অনুশীলনী-১২.২
প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১-৩):
১.
সমাধানঃ
7x-3y=31………..(i)
9x-5y=41………..(ii)
(i) নং হতে,
7x=31+3y
31+3y
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
9(31+3y)
279+27y
279+27y-35y
বা, 279-8y=287
বা, -8y=287-279
বা, -8y=8
বা, y=8/-8
বা, y=-1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
31+3(-1)
31-3
28
=4
∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)
২. | x -- 2 | + | y -- 3 | = | 1 | |
x -- 3 | + | y -- 2 | = | 1 | ||
সমাধানঃ | ||||||
x -- 2 | + | y -- 3 | = | 1 | ….(i) | |
x -- 3 | + | y -- 2 | = | 1 | …..(ii) | |
(i) নং হতে পাই, | ||||||
x -- 2 | + | y -- 3 | = | 1 | ||
বা, | 3x+2y ---------- 6 | = | 1 | |||
বা, | 3x+2y = 6 | |||||
3x = 6-2y | ||||||
বা, | x | = | 6-2y ------- 3 | ….(iii) | ||
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, | ||||||
, | 6-2y ------- 3 ------ 3 | + | y -- 2 | = 1 | ||
বা, | 6-2y ------- 9 | + | y -- 2 | = 1 | ||
বা, | 2(6-2y)+9y ------------- 18 | = | 1 | |||
বা, | 12-4y+9y | = | 18 | |||
বা, | 12+5y | = | 18 | |||
বা, | 5y | = | 18-12 | |||
বা, | 5y | = | 6 | |||
বা, | y | = | 6 -- 5 | |||
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, | ||||||
x | = | 6-2.(6/5) ---------- 3 | ||||
= | 6-(12/5) ---------- 3 | |||||
= | 30-12 ------- 5 ----- 3 | |||||
= | 18 ----- 5 ---- 3 | |||||
= | 18 ---- 15 | |||||
= | 6 --- 5 | |||||
∴নির্ণেয় সমাধানঃ | ||||||
(x,y) | = | (6/5, 6/5) | ||||
৩.
সমাধানঃ
x/a+y/b=2…………(i)
ax+by=a2+b2……….(ii)
(i) নং হতে, | ||||||
x -- a | + | y -- b | = | 2 | ||
বা, | x -- a | = | 2 | - | y -- b | |
বা, | x -- a | = | 2b-y -------- b | |||
বা, | x | = | a(2b-y) ---------- b | |||
বা, | x | = | 2ab-ay ---------- b | ….(iii) | ||
x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই | ||||||
2ab-ay a✕--------- b | + | by | ||||
= | a2 | + b2 | ||||
বা, | 2a2b-a2y --------- b | + | by | |||
= | a2 | + b2 | ||||
বা, | 2a2b-a2y+b2y --------------- b | = | a2+b2 | |||
বা, | 2a2b-a2y+b2y= a2b+b3 | |||||
বা, | -a2y+b2y= a2b+b3-2a2b | |||||
বা, | -a2y+b2y= b3-a2b | |||||
বা, | y(b2-a2)=b(b2-a2) | |||||
বা, | y=b | |||||
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, | ||||||
x | = | 2ab-ab ---------- b | ||||
বা | x | = | ab -- b | |||
বা | x | = | a | |||
∴নির্ণেয় সমাধানঃ | (x,y)=(a,b) | |||||
অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৪-৬):
৪.
সমাধানঃ
7x-3y=31………(i)
9x-5y=41……….(ii)
(i) নং কে 5 দ্বারা ও (ii) কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,
35x-15y=155
27x-15y=123
বা, x=32/8
বা, x=4
(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
7✕4-3y=31
বা, 28-3y=31
বা, -3y=31-28
বা, -3y=3
বা, y=3/-3
বা, y=-1
∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(4,-1)
৫.
সমাধানঃ
7x-8y=-9……….(i)
5x-4y=-3………..(ii)
(i) নং কে 4 দ্বারা ও (ii) কে 8 দ্বারা গুণ করে পাই,
28x-32y=-36
40x-32y=-24
বা, 12x=12
বা, x=12/12
বা, x=1
(i) নং এ x এর মান বসিয়ে পাই,
7x-8y=-9
বা, 7✕1-8y=-9
বা, 7-8y=-9
বা, -8y=-9-7
বা, -8y=-16
বা, 8y=16
বা, y=16/8
বা, y=2
∴নির্ণেয় সমাধানঃ (x,y)=(1,2)
৬.
সমাধানঃ
ax+by=c
বা, abx+b2y=bc……(i) [b দ্বারা গুণ করে]
এবং
a2x+b2y=c2………(ii)
(i)-(ii) করে পাই,
abx-a2x=bc-c2
বা, ax(b-a)=c(b-c)
c(b-c)
c(b-c)
এখন (i) নং সমীকরণে x এর মান বসিয়ে,
c(b-c)
c(b-c)
c(b-c)
c(b-a)-c(b-c)
c(b-a-b+c)
c(c-a)
c(c-a)
∴নির্ণেয় সমাধানঃ
c(b-c) c(c-a)
আড়্গুণন পদ্ধতিতে সমাধান কর (৭-১৫):
৭.
সমাধানঃ
2x+3y+5=0………..(i)
4x+7y+6=0………..(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x ----------- 3✕6-7✕5 | = | y ---------- 5✕4-6✕2 | |||
= | 1 ---------- 2✕7-4✕3 | ||||
বা, | x y 1 --------=---------=--------- 18-35 20-12 14-12 | ||||
বা, | x -- -17 | = | y -- 8 | = | 1 -- 2 |
বা, | x -- -17 | = | 1 -- 2 | ||
বা, | 2x | = | -17 | ||
বা, | x | = | -17 -- 2 | ||
এবং | |||||
বা, | y -- 8 | = | 1 -- 2 | ||
বা, | 2y | = | 8 | ||
বা, | y | = | 8 -- 2 | ||
বা, | y | = | 4 | ||
∴ | (x,y)=(-17/2, 4) | ||||
৮.
সমাধানঃ
3x-5y+9=0………(i)
5x-3y-1=0………….(ii)
(i) ও (ii) নং সমীকরণে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
x 1
বা, 16x=32
বা, x=32/16
বা, x=2
এবং,
y 1
বা, 16y=48
বা, y=48/16
বা, y=3
∴ (x,y)=(2,3)
৯.
সমাধানঃ
x+2y=7…………(i)
2x-3y=0…………(ii)
সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
x+2y-7=0
2x-3y-0=0
এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
x 1
বা, -7x=-21
বা, x=21/7
বা, x=3
এবং,
y 1
বা, -7y=-14
বা, y=-14/-7
বা, y=2
∴ (x,y)=(3,2)
১০.
সমাধানঃ
4x+3y=-12…….(i)
2x=5………(ii)
সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
4x+3y+12=0
2x+0y-5=0
এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
x 1
বা, -6x=-15
বা, x=-15/-6
বা, x=5/3
এবং,
y 1
বা, -6y=44
বা, y=44/-6
বা, y=-22/3
∴ (x,y)=(5/2,-22/3)
১১.
সমাধানঃ
-7x+8y=9…….(i)
5x-4y=-3………(ii)
সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
-7x+8y-9=0
5x-4y+3=0
এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
x 1
বা, -12x=-12
বা, x=-12/-12
বা, x=1
এবং,
y 1
বা, -12y=-24
বা, y=-24/-12
বা, y=-2
∴ (x,y)=(1,2)
১২.
সমাধানঃ
3x-y-7=0…..(i)
2x+y-3=0…..(ii)
সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
x 1
বা, 5x=10
বা, x=10/5
বা, x=2
এবং,
y 1
বা, 5y=-5
বা, y=-5/5
বা, y=-1
∴ (x,y)=(2,-1)
১৩.
সমাধানঃ
ax+by=a2+b2……(i)
2bx-ay=ab……….(ii)
সমীকরণদ্বয়কে পক্ষান্তর করে পাই,
ax+by-(a2+b2)=0
2bx-ay-ab=0
এবং পক্ষান্তরকৃত সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x
y
1
x y
1
x y 1
x y 1
x y 1
x 1
বা, 5x=10
বা, x=a
এবং,
y 1
বা, y=b
∴ (x,y)=(a,b)
১৪.
সমাধানঃ
y(3+x)=x(6+y)………..(i)
3(3+x)=5(y-1)………….(ii)
(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
3y+xy=6x+xy
বা, 6x+xy-3y-xy=0
বা, 6x-3y+0=0………….(iii)
(ii) নং সমীকরণ হতে পাই,
9+3x=5y-5
বা, 3x-5y+9+5=0
বা, 3x-5y+14=0……….(iv)
(iii), (iv) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y
1
x y 1
x y 1
x 1
-42 -21
বা, -21x=-42
বা, x=-42/-21
বা, x=2
এবং,
y 1
বা, -21y=-84
বা, y=-84/-21
বা, y=4
∴ (x,y)=(2,4)
১৫.
সমাধানঃ
(x+2)(y-3)=y(x-1)…..(i)
5x-11y-8=0……….(ii)
(i) নং সমীকরণ হতে পাই,
(x+2)(y-3)=y(x-1)
বা, xy+2y-3x-6=xy-y
বা, xy+2y-3x-6-xy+y=0
বা, 3x-3y+6=0
বা, x-y+2=0……….(iii)
(ii), (iii) সমীকরণদ্বয়ে আড়গুণ পদ্ধতি প্রয়োগ করে পাই,
x y 1
x y 1
x 1
বা, 6x=-30
বা, x=-30/6
বা, x=-5
এবং,
y 1
বা, 6y=-18
বা, 6y=-18/6
বা, y=-3
∴ (x,y)=(-5,-3)
0 Comments