9-10 G Math 12.3

 অনুশীলনী-১২.৩

লেখচিত্রের মধ্যমে সমাধান করঃ

১.

3x+4y=14

4x-3y=2

সমাধানঃ

3x+4y=14……..(i)
4x-3y=2………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
4y=14-3x
বা, y=(14-3x)/4
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	2	6
y	5	2	-1

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,5), (2,2), (6,-1)

এবং (ii) নং হতে পাই,-3y=2-4x
বা, 3y=4x-2
বা, y=(4x-2)/3
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-4	2	5
y	-6	2	6

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-4,-6), (2,2), (5,6)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-2,5), (2,2), (6,-1) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-4,-6), (2,2), (5,6) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (2,2)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(2,2)

২.

2x-y=1

5x+y=13

সমাধানঃ

2x-y=1……..(i)
5x+y=13………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
-y=1-2x
বা, y=2x-1
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	0	2
y	-5	-1	3

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,-5), (0,-1), (2,3)

এবং (ii) নং হতে পাই,
y=13-5x
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	0	2	4
y	13	3	-7

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (0,13), (2,3), (4,-7)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-2,-5), (0,-1), (2,3) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (0,13), (2,3), (4,-7) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (2,3)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(2,3)

৩.

2x+5y=1

x+3y=2

সমাধানঃ

2x+5y=1……..(i)
x+3y=2………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
5y=1-2x
বা, y=(1-2x)/5
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-7	-2	3
y	3	1	-1

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-7,3), (-2,1), (3,-1)

এবং (ii) নং হতে পাই,
3y=2-x
বা, y=(2-x)/3
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-7	-1	5
y	3	1	-1

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-7,3), (-1,1), (5,-1)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু (-7,3), (-2,1), (3,-1) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-7,3), (-1,1), (5,-1) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (-7,3)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(-7,3)

৪.

3x-2y=2

5x-3y=5

সমাধানঃ

3x-2y=2……..(i)
5x-3y=5………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
-2y=2-3x
বা, y=(3x-2)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	4	2
y	-4	5	2

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,-4), (2,2), (4,5)

এবং (ii) নং হতে পাই,
-3y=5-5x
বা, 3y=5x-5
বা, y=(5x-5)/3
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-5	4	7
y	-10	5	10

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-5,-10), (4,5), (7,10)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-2,-4), (2,2), (4,5) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-5,-10), (4,5), (7,10) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (4,5)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,5)

৫.

x/2+y/3=2

2x+3y=13

সমাধানঃ

x/2+y/3=2……..(i)
2x+3y=13………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
y/3=2-x/2
বা, y/3=(4-x)/2
বা, y=(12-3x)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	0	2
y	9	6	3

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,9), (0,6), (2,3)

এবং (ii) নং হতে পাই,
3y=13-2x
বা, y=(13-2x)/3
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-4	2	5
y	7	3	1

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-4,7), (2,3), (5,1)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-2,9), (0,6), (2,3) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-4,7), (2,3), (5,1) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (2,3)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(2,3)

৬.

3x+y=6

5x+3y=12

সমাধানঃ

3x+y=6……..(i)
5x+3y=12………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
y=6-3x
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-1	0	3
y	9	6	-3

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-1,9), (0,6), (3,-3)

এবং (ii) নং হতে পাই,
3y=12-5x
বা, y=(12-5x)/3
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-3	0	3
y	9	4	-1

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-3,9), (0,4), (3,-1)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-1,9), (0,6), (3,-3) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-3,9), (0,4), (3,-1) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (3/2,3/2)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(3/2,3/2)

৭.

3x+2y=4

3x-4y=1

সমাধানঃ

3x+2y=4……..(i)
3x-4y=1………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
2y=4-3x
বা, y=(4-3x)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	0	4
y	5	2	-4

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,5), (0,2), (4,-4)

এবং (ii) নং হতে পাই,
-4y=1-3x
বা, 4y=3x-1
বা, y=(3x-1)/4
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-5	3	7
y	-4	2	5

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-5,-4), (3,2), (7,5)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-2,5), (0,2), (4,-4) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-5,-4), (3,2), (7,5) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (1,1/2)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(1,1/2)

৮.

x/2+y/3=3

x+y/6=3

সমাধানঃ

x/2+y/3=3……..(i)
x+y/3=3………..(ii)
(i) নং হতে পাই,
y/3=3-x/2
বা, y/3=(6-x)/2
বা, y=(18-3x)/2
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	0	2
y	12	9	6

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,12), (0,9), (2,6)

এবং (ii) নং হতে পাই,
y/6=3-x
বা, y=18-6x
সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	1	2	3
y	12	6	0

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (1,12), (2,6), (3,0)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-2,12), (0,9), (2,6) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (1,12), (2,6), (3,0) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (2,6)।

∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(2,6)

৯.

3x+3=x-2

সমাধানঃ

ধরি, y=3x+3……..(i)
y=x-2………..(ii)
(i) নং সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-3	-2	0
y	-7	-4	2

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-3,-7), (-2,-4), (0,2)

এবং (ii) নং সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	-2	0	2
y	-4	-2	0

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (-2,-4), (0,-2), (2,0)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (-3,-7), (-2,-4), (0,2) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (-2,-4), (0,-2), (2,0) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (-2,-4)।

ছেদবিন্দুর ভুজ -2, যা প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান।
∴নির্ণেয় সমাধানঃ x=2

১০.

3x-7=3-2x

সমাধানঃ

ধরি,
y=3x-7……..(i)
y=3-2x ………..(ii)
(i) নং সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	1	2	3
y	-4	-1	2

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (1,-4), (2,-1), (3,2)

এবং (ii) নং সমীকরণটিতে x এর কয়েকটি মানের জন্য y এর মান নির্ণয় করিঃ

x	0	2	3
y	3	-1	-3

অতএব, সমীকরণটির লেখের উপর প্রাপ্ত তিনটি বিন্দু (0,3), (2,-1), (3,-1)

এখন, ছক কাগজের X’OX ও YOY’ কে x অক্ষ ও y অক্ষ এবং O মূলবিন্দু ধরি।ছক কাগজের উভয় অক্ষ বরাবর ক্ষুদ্রতম বর্গের প্রতি বাহুর দৈর্ঘ্যকে একক ধরে (i) নং থেকে প্রাপ্ত বিন্দু  (1,-4), (2,-1), (3,2) কে ছক কাগজে স্থাপন করে সংযুক্ত করি ও উভয় দিকে বর্ধিত করি। তাহলে লেখটি  হবে সরলরেখা।
একইভাবে, (ii) নং হতে প্রাপ্ত বিন্দু (0,3), (2,-1), (3,-1) কে স্থাপন ও সংযুক্ত করে বর্ধিত করি। তাহলে, লেখটি হবে সরলরেখা।

মনে করি, সরল রেখাদ্বয় পরস্পর P বিন্দুতে ছেদ করে। লেখচিয়রে দেখা যায় P বিন্দুর স্থানাং (2,-1)।

ছেদবিন্দুর ভুজ 2, যা প্রদত্ত সমীকরণের সমাধান।
∴নির্ণেয় সমাধানঃ x=2