অনুশীলনী-৬.১
(ক) প্রতিস্থাপন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১-১২):
১.
x+y=4
x-y=2
সমাধানঃ
x+y=4………(i)
x-y=2………..(ii)
(ii) হতে পাই,
x=2+y…….(iii)
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2+y+y=4
বা, 2+2y=4
বা, 2(1+y)=4
বা, 1+y=4/2
বা, 1+y=2
বা, y=2-1
বা, y=1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=2+1
বা, x=3
∴ (x,y)=(3,1)
২.
2x+y=5
x-y=1
সমাধানঃ
2x+y=5…….(i)
x-y=1…….(ii)
(ii) হতে পাই,
x=1+y…….(iii)
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2(1+y)+y=5
বা, 2+2y+y=5
বা, 2+3y=5
বা, 3y=5-2
বা, 3y=3
বা, y=3/3
বা, y=1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=1+1
বা, x=2
∴ (x,y)=(2,1)
৩.
3x+2y=10
x-y=0
সমাধানঃ
3x+2y=10……(i)
x-y=0……….(ii)
(ii) হতে পাই,
x=y…….(iii)
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
3y+2y=10
বা, 5y=10
বা, y=10/5
বা, y=2
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
x=2
∴ (x,y)=(2,2)
৪. | x - a | + | y - b | = | 1 - a | + | 1 - b | ||
x - a | - | y - b | = | 1 - a | - | 1 - b | |||
সমাধানঃ | |||||||||
x - a | + | y - b | = | 1 - a | + | 1 - b | …..(i) | ||
x - a | - | y - b | = | 1 - a | - | 1 - b | …..(ii) | ||
(ii) হতে পাই, | |||||||||
x - a | = | y - b | + | 1 - a | - | 1 - b | …..(iii) | ||
এখন, | x - a | এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, | |||||||
y - b | + | 1 - a | - | 1 - b | + | y - b | |||
= | 1 - a | + | 1 - b | ||||||
বা, | y - b | + | y - b | = | 1 - b | + | 1 - b | ||
বা, | 2y --- b | = | 2 --- b | ||||||
বা, | 2y=2 | ||||||||
বা, | y=2/2 | ||||||||
বা, | y=1 | ||||||||
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, | |||||||||
x - a | = | 1 - b | + | 1 - a | - | 1 - b | |||
বা, | x - a | = | 1 - a | ||||||
বা, | x=1 | ||||||||
∴ (x,y)=(1,1) | |||||||||
৫.
3x-2y=0
17x-7y=13
সমাধানঃ
3x-2y=0…………(i)
17x-7y=13……….(ii)
(ii) হতে পাই,
17x=13+7y
13+7y
এখন, x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
13+7y
3(13+7y)-17.2y
বা, 39+21y-34y=0
বা, 39-13y=0
বা, -13y=-39
বা, 13y=39
বা, y=39/13
বা, y=3
এখন y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
3x-2.3=0
বা, 3x-6=0
বা, 3x=6
বা, x=6/3
বা, x=2
∴ (x,y)=(2,3)
৬.
x-y=2a
ax+by=a2+b2
সমাধানঃ
x-y=2a……………..(i)
ax+by=a2+b2…………(ii)
(i) হতে পাই,
x=2a+y…….(iii)
এখন, x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
a(2a+y)+by=a2+b2
বা, 2a2+ay+by-a2-b2=0
বা, a2-b2+ay+by=0
বা, ay+by=b2-a2
বা, y(a+b)=(b-a)(b+a)
বা, y=b-a
এখন y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই
x-(b-a)=2a
বা, x=2a+b-a
বা, x=a+b
∴ (x,y)=(a+b, b-a)
৭.
ax+by=ab
bx+ay=ab
সমাধানঃ
ax+by=ab…….(i)
bx+ay=ab……..(ii)
(i), (ii) হতে পাই,
ax+by=bx+ay
বা, ax-bx=ay-by
বা, x(a-b)=y(a-b)
বা, x=y……………..(iii)
এখন x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
ay+by=ab
বা, y(a+b)=ab
ab
এখন, x=y
∴ (x,y) | = | ( | ab --------, a+b | ab -------- a+b | ) |
৮.
ax-by=ab
bx-ay=ab
সমাধানঃ
ax-by=ab………(i)
bx-ay=ab……….(ii)
(i), (ii) হতে পাই,
ax-by= bx-ay
বা, ax-bx=-ay+by
বা, x(a-b)=-y(a-b)
বা, x=-y……….(iii)
এখন x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a(-y)-by=ab
বা, -ay-by=ab
বা, -y(a+b)=ab
বা, y(a+b)=-ab
-ab
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
ab
∴ (x,y) | = | ( | ab --------, a+b | -ab -------- a+b | ) |
৯.
ax-by=a-b
ax+by=a+b
সমাধানঃ
ax-by=a-b…………(i)
ax+by=a+b……….(ii)
(i) হতে পাই,
ax=a-b-by
a-b-by
এখন x এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই,
a-b+by
বা, a-b+by+by=a+b
বা, 2by=a+b-a+b
বা, 2by=2b
বা, 2y=2
বা, y=2/2
বা, y=1
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই,
a-b-b.1
বা, ax=a-b-b
বা, ax=a
বা, x=a/a
বা, x=1
∴ (x,y)=(1, 1)
১০. | 1 - x | + | 1 - y | = | 5 - 6 | ||
1 - x | - | 1 - y | = | 1 - 6 | |||
সমাধানঃ | |||||||
1 - x | + | 1 - y | = | 5 - 6 | …..(i) | ||
1 - x | - | 1 - y | = | 1 - 6 | …..(ii) | ||
(ii) হতে পাই, | |||||||
1 - x | = | 1 - y | + | 1 - 6 | ……..(iii) | ||
1 - x | এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, | ||||||
1 - y | + | 1 - 6 | + | 1 - y | = | 5 - 6 | |
বা, | 1 - y | + | 1 - y | = | 5 - 6 | - | 1 - 6 |
বা, | 1+1 ------ y | = | 5-1 ------ 6 | ||||
বা, | 2 - y | = | 4 - 6 | ||||
বা, | 4y=12 | ||||||
বা, | y=12/4 | ||||||
বা, | y=3 | ||||||
এখন y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, | |||||||
1 - x | = | 1 - 3 | + | 1 - 6 | |||
বা, | 1 - x | = | 2+1 --------- 6 | ||||
বা, | 1 - x | = | 3 - 6 | ||||
বা, | 3x=6 | ||||||
বা, | x=6/3 | ||||||
বা, | X=2 | ||||||
∴ (x,y)=(2, 3) | |||||||
১১. | x - a | + | y - b | = | 2 - a | + | 1 - b | ||
x - b | - | y - a | = | 2 - b | - | 1 - a | |||
সমাধানঃ | |||||||||
x - a | + | y - b | = | 2 - a | + | 1 - b | ……..(i) | ||
x - b | - | y - a | = | 2 - b | - | 1 - a | …….(ii) | ||
(i) হতে পক্ষান্তর করে পাই, | |||||||||
x - a | - | 2 - a | = | 1 - b | - | y - b | |||
বা, | x-2 ------- a | = | 1-y ------- b | ||||||
বা, | a(1-y)=b(x-2) | ||||||||
বা, | a-ay=bx-2b | ||||||||
বা, | -bx=-2b-a+ay | ||||||||
বা, | bx=2b+a-ay | ||||||||
বা, | x | = | 2b+a-ay -------------……(iii) b | ||||||
বা, | x - b | = | 2b+a-ay ------------- b2 | ||||||
x - b | এর মান (ii) নং এ বসিয়ে পাই, | ||||||||
2b+a-ay ------------------ b2 | - | y - a | = | 2 - b | - | 1 - a | |||
বা, | 2b+a-ay ----------- b2 | = | 2 - b | - | 1 - a | + | y - a | ||
বা, | 2b+a-ay ------------- b2 | = | 2a-b+by -------------- ab | ||||||
বা, | 2b+a-ay ------------- b | = | 2a-b+by -------------- a | ||||||
বা, | b(2a-b+by)=a(2b+a-ay) | ||||||||
বা, | 2ab-b2+b2y=2ab+a2-a2y | ||||||||
বা, | b2y+a2y=2ab+a2-2ab+b2 | ||||||||
বা, | y(b2+a2)=a2+b2 | ||||||||
বা, | y=1 | ||||||||
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, | |||||||||
x | = | 2b+a-a.1 ------------ b | |||||||
বা, | x | = | 2b+a-a ------------ b | ||||||
বা, | x | = | 2b -------- b | ||||||
বা, | x=2 | ||||||||
∴ (x,y)=(2, 1) | |||||||||
১২. | a - x | + | b - y | = | a - 2 | + | b - 3 | ||
a - x | - | b - y | = | a - 2 | - | b - 3 | |||
সমাধানঃ | |||||||||
a - x | + | b - y | = | a - 2 | + | b - 3 | …….(i) | ||
a - x | - | b - y | = | a - 2 | - | b - 3 | …...(ii) | ||
(ii) নং হতে পাই, | |||||||||
a - x | = | b - y | + | a - 2 | - | b - 3 | …….(iii) | ||
a - x | এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, | ||||||||
b - y | + | a - 2 | - | b - 3 | + | b - y | |||
= | a - 2 | + | b - 3 | ||||||
বা, | b - y | + | b - y | = | b - 3 | + | b - 3 | ||
বা, | b+b -------- y | = | b+b -------- 3 | ||||||
বা, | 2b ------- y | = | 2b ------ 3 | ||||||
বা, | y=3 | ||||||||
y এর মান (iii) নং এ বসিয়ে পাই, | |||||||||
a - x | = | b - 3 | + | a - 2 | - | b - 3 | |||
বা, | a - x | = | a - 2 | ||||||
বা, | x=2 | ||||||||
∴ (x,y)=(2, 3) | |||||||||
(খ) অপনয়ন পদ্ধতিতে সমাধান কর (১৩-২৬):
১৩.
x-y=4
x+y=6
সমাধানঃ
x-y=4………(i)
x+y=6………..(ii)
বা, x=10/2
বা, x=5
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
5-y=4
বা, -y=4-5
বা, -y=-1
বা, y=1
∴ (x,y)=(5,1)
১৪.
2x+3y=7
6x-7y=5
সমাধানঃ
2x+3y=7………..(i)
6x-7y=5…………(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
6x+9y=21………..(iii)
6x-7y=5…………(iv)
বা, y=16/16
বা, y=1
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
2x+3.1=7
বা, 2x+3=7
বা, 2x=7-3
বা, 2x=4
বা, x=4/2
বা, x=2
∴ (x,y)=(2,1)
১৫.
4x+3y=15
5x+4y=19
সমাধানঃ
4x+3y=15………..(i)
5x+4y=19…………(ii)
(i) নং কে 4 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,
16x+12y=60
15x+12y=57
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
4.3+3y=15
বা, 12+3y=15
বা, 3y=15-12
বা, 3y=3
বা, y=3/3
বা, y=1
∴ (x,y)=(3,1)
১৬.
3x-2y=5
2x+3y=12
সমাধানঃ
3x-2y=5……………..(i)
2x+3y=12……………..(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই,
9x-6y=15
4x+6y=24
বা, x=39/13
বা, x=3
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
3.3-2y=5
বা, 9-2y=5
বা, -2y=5-9
বা, -2y=-4
বা, 2y=4
বা, y=4/2
বা, y=2
∴ (x,y)=(3,2)
১৭.
4x-3y=-1
3x-2y=0
সমাধানঃ
4x-3y=-1…………..(i)
3x-2y=0……………….(ii)
(i) নং কে 2 দ্বারা ও (ii) নং কে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,
8x-6y=-2
9x-6y=0
বা, x=2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
4.2-3y=-1
বা, 8-3y=-1
বা, -3y=-1-8
বা, -3y=-9
বা, 3y=9
বা, y=9/3
বা, y=3
∴ (x,y)=(2,3)
১৮.
3x-5y=-9
5x-3y=1
সমাধানঃ
3x-5y=-9……….(i)
5x-3y=1………..(ii)
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 5 দ্বারা গুণ করে পাই,
9x-15y=-27
25x-15y=5
বা, 16x=32
বা, x=32/16
বা, x=2
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
3.2-5y=-9
বা, 6-5y=-9
বা, -5y=-9-6
বা, -5y=-15
বা, 5y=15
বা, y=15/5
বা, y=3
∴ (x,y)=(2,3)
১৯. | x - 2 | + | y - 2 | = | 3 |
x - 2 | - | y - 2 | = | 1 | |
সমাধানঃ | |||||
x - 2 | + | y - 2 | = | 3 | |
বা, | x+y ------- 2 | = | 3 | ||
বা, | x+y=6………….(i) | ||||
x - 2 | - | y - 2 | = | 1 | |
বা, | x-y -------- 2 | = | 1 | ||
বা, | x-y=2………....(ii) | ||||
(i)+(ii) করে পাই, | |||||
2x=8 | |||||
বা, x=8/2 | |||||
বা, x=4 | |||||
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, | |||||
4+y=6 | |||||
বা, y=6-4 | |||||
বা, y=2 | |||||
∴ (x,y)=(4,2) | |||||
২০.
x+ay=b
ax-by=c
সমাধানঃ
x+ay=b………..(i)
ax-by=c………..(ii)
(i) নং কে a দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
ax+a2y=ab
ax-by=c
বা, y(a2+b)=ab-c
ab-c
y এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই, |
ab-c
x(a2+b)+a(ab-c)
বা, x(a2+b)+a(ab-c)=b(a2+b)
বা, x(a2+b)= b(a2+b)- a(ab-c)
বা, x(a2+b)= ba2+b2-a2b+ac
বা, x(a2+b)= b2+ac
b2+ac
∴ (x,y)= | ( | b2+ac ---------, a2+b | ab-c ---------- a2+b | ) |
২১. | x - 2 | + | y - 3 | = | 3 | ||
x | - | y - 3 | = | 3 | |||
সমাধানঃ | |||||||
x - 2 | + | y - 3 | = | 3 | …..(i) | ||
x | - | y - 3 | = | 3 | …….(ii) | ||
(i)+(ii) করে পাই, | |||||||
x - 2 | + | x | = | 6 | |||
বা, | x+2x --------- 2 | = | 6 | ||||
বা, | x+2x=12 | ||||||
3x=12 | |||||||
x=12/3 | |||||||
x=4 | |||||||
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই | |||||||
4 - 2 | + | y - 3 | = | 3 | |||
বা, | 12+2y ---------- 6 | = | 3 | ||||
বা, | 12+2y=18 | ||||||
বা, | 2y=18-12 | ||||||
বা, | 2y=6 | ||||||
বা, | y=6/3 | ||||||
বা, | y=3 | ||||||
∴ (x,y)=(4,3) | |||||||
২২. | x - 3 | + | 2 - y | = | 1 | ||
x - 4 | - | 3 - y | = | 3 | |||
সমাধানঃ | |||||||
x - 3 | + | 2 - y | = | 1 | …..(i) | ||
x - 4 | - | 3 - y | = | 3 | ……(ii) | ||
(i) নং কে 3 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই, | |||||||
x | + | 6 - y | = | 3 | |||
x - 2 | - | 6 - y | = | 6 | |||
---------------------------------------------- | |||||||
x | + | x - 2 | = | 9 | [+ করে] | ||
বা, | 2x+x --------- 2 | = | 9 | ||||
বা, | 2x+x=18 | ||||||
বা, | 3x=8 | ||||||
বা, | x=6 | ||||||
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই | |||||||
6 - 3 | + | 2 - y | = | 1 | |||
বা, | 2 | + | 2 - y | = | 1 | ||
বা, | 2 - y | = | 1 | - | 2 | ||
বা, | 2 - y | = | -1 | ||||
বা, | -y=2 | ||||||
বা, | y=-2 | ||||||
∴ (x,y)=(6,-2) | |||||||
২৩. | x - a | + | y - b | = | 2 - a | + | 1 - b | ||
x - b | - | y - a | = | 2 - b | - | 1 - a | |||
সমাধানঃ | |||||||||
x - a | + | y - b | = | 2 - a | + | 1 - b | ….(i) | ||
x - b | - | y - a | = | 2 - b | - | 1 - a | …..(ii) | ||
(i) নং কে b দ্বারা ও (ii) নং কে a দ্বারা গুণ করে পাই, | |||||||||
bx --- a | + | y | = | 2b --- a | + | 1 | |||
ax --- b | - | y | = | 2a --- b | - | 1 | |||
---------------------------------------------- | |||||||||
bx --- a | + | ax --- b | |||||||
= | 2b --- a | + | 2a --- b | ||||||
[+ করে] | |||||||||
বা, | b2x+a2x ------------- ab | = | 2b2+2a2 ------------- ab | ||||||
বা, | b2x+a2x=2b2+2a2 | ||||||||
বা, | x(b2+a2)=2(b2+a2) | ||||||||
বা, | x=2 | ||||||||
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই | |||||||||
2 - a | + | y - b | = | 2 - a | + | 1 - b | |||
বা, | y - b | = | 2 - a | + | 1 - b | - | 2 - a | ||
বা, | y - b | = | 1 - b | ||||||
বা, | y | = | 1 | ||||||
∴ (x,y)=(2,1) | |||||||||
২৪. | a - x | + | b - y | = | a - 2 | + | b - 3 | ||
a - x | - | b - y | = | a - 2 | - | b - 3 | |||
সমাধানঃ | |||||||||
a - x | + | b - y | = | a - 2 | + | b - 3 | …..(i) | ||
a - x | - | b - y | = | a - 2 | - | b - 3 | ……(ii) | ||
------------------------------------------------ | |||||||||
a - x | + | a - x | = | a - 2 | + | a - 2 | [+ করে] | ||
বা, | a+a -------- x | = | a+a -------- 2 | ||||||
বা, | x = 2 | ||||||||
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই | |||||||||
বা, | a - 2 | + | b - y | = | a - 2 | + | b - 3 | ||
বা, | b - y | = | b - 3 | ||||||
বা, | y | = | 3 | ||||||
∴ (x,y)=(2,3) | |||||||||
২৫. | x - 6 | + | 2 - y | = | 2 | ||
x - 4 | - | 1 - y | = | 1 | |||
সমাধানঃ | |||||||
x - 6 | + | 2 - y | = | 2 | …..(i) | ||
x - 4 | - | 1 - y | = | 1 | ……(ii) | ||
(i) নং কে 1 দ্বারা ও (ii) নং কে 2 দ্বারা গুণ করে পাই, | |||||||
x - 6 | + | 2 - y | = | 2 | |||
x - 2 | - | 2 - y | = | 2 | |||
--------------------------------------- | |||||||
x - 6 | + | x - 2 | = | 4 | [+ করে] | ||
বা, | x+3x --------- 6 | = | 4 | ||||
বা, | 4x = 24 | ||||||
বা, | x = 24/4 | ||||||
বা, | x = 6 | ||||||
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই | |||||||
x - 6 | + | 2 - y | = | 2 | |||
বা, | 6 - 6 | + | 2 - y | = | 2 | ||
বা, | 1 | + | 2 - y | = | 2 | ||
বা, | 2 - y | = | 2 | - | 1 | ||
বা, | 2 - y | = | 1 | ||||
বা, | y | = | 2 | ||||
২৬.
x+y=a-b
ax-by=a2+b2
সমাধানঃ
x+y=a-b………….(i)
ax-by=a2+b2………(ii)
(i) নং কে b দ্বারা ও (ii) নং কে 1 দ্বারা গুণ করে পাই,
bx+by=ab-b2
ax-by=a2+b2
বা, x(a+b)=ab+a2
বা, x(a+b)=a(b+a)
বা, x = a
x এর মান (i) নং এ বসিয়ে পাই,
a+y=a-b
বা, y=a-b-a
বা, y=-b
∴ (x,y)=(a,-b)
0 Comments