9-10 G Math 8.1

 অনুশীলনী-৮.১

১. প্রমাণ কর যে, দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দুর সংযোজক সরলরেখা কেন্দ্রগামী এবং জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABCD বৃত্তে AB ও CD দুইটি সমান্তরাল জ্যা এর মধ্যবিন্দু N ও M। প্রমাণ করতে হবে যে MN কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব।

অঙ্কনঃ
O, N; O, M যোগ করি।
প্রমাণঃ
O বৃত্তের কেন্দ্র এবং AB জ্যা এর মধ্যবিন্দু N
∴ ON⊥AB [বৃত্তের ব্যাস ভিন্ন কোন জ্যা এর মধ্যবিন্দু এবং কেন্দ্রের সংযোজক রেখাংশ ঐ জ্যা এর উপর লম্ব]
একই শর্তে, OM⊥CD
এখন, AB।।CD; ON এবং OM যথাক্রমে AB ও CD এর উপর লম্ব
সুতরাং ON, OM একই সরলরেখায় অবস্থিত।
অর্থাৎ, NM কেন্দ্রগামী এবং AB ও CD জ্যাদ্বয়ের উপর লম্ব (প্রমাণিত)

২. কোনো বৃত্তের AB ও AC জ্যা দুইটি A বিন্দুগামী ব্যাসার্ধের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে। প্রমাণ কর যে, AB=AC।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ABC একটি বৃত্ত। এর OA একটি ব্যাসার্ধ এবং AB ও AC এর দুইটি জ্যা। উৎপন্ন ∠OAB=∠OAC হলে প্রমাণ কর যে, AB=AC.

অঙ্কনঃ
O, B ও O, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
△AOB ও △AOC-এর মধ্যে,
BO=OC [এরা একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
AO সাধারন বাহু
∠OAB=∠OAC [শর্তমতে]
∴△AOB ≅ △AOC
তাহলে, AB=AC (প্রমাণিত)

৩. কোণ বৃত্ত একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো দিয়ে যায়। দেখাও যে, বৃত্তটির কেন্দ্র অতিভুজের মধ্যবিন্দু।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, সমকোণী △ABC এর ∠ABC এক সমকোণ এবং AC অতিভুজ। O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত A, B, C বিন্দু দিয়ে যায়। প্রমাণ করতে হবে যে, O, AC এর মধ্যবিন্দু।

প্রমাণঃ

দেওয়া আছে, ∠ABC=এক সমকোণ
∴∠ABC, O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের অর্ধবৃত্তঃস্থ কোণ হবে। [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ]
∴A, B, C বিন্দুগামী বৃত্তের ব্যাস AC.
সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র O, ব্যাস AC এর উপর অবস্থিত
এবং OA=OC [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ বলে]
∴O, অতিভুজ AC এর মধ্যবিন্দু (প্রমাণিত)

৪. দুইটি সমকেন্দ্রিক বৃত্তের একটির জ্যা AB অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ কর যে, AC=BD।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্রবিশিষ্ট দুইটি বৃত্ত ABF ও CDH। প্রথম বৃত্তের জ্যা AB অপর বৃত্তকে C ও D বিন্দুতে ছেদ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, AC=BD।

অঙ্কনঃ

OE⊥AB আঁকি।
প্রমাণঃ
বৃত্তের কেন্দ্র O এবং O হতে AB বা CD এর উপর OE লম্ব,
তাহলে, বৃত্ত ABF এর ক্ষেত্রে, AE=EB….(i)
এবং, বৃত্ত CDH এর ক্ষেত্রে, CE=ED….(ii) [ বৃত্তের ক্রন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন অন্য কোনো জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]
(i)-(ii) করে পাই,
AE-CE=EB-ED
বা, AC=BD (প্রমাণিত)

৫. বৃত্তের দুইটি সমান জ্যা পরস্পরকে ছেদ করলে দেখাও যে, এদের একটির অংশদ্বয় অপরটির অংশদ্বয়ের সমান।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট ACBD বৃত্তে AB ও CD দুটি সমান জ্যা। তারা পরস্পরকে E বিন্দুতে ছেদ করেছে। প্রমাণ করতে হবে যে, AE=CE এবং ED=EB.

অঙ্কনঃ

কেন্দ্র O থেকে AB ও CD এর উপর OP ও OQ লম্ব আঁকি এবং O, E যোগ করি।
প্রমাণঃ
প্রদত্ত বৃত্তে, OP⊥AB.
∴AP=PB [বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন অন্য জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]
বা,  AP=1/2.AB
একই ভাবে, QD=QC
            বা,  QC=1/2.CD
যেহেতু AB=DC, সেহেতু, QC=AP…..(i)
এখন,
△EQO ও △EPO এর মধ্যে,
OQ=OP [সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমান দূরে অবস্থিত]
OE সাধারন বাহু
∠EQO=∠EPO [অঙ্কন অনুসারে]
∴△EQO ≅ △EPO
∴QE=EP……….(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
OC-QE=AP-EP
বা,  AE=CE
বা,  AB-EB=CD-ED
বা,  -EB=-ED [AB=CD]
বা,  EB=ED
তাহলে,  AE=CE এবং ED=EB (প্রমাণিত)

৬. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তাঁর বিপরীত দিকে দুইটি সমান জ্যা অঙ্কন করলে তারা সমান্তরাল হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, O কেন্দ্রবিশিষ্ট AEBF বৃত্তে AB ব্যাস। AB ব্যাসের প্রান্ত থেকে বিপরীত দিকে অঙ্কিত সমান জ্যাদ্বয় BF ও AE। প্রমাণ করতে হবে যে, BF।।AE.

অঙ্কনঃ

A, F ও B, E যোগ করি।
প্রমাণঃ
△BAF ও △BAE এর মধ্যে,
BF=AE [এরা সমান জ্যা]
AB সাধারণ বাহু
∠AEB=∠BAF=90⁰ [অর্ধবৃত্তস্থ কোণ বলে]
∴△BAF ≅ △BAE
তাহলে, ∠EAB=∠ABF  এবং পরস্পর একান্তর কোণ কারন AB তাদের ছেদক।
সুতরাং, AE।।BF (প্রমাণিত).

৭. দেখাও যে, বৃত্তের দুইটি জ্যা এর মধ্যে বৃহত্তর জ্যাটি ক্ষুদ্রতর জ্যা অপেক্ষা কেন্দ্রের নিকটতম।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABDC বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB ও CD দুটি জ্যা যেখানে AB>CD. OE ও OF যথাক্রমে AB ও CD এর উপর লম্ব যা কেন্দ্র হতে জ্যা এর দূরত্ব নির্দেশ করে। প্রমাণ করতে হবে যে, OE<OF.

অঙ্কনঃ

O, E এবং O, C যোগ করি।
প্রমাণঃ
OE ⊥ AB
AE=EB  [বৃত্তের কেন্দ্র হতে ব্যাস ভিন্ন অন্য জ্যা এর উপর অঙ্কিত লম্ব ঐ জ্যা কে সমদ্বিখন্ডিত করে]
বা,  AE=1/2. AB…..(i)
একই শর্তে,
CF=1/2 CD…..(ii)
প্রশ্নপমতে, AB>CD
তাহলে, AE>CF [(i), (ii) হতে]
            বা, AE²>CF²................(iii)
এখন, △AEO এ
AO²=AE²+EO²………….(iv)
△COF এ
OC²=CF²+OF²…………..(v)
এখন, AO=OC [এরা একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴ (iv) ও (v) হতে,
AE²+EO²= CF²+OF²
বা,  AE²-CF²=OF²-OE²
(iii) হতে, AE²>CF²
বা,  AE²-CF²>০
বা,  OF²-OE²>০
বা,  OF²>OE²
বা,  OF>OE
বা,  OE<OF (প্রমাণিত)

৮. O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে জ্যা PQ=x সেমি এবং OR⊥PR

ক) ∠QOS কোণের পরিমান কত?

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, ∠OQR=30⁰
যেহেতু, OP=OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
∴∠OQP=30⁰=∠OPQ
তাহলে, বহিঃস্থ ∠QOS=অন্তঃস্থ ∠OQP+অন্তঃস্থ ∠OPQ
                                =30⁰+30⁰=60⁰
∴∠QOS=60⁰

খ) প্রমাণ কর যে, PS জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ

ব্যাস ভিন্ন যেকোনো একটি জ্যা AB নেই। প্রমাণ করতে হবে যে, PS>AB.
অঙ্কনঃ
O, A; O, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
ABSP বৃত্তে,
OP=OS=OB=OA [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
△AOB এ
OA+OB>AB
বা,  OP+OS>AB
বা,  PS>AB
∴ PS জ্যা বৃত্তটির বৃহত্তম জ্যা (প্রমাণিত)

গ) OR=(x/2-2) সেমি হলে, x এর মান নির্ণয় কর।

সমাধানঃ

দেওয়া আছে, PQ=x সেমি, OR⊥PR এবং OR=(x/2-2)
এখন,
OP=OQ [একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ]
PR=QR=x/2 সেমি এবং ∠OQR=30⁰

এখন,
tan∠OQP			OR = ----     QR
বা,	tan300		x    --  - 2    2 =------     x     --     2
বা,	1 -- √3	=	x --  - 2 2 ------    x    --    2
বা,	1 -- √3	=	x-4 --  2	✕	2 -- x
বা,	√3x-4√3=x
বা,	√3x-x=4√3
বা,	x(√3-1)=4√3
বা,	x	=	4√3 ------ (√3-1)
বা,	x	=	4√3(√3+1) ------------- (√3)2-12
বা,	x	=	4√3(√3+1) -------------       3-1
বা,	x	=	4√3(√3+1) -------------       2
বা,	x	=	2√3(√3+1)
বা,	x	=	6+2√3

৯. প্রমাণ কর যে, দুইটি বিন্দুর সংযোজক রেখাংশ তাঁর একই পাশে অপর দুই বিন্দুতে সমান কোণ উৎপন্ন করলে, বিন্দু চারটি সমবৃত্ত হবে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, A ও B দুইটি ভিন্ন বিন্দু এবং AB রেখাংশের একই পাশে অবস্থিত C ও D বিন্দুতে উৎপন্ন ∠ACB ও ∠ADB  সমান। প্রমাণ করতে হবে যে, A, B, C, D সমবৃত্ত।

অঙ্কনঃ
A, B, C বিন্দু দিয়ে একটি বৃত্ত অঙ্কন করি। মনে করি, বৃত্তটি AD রেখাংশকে E বিন্দুতে ছেদ করে। E, B যোগ করি।
প্রমাণঃ
অঙ্কন অনুসারে, A, B, E, C বিন্দু চারটি সমবৃত্ত।
∴∠ACB=∠AEB [বৃত্তের একই চাপের ওপর দন্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ পরস্পর সমান]
কিন্তু ∴∠ACB=∠ADB [দেওয়া আছে]
∴∠AEB=∠ADB
কিন্তু তা অসম্ভব। কারন,
চিত্র ১ এ, △BED এর বহিঃস্থ ∠AEB > বিপরীত অন্তঃস্থ ∠ADB
এবং চিত্র ২ এ, △BED এর বহিঃস্থ ∠ADB > বিপরীত অন্তঃস্থ ∠AEB
সুতরাং E এবং D বিন্দুদ্বয় ভিন্ন হতে পারে না; E বিন্দু অবশ্যই D বিন্দুর সাথে মিলে যাবে।
অতএব, A, B, C, D বিন্দু চারটি সমবৃত্ত (প্রমাণিত)

১০. প্রমাণ কর যে, বৃত্তের সমান সমান জ্যা এর মধ্যবিন্দুগুলো সমবৃত্ত।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ABEFDC বৃত্তের কেন্দ্র O. AB, CD ও EF বৃত্তের সমান সমান তিনটি জ্যা যাদের মধ্যবিন্দুগুলো হলো M, N, P. প্রমাণ করতে হবে যে, M, N, P সমবৃত্ত।

অঙ্কনঃ

O, M; O, N; O, P যোগ করি।
প্রমাণঃ
M, AB এর মধ্যবিন্দু
তাহলে, OM হলো AB এর লম্ব দূরত্ব বা O থেকে AB এর দূরত্ব OM.
তাহলে,
O থেকে CD এর দূরত্ব ON.
O থেকে EF এর দূরত্ব OP.
এখন, সমান সমান জ্যা কেন্দ্র থেকে সমদূরবর্তী।
জ্যা AB=জ্যা CD=জ্যা EF [দেওয়া আছে]
∴OM=ON=OP
অতএব, M, N, P সমবৃত্ত।
সুতরাং জ্যাগুলোর মধ্যবিন্দু কেন্দ্র হতে সমান দূরে অবস্থিত (প্রমাণিত)।

১১. দেখাও যে, ব্যাসের দুই প্রান্ত থেকে তাঁর বিপরীত দিকে দুইটি সমান্তরাল জ্যা আঁকলে তারা সমান হয়।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, AEBF বৃত্তের কেন্দ্র O এবং AB ব্যাস এর A ও B প্রান্ত হতে বিপরীত দিকে অঙ্কিত জ্যা AE ও BF পরস্পর সমান্তরাল। প্রমাণ করতে হবে যে, AE=FB.

অঙ্কনঃ

 A, F; B, E যোগ করি।
প্রমাণঃ
AB বৃত্তের ব্যাস
∴∠BFA=এক সমকোণ এবং ∠BEA=এক সমকোণ [কোণদ্বয় অর্ধবৃত্তস্থ বলে]
△ABF ও △ABE এর মধ্যে
∠BFA=∠BEA
∠ABF=∠BAE [FB।।AE এবং AB তাদের ছেদক]
AB সাধারণ বাহু।
∴△ABF ≅ △ABE
অতএব, FB=AE (প্রমাণিত)

১২. প্রমাণ কর যে, কোনো বৃত্তের দুইটি জ্যা পরস্পরকে সমদ্বিখন্ডিত করলে এদের ছেদবিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হবে।

সমাধানঃ

বিশেষ নির্বচনঃ
মনে করি, ADBC বৃত্তে দুইটি জ্যা AB ও DC পরস্পরকে E বিন্দুতে সমদ্বিখন্ডিত করে অর্থাৎ AE=EB এবং DE=EC. প্রমাণ করতে হবে যে, E বৃত্তটির কেন্দ্র।

অঙ্কণঃ

মনে করি, বৃত্তটির কেন্দ্র O; O, E যোগ করি।
প্রমাণঃ
জ্যা AB এর মধ্যবিন্দু E; তাহলে OE, AB এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।
∴∠OEA=90⁰
আবার, জ্যা DC এর মধ্যবিন্দু E; তাহলে OE, DC এর লম্ব সমদ্বিখন্ডক।
∴∠OEC=90⁰
যেহেতু, AB ও CD পরস্পরছেদী সরলরেখা সেহেতু ∠OEA ও ∠OEC উভয়ই এক সমকো হতে পারে না। সুতরাং E ব্যাতিত অন্য কোন বিন্দু বৃত্তটির কেন্দ্র হতে পারে না।
∴E বিন্দুটি ACBD বৃত্তের কেন্দ্র (প্রমাণিত)।