 x3 + ……
অতএব, (1+x/2)8 এর বিস্তৃতির x3 এর সহগ 7 (Ans.)
১২. x এর ঘাতের উর্ধবক্রম অনুসারে (2+x/4)6 কে x3 পর্যন্ত বিস্তৃত কর। উহার সাহায্যে (1.9975)6 এর আসন্ন মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(2+x/4)6
=26+6c1 26-1 (x/4)1 + 6c2 26-2 (x/4)2 + 6c3 26-3 (x/4)3 +……
=64+6c1 25 (x/4) + 6c2 24 (x2/16) + 6c3 23 (x3/64) +……
=64+6.32.(x/4) +(6.5/1.2).16. (x2/16) +(6.5.4/1.2.3).8.(x3/64) +……
= 64+48x+15x2+(5/2)x3+……(Ans.)
এখানে,
2+x/4 = 1.9975
বা, x/4 = 1.9975-2
বা, x/4 = -0.0025
বা, x = -0.0025✕4
বা, x= -0.01
এখন x=-0.01 বসিয়ে পাই,
{2+(-0.01)/4}6
=64+48(-0.01)+15.(-0.01)2+(5/2)(-0.01)3+……
=63.5214975…..
=63.5215 [চার দশমিক পর্যন্ত]
অতএব, (1.9975)6 = 63.5215 (Ans.)
১৩. দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে (1.99)5 এর মান চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
(1.99)5
=(2-0.01)5
=25+5c1 25-1 (-0.01)1 + 5c2 25-2 (-0.01)2 +5c3 25-3 (-0.01)3 +5c4 25-4 (-0.01)4 +5c5 25-5 (-0.01)5
[দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে]
=32+5.24.(-0.01) + (5.4/1.2).23.(0.0001) +(5.4.3/1.2.3).22.(-0.000001) +(5.4.3.2/1.2.3.4).2.(0.00000001) +1.20.(-0.0000000001)
=32+5.16.(-0.01) + (5.4/1.2).8.(0.0001) +(5.4.3/1.2.3).4.(-0.000001) +(5.4.3.2/1.2.3.4).2.(0.00000001) +1.1.(-0.0000000001)
=32-0.8+0.008-0.00004+0.0000001-0.0000000001
=31.2079601
=31.2080 [চার দশমিক স্থান পর্যন্ত]
১৪. (1+x/4)n এর বিস্তৃতির তৃতীয় পদের সহগ চতুর্থ পদের সহগের দ্বিগুণ। n এর মান নির্ণয় কর। বিস্তৃতির পদসংখ্যা ও মধ্যপদ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(1+x/4)n
=1n+nc1 (x/4)1 + nc2 (x/4)2 + nc3 (x/4)3 +….
= 1+ ¼ nx + {n(n-1)/1.2}(x/4)2 +{ n(n-1)(n-2)/1.2.3} (x/4)3 +….
= 1+ (¼) nx + (1/32 )n(n-1)x2 + (1/384) n(n-1)(n-2)x3+……
এখানে, তৃতীয় পদের সহগ (1/32 )n(n-1)
এবং চতুর্থ পদের সহগ (1/384) n(n-1)(n-2)
প্রশ্নানুসারে,
2.(1/384) n(n-1)(n-2) = (1/32 )n(n-1)
বা, 2.(1/384)(n-2) = (1/32 ) [উভয় পক্ষকে n(n-1) দ্বারা ভাগ করে]
বা, 2.(1/384)(n-2) = (1/32)
বা, 2.(n-2) = (384/32)
বা, 2.(n-2) = 12
বা, n-2 = 6
বা, n = 6+2
বা, n = 8
যেহেতু, n=8
অতএব, বিস্তৃতির পদসংখ্যা = 8+1 = 9
যেহেতু n=8 সেহেতু বিস্তৃতির মধ্যপদ হবে (8/2+1) = 5 তম পদ।
অতএব,
মধ্যপদ = T5
= T4+1
= nc4 1n-4 (x/4)4
= 8c4 18-4 (x/4)4
= 8c4 14 (x/4)4
= 8c4 (x/4)4
=(8.7.6.5/1.2.3.4)(x/4)4
35
১৫.
ক) (2k-x/2)5 এর বিস্তৃতিতে k3 এর সহগ 720 হলে x এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(2k-x/2)5
=(2k)5+5c1 (2k)5-1 (-x/2)1 + 5c2 (2k)5-2 (-x/2)2 +………..
=(2k)5+5c1 (2k)4 (-x/2)1 + 5c2 (2k)3 (-x/2)2 +………..
=(2k)5+5c1 24 k4 (-x/2)1 + 5c2 23 k3 (-x/2)2 +………..
অতএব, বিস্তৃতিতে k3 এর সহগ = 5c2 23 (-x/2)2
প্রশ্নমতে,
5c2 23 (-x/2)2 = 720
বা, (5.4/1.2).8.(x2/4) = 720
বা, 20x2 = 720
বা, x2 = 720/20
বা, x2 = 36
বা, x = ±6
খ) (x2+k/x)6 এর বিস্তৃতিতে x3 এর সহগ.160 হলে k এর মান. নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দ্বিপদী উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই,
(x2+k/x)6
=(x2)6+6c1 (x2)5 (k/x)1 +6c2 (x2)4 (k/x)2 +6c3 (x2)3 (k/x)3 +……
=x12+6c1 x10 (k/x) +6c2 x8 (k/x)2 +6c3 x6 (k/x)3 +…..
=x12+6c1 x9 k +6c2 x6 k2 +6c3 x3 k3 +…..
অতএব, বিস্তৃতিতে x3 এর সহগ = 6c3 k3
প্রশ্নমতে,
6c3 k3 = 160
বা, (6.5.4/1.2.3) k3 = 160
বা, 20 k3 = 160
বা, k3 = 160/20
বা, k3 = 8
বা, k = 2
১৬. A=(1+x)7 এবং B=(1-x)8
ক) প্যাসকেল এর ত্রিভুজ ব্যবহার করে A এর বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
A=(1+x)7
প্যাসকেলের ত্রিভুজের সাহায্যে A এর বিস্তৃতি
অতএব, A = (1+x)7 = 1+7x+21x2+35x3+35x4+21x5+7x6+x7
খ) B এর বিস্তৃতির চার পদ পর্যন্ত নির্ণয় করে উক্ত ফলাফল ব্যবহার করে (0.99)8 এর চার দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, B=(1-x)8
দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে পাই,
(1-x)8
=1+8c1 (-x)1 +8c2 (-x)2 +8c3 (-x)3 +….
=1-8x+(8.7/1.2).x2 -(8.7.6/1.2.3) .x3 +….
=1-8x+28x2-56x3+……..
এখন, 0.99 = 1-0.01 অর্থাৎ (1-x)8 এর ফলাফলে x=0.01 বসিয়ে (0.99)8 এর মান পাওয়া যায়।
অতএব,
(0.99)8
=(1-0.01)8
=1-8(0.01)+28(0.01)2-56(0.01)3+…….
=1-0.08+0.0028-0.000056+…..
=0.922744+…..
=0.9227 (চার দশমিক স্থান পর্যন্ত)
গ) AB এর বিস্তৃতির x7 এর সহগ নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
দেওয়া আছে, A=(1+x)7 এবং B=(1-x)8
তাহলে,
AB
=(1+x)7(1-x)8
= (1-x2)7(1-x)
=(1-x){1+7c1 (-x2)1+7c2 (-x2)2+7c3 (-x2)3+7c4 (-x2)4+………..} [দ্বিপদী উপপাদ্যের সাহায্যে]
=(1-x){1-7x2+21x4-35x6+35x8+………}
=1-7x2+21x4-35x6+35x8+………-x+7x3-21x5+35x7-35x8+………
যেখানে x7 এর সহগ 35 (Ans.)
১৭. (A+Bx)n একটি বীজগাণিতিক রাশি।
ক) A=1; B=2 এবং n=5 হলে, প্যাসকেল এর ত্রিভুজ ব্যবহার করে রাশিটির বিস্তৃতি নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
A=1, B=2 এবং n=5 হলে প্রদত্ত রাশি = (1+2x)5
প্যাসকেলের ত্রিভুজ ব্যবহার করে (1+2x)5 এর বিস্তৃতি
অতএব,
(1+2x)5
=1+5.(2x)+10.(2x)2+10(2x)3+5(2x)4+(2x)5
=1+10x+40x2+80x3+80x4+32x5 (Ans)
খ) B=3 এবং n=7 হলে রাশিটির বিস্তৃতির x4 এর সহগ 22680 হয়। A এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
B=3 এবং n=7 হলে প্রদত্ত রাশি = (A+3x)7
এখন,
(A+3x)7
=A7+7c1 A7-1 (3x)1 +7c2 A7-2 (3x)2 +7c3 A7-3 (3x)3 +7c4 A7-4 (3x)4 +……….
=A7+7c1 A6 .3x +7c2 A5 9x2 +7c3 A4 27x3 +7c4 A3 .81x4 +……….
বিস্তৃতিটিতে x4 এর সহগ = 7c4 A3 .81
প্রশ্নমতে,
7c4 A3 .81 = 22680
বা, 7c4 A3 = 280
বা, (7.6.5.4/1.2.3.4) A3 = 280
বা, 35A3 = 280
বা, A3 = 8
বা, A3 = 23
বা, A = 2 (Ans.)
গ) A=2 এবং B=1 হলে রাশিটির বিস্তৃতির পঞ্চম ও ষষ্ঠ পদের সহগ সমান হয়। n এর মান নির্ণয় কর।
সমাধানঃ
A=2 এবং B=1 হলে প্রদত্ত রাশি = (2+x)n
তাহলে,
বিস্তৃতির পঞ্চম পদ = T5 = T4+1 = nC4 2n-4 x4
বিস্তৃতির ষষ্ট পদ T6 = T5+1 = nC5 2n-5 x5
শর্তমতে,
nC4 2n-4 = nC5 2n-5
বা, nC4 2n-4 = nC5 2n-5
বা, {n(n-1)(n-2)(n-3)/1.2.3.4} 2n-4 ={n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)/1.2.3.4.5} 2n-5
বা, {1/24} 2n-4 ={(n-4)/120} 2n-5
বা, 120.2n-4 = 24.(n-4)2n-5
বা, 5.2n-4 = (n-4)2n-5
বা, 5.2n-4-n+5 = (n-4)
বা, 5.21 = n-4
বা, n-4 = 10
বা, n = 10+4
বা, n = 14 (Ans.)
১৮. a1, a2, a3, a4 যদি (1+x)n এর বিস্তৃতির চারটি ক্রমিক পদের সহগ হয়ে থাকে তাহলে প্রমাণ কর যে,
a1 a3 2a2
সমাধানঃ
1+x)n = 1+nc1 x1 + nc2 x2 + nc3 x3 + nc4 x4 +…….
অতএব,
r তম পদের সহগ = ncr-1 = a1
r+1 তম পদের সহগ = ncr = a2
r+2 তম পদের সহগ = ncr+1 = a3
r+3 তম পদের সহগ = ncr+2 = a4
এখন,
a2 ncr
a2 n!/r!(n-r)!
a2 n! (r-1)!(n-r+1)!
a2 (r-1)!(n-r+1)!
a2 (r-1)! (n-r+1) (n-r+1-1)!
a2 (r-1)! (n-r+1) (n-r)!
a2 n-r+1
a2 n-r+1
a2 +a1 n-r+1+r
a2 +a1 n+1
a1 r
আবার,
a4 ncr+2
a4 n!/(r+2)!(n-r-2)!
a4 (r+1)!(n-r-1)!
a4 (r+1)!(n-r-1)(n-r-2)!
a4 n-r-1
a4 n-r-1
a4 +a3 n-r-1+r+2
a4 +a3 n+1
a3 r+2
এবং,
a3 ncr+1
a3 n!/(r+1)!(n-r-1)!
a3 r!(n-r)!
a3 r!(n-r) (n-r-1)!
a3 n-r
a3 n-r
a3+a2 n-r+r+1
a3+a2 n+1
a2 r+1
2a2 2r+2
এখন,
LHS
a1 a3
r r+2
[(i) ও (ii) মান বসিয়ে]
r+r+2
2r+2
2a2
=RHS [Proved]
১৯. কোনটি বড় 9950+10050 না 10150?
সমাধানঃ
10150-9950
=(100+1)50-(100-1)50
=(10050+50c1 10049+50c2 10048+……..)-(10050-50c1 10049+50c2 10048-……..)
=10050+50c1 10049+50c2 10048+……..-10050+50c1 10049-50c2 10048+……..
= 50c1 10049+50c3 10047+……..+50c1 10049+50c3 10047+……..
=2(50c1 10049+50c3 10047+……..)
=2(50.10049+50c3 10047+50c5 10045……..)
=2.50.10049+2(50c3 10047+50c5 10045……..)
=100.10049+2(50c3 10047+50c5 10045……..)
=10050+2(50c3 10047+50c5 10045……..) > 10050
অতএব,
10150-9950 > 10050
বা, 10150 > 10050+9950
সুতরাং, 9950+10050 অপেক্ষা 10150 বড়।
0 Comments