7 Math 3 (2023-2024)

 

ভগ্নাংশের গসাগু ও লসাগু

গসাগু মানে হলো গরিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক এবং লসাগু মানে হলো লঘিষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক। ধরি, দুইটি সংখ্যা ৬ এবং ১২; তাহলে ৬ এবং ১২ এর গসাগু হলোঃ ৬। এখন ৬ ও ১২ এর গসাগু ৬ কেন হলো?  কারনঃ ৬ এর গুণনীয়কঃ ১, ২, ৩, ৬ এবং ১২ এর গুণনীয়কঃ ১, ২, ৩, ৪, ৬, ১২ অর্থাৎ, ৬ ও ১২ এর গুণনীয়কগুলোর মধ্যে সবচেয়ে বড় সাধারণ (কমন) গুণনীয়ক হলো ৬ যার অর্থ ৬ ও ১২ এর গসাগু ৬। আবার ৬ ও ১২ এর লসাগু হলোঃ ১২ এবং কিন্তু কেন? কারনঃ ৬ এর গুনিতকঃ ৬, ১২, ১৮, ২৪, …… এবং ১২ এর গুণিতক ১২, ২৪, ৪৮,…… যেখানে ৬ ও ১২ এর গুণিতকগুলোর মধ্যে সবচেয়ে ছোট সাধারণ (কমন) গুণিতক হলো ১২ অর্থাৎ এদের লসাগু ১২. এতক্ষন আমরা স্বাভাবিক সংখ্যার গসাগু ও লসাগুর ধারনা বুঝলাম। কিন্তু আমাদের এই অধ্যায়ে আমরা ভগ্নাংশের গসাগু ও লসাগু বিষয়ে জানব। আমরা এই অধ্যায়ের কাজ বা সমস্যার সমাধানের মাধ্যমে সামনে এগিয়ে যাব এবং প্রয়োজনে বিভিন্ন ধারণা নিব।

কাজ: ১৮ এর গুণনীয়কগুলো কি হবে?

সমাধানঃ

১৮ এর গুণনীয়কগুলো হলোঃ ১, ২, ৩, ৬, ৯, ১৮

[শিখনঃ যে সকল পূর্ণসংখ্যা দ্বারা কোন পূর্ণসংখ্যাকে ভাগ করলে সংখ্যাটি নিঃশেষে বিভাজ্য হয় অর্থাৎ কোন ভাগশেষ থাকে না সেই সংগুলো হলো সংখ্যাটির গুণনীয়ক।]

কাজঃ প্রথমে একটি কাগজ নাও। এবার কাগজটিকে সমান দুই ভাগ করে কাটো। তাহলে একটি খণ্ডিত অংশ হবে মূল কাগজের ^১/_২ অংশ। এবার আবার আরও ৩ টি কাগজ নাও এবং সেগুলোকে যথাক্রমে সমান ৩, ৪ ও ৫ খণ্ডে বিভক্ত করো ও নিচের ছকটি পূরণ করো।

সমাধানঃ

ছক ১.১

সমান খন্ডের পরিমাণ	১টি খন্ড মূল কাগজের কত অংশ
২	১ ২
৩	১ ৩
৪	১ ৪
৫	১ ৫

কাজঃ আংশিক পূর্ণ করা আছে। তোমাদের কাজের মাধ্যমে সম্পুর্ণ করো, প্রয়োজনে নিজের খাতায় ছকটি অঙ্কন করে পূরণ করো।

সমাধানঃ

ছক-১.২

ভগ্নাংশ (খন্ডটি মূল কাগজের যত অংশ)	সমান ভাঁজ সংখ্যা	ভাগ প্রক্রিয়া	ভাঁজের পর, প্রাপ্ত ভাগগুলো, মূল কাগজের যত অংশ
১/২	২	১/২÷২	১/৪
	৩	১/২÷৩	১/৬
	৪	১/২÷৪	১/৮
	৫	১/২÷৫	১/১০
	৬	১/২÷৬	১/১২

কাজ: তুমি পূর্বে ছক ১.১ এর জন্য ৩, ৪ ও ৫টি সমান খন্ডে টুকরা করা কাগজগুলো থেকে একটি করে খণ্ড নাও এবং প্রত্যেকটির জন্য, খাতায় ছক ১.২ এর অনুরূপ ছক এঁকে তা সম্পূর্ণ করো।

সমাধানঃ

পূর্বের ছক ১.১ এর জন্য ৩টি সমান খন্ডে টুকরা করা কাগজটির একটি খন্ডের ক্ষেত্রে ছক ১.২ এর অনুরুপ ছক নিন্মিরুপঃ

ভগ্নাংশ (খন্ডটি মূল কাগজের যত অংশ)	সমান ভাঁজ সংখ্যা	ভাগ প্রক্রিয়া	ভাঁজের পর, প্রাপ্ত ভাগগুলো, মূল কাগজের যত অংশ
১/৩	২	১/৩÷২	১/৬
	৩	১/৩÷৩	১/৯
	৪	১/৩÷৪	১/১২
	৫	১/৩÷৫	১/১৫
	৬	১/৩÷৬	১/১৮

পূর্বের ছক ১.১ এর জন্য ৪টি সমান খন্ডে টুকরা করা কাগজটির একটি খন্ডের ক্ষেত্রে ছক ১.২ এর অনুরুপ ছক নিন্মিরুপঃ

ভগ্নাংশ (খন্ডটি মূল কাগজের যত অংশ)	সমান ভাঁজ সংখ্যা	ভাগ প্রক্রিয়া	ভাঁজের পর, প্রাপ্ত ভাগগুলো, মূল কাগজের যত অংশ
১/৪	২	১/৪÷২	১/৮
	৩	১/৪÷৩	১/১২
	৪	১/৪÷৪	১/১৬
	৫	১/৪÷৫	১/২০
	৬	১/৪÷৬	১/২৪

পূর্বের ছক ১.১ এর জন্য ৫টি সমান খন্ডে টুকরা করা কাগজটির একটি খন্ডের ক্ষেত্রে ছক ১.২ এর অনুরুপ ছক নিন্মিরুপঃ

ভগ্নাংশ (খন্ডটি মূল কাগজের যত অংশ)	সমান ভাঁজ সংখ্যা	ভাগ প্রক্রিয়া	ভাঁজের পর, প্রাপ্ত ভাগগুলো, মূল কাগজের যত অংশ
১/৫	২	১/৫÷২	১/১০
	৩	১/৫÷৩	১/১৫
	৪	১/৫÷৪	১/২৫০
	৫	১/৫÷৫	১/২৫
	৬	১/৫÷৬	১/৩০

কাজঃ নিচের ভগ্নাংশগুলোর ১০টি করে গুণনীয়ক নির্ণয় করো। [ছক ১.৩ অনুসারে]

ভগ্নাংশগুলো হলোঃ ^১/_২, ^২/_৩, ^১/_৩, ^৩/_৪, ^১/_৪, ^৪/_৫, ^১/_৫ ও ^৩/_৫.

সমাধানঃ

ছক ১.৩

ভগ্নাংশ	গুণনীয়ক (১০ টি)
১ ২	১ ২	১ ৪	১ ৬	১ ৮	১ ১০	১ ১২	১ ১৪	১ ১৬	১ ১৮	১ ২০
২ ৩	২ ৩	২ ৬	২ ৯	২ ১২	২ ১৫	২ ১৮	২ ২১	২ ২৪	২ ২৭	২ ৩০
১ ৩	১ ৩	১ ৬	১ ৯	১ ১২	১ ১৫	১ ১৮	১ ২১	১ ২৪	১ ২৭	১ ৩০
৩ ৪	৩ ৪	৩ ৮	৩ ১২	৩ ১৬	৩ ২০	৩ ২৪	৩ ২৮	৩ ৩২	৩ ৩৬	৩ ৪০
১ ৪	১ ৪	১ ৮	১ ১২	১ ১৬	১ ২০	১ ২৪	১ ২৮	১ ৩২	১ ৩৬	১ ৪০
৪ ৫	৪ ৫	৪ ১০	৪ ১৫	৪ ২০	৪ ২৫	৪ ৩০	৪ ৩৫	৪ ৪০	৪ ৪৫	৪ ৫০
১ ৫	১ ৫	১ ১০	১ ১৫	১ ২০	১ ২৫	১ ৩০	১ ৩৫	১ ৪০	১ ৪৫	১ ৫০
৩ ৫	৩ ৫	৩ ১০	৩ ১৫	৩ ২০	৩ ২৫	৩ ৩০	৩ ৩৫	৩ ৪০	৩ ৪৫	৩ ৫০

কাজ: তুমি তোমার পছন্দমত ৫ টি সাধারণ ভগ্নাংশ নাও এবং তাদের ১০ টি করে গুণনীয়ক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

আমার পছন্দের ৫টি সাধারণ ভগ্নাংশ নিয়ে তাদের ১০টি করে গুণনীয়ক নিচের সারণিতে দেখানো হলোঃ

ভগ্নাংশ	গুণনীয়ক (১০ টি)
১ ২	১ ২	১ ৪	১ ৬	১ ৮	১ ১০	১ ১২	১ ১৪	১ ১৬	১ ১৮	১ ২০
২ ৫	২ ৫	২ ১০	২ ১৫	২ ২০	২ ২৫	২ ৩০	২ ৩৫	২ ৪০	২ ৪৫	২ ৫০
১ ৩	১ ৩	১ ৬	১ ৯	১ ১২	১ ১৫	১ ১৮	১ ২১	১ ২৪	১ ২৭	১ ৩০
৩ ৪	৩ ৪	৩ ৮	৩ ১২	৩ ১৬	৩ ২০	৩ ২৪	৩ ২৮	৩ ৩২	৩ ৩৬	৩ ৪০
১ ৭	১ ৭	১ ১৪	১ ২১	১ ২৮	১ ৩৫	১ ৪২	১ ৪৯	১ ৫৬	১ ৬৩	১ ৭০

কাজ: ১০ টি করে গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে নিচের ভগ্নাংশগুলোর সাধারণ গুণনীয়কগুলো নির্ণয় করো।

১) ^১/_২ ও ^১/_৩

২) ^১/_৩ ও ^১/_৪

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০

সমাধানঃ

১) ^১/_২ ও ^১/_৩ এর ১০টি করে গুণনীয়কের ছক নিন্মরুপঃ

ভগ্নাংশ	গুণনীয়ক (১০ টি)
১ ২	১ ২	১ ৪	১ ৬	১ ৮	১ ১০	১ ১২	১ ১৪	১ ১৬	১ ১৮	১ ২০
১ ৩	১ ৩	১ ৬	১ ৯	১ ১২	১ ১৫	১ ১৮	১ ২১	১ ২৪	১ ২৭	১ ৩০

প্রদত্ত ছক হতে ^১/_২ ও ^১/_৩ এর সাধারন গুণিনীয়কগুলো হলোঃ ^১/_৬, ^১/_১২, ^১/_১৮

২) ^১/_৩ ও ^১/_৪ এর ১০টি করে গুণনীয়কের ছক নিন্মরুপঃ

ভগ্নাংশ	গুণনীয়ক (১০ টি)
১ ৩	১ ৩	১ ৬	১ ৯	১ ১২	১ ১৫	১ ১৮	১ ২১	১ ২৪	১ ২৭	১ ৩০
১ ৪	১ ৪	১ ৮	১ ১২	১ ১৬	১ ২০	১ ২৪	১ ২৮	১ ৩২	১ ৩৬	১ ৪০

প্রদত্ত ছক হতে ^১/_২ ও ^১/_৩ এর সাধারন গুণিনীয়কগুলো হলোঃ ^১/_১২, ^১/_১৪

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০ এর ১০টি করে গুণনীয়কের ছক নিন্মরুপঃ

ভগ্নাংশ	গুণনীয়ক (১০ টি)
১ ৩	১ ৩	১ ৬	১ ৯	১ ১২	১ ১৫	১ ১৮	১ ২১	১ ২৪	১ ২৭	১ ৩০
১ ১০	১ ১০	১ ২০	১ ৩০	১ ৪০	১ ৫০	১ ৬০	১ ৭০	১ ৮০	১ ৯০	১ ১০০

প্রদত্ত ছক হতে ^১/_২ ও ^১/_৩ এর সাধারন গুণিনীয়কগুলো হলোঃ ^১/_৩০

গ্রিডের সাহায্যে ভগ্নাংশের কোনটি বড় নির্ণয়

কাজঃ

১) গ্রিডের সাহায্যে ^২/_৫ ও ^৪/_৭ এর মাঝে কোনটি বড় সেটি নির্ণয় করো।

২) গ্রিডের সাহায্যে নির্ণয় করো ^১/_২৪ ও ^১/_৪৮ এর মাঝে কোনটি বড়।

সমাধানঃ

১) ^২/_৫ ও ^৪/_৭ এর হর ৫ ও ৭ এর লসাগু ৩৫.

এখন, ৩৫÷৫=৭

অতএব, ^২/_৫ = ^২×৭/_৫×৭ = ^১৪/_৩৫

আবার,

৩৫÷৭=৫

অতএব, ^৪/_৭ = ^৪×৫/_৭×৫ = ^২০/_৩৫

এখন, ^১৪/_৩৫ ও ^২০/_৩৫ এর গ্রিড চিত্র দেখি,

গ্রিড হতে পাই,

২০ > ১৪

বা, ^২০/_৩৫ > ^১৪/_৩৫

বা, ^৪/_৭ > ^২/_৫

অর্থাৎ, ^২/_৫ ও ^৪/_৭ এর মাঝে ^৪/_৭ বড়।

২) ^১/_২৪ ও ^১/_৪৮ এর হর ২৪ ও ৪৮ এর লসাগু ৪৮.

এখন, ৪৮÷২৪=২

অতএব, ^১/_২৪ = ^১×২/_২৪×২ = ^২/_৪৮

এখন, ^২/_৪৮ ও ^১/_৪৮ এর গ্রিড চিত্র দেখি,

গ্রিড হতে পাই,

২ > ১

বা, ^২/_৪৮ > ^১/_৪৮

বা, ^১/_২৪ > ^১/_৪৮

অর্থাৎ, ^১/_২৪ ও ^১/_৪৮ এর মাঝে ^১/_২৪ বড়।

কাজঃ ভগ্নাংশের সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয় করো।

১) ^১/_২ ও ^১/_৩

২) ^১/_৩ ও ^১/_৪

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০

সমাধানঃ

১)

^১/_২ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_২, ^১/_৪, ^১/৬, ^১/_৮ ……….

^১/_৩ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৩, ^১/৬, ^১/_৯, ^১/_১২ ……….

এখন, ^১/_২ ও ^১/_৩ এর গুণনীয়কের তালিকা হতে গরীষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক পাইঃ ^১/_৬

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_৬

২)

^১/_৩ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৩, ^১/_৬, ^১/_৯, ^১/_১২, ^১/_১৫ ……….

^১/_৪ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৪, ^১/_৮, ^১/_১২, ^১/_১৬ ……….

এখন, ^১/_৩ ও ^১/_৪ এর গুণনীয়কের তালিকা হতে গরীষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক পাইঃ ^১/_১২

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_১২

৩)

^১/_৩ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৩, ^১/_৬, ^১/_৯, ^১/_১২, ^১/_১৫, ^১/_১৮, ^১/_২১, ^১/_২৪, ^১/_২৭, ^১/_৩০, ^১/_৩৩, ……….

^১/_১০ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_১০, ^১/_২০, ^১/_৩০, ^১/_৪০ ……….

এখন, ^১/_৩ ও ^১/_১০ এর গুণনীয়কের তালিকা হতে গরীষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক পাইঃ ^১/_৩০

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_৩০

কাজ: ছক ২.৩ এর ন্যায় ^৩/_১১ এর গুণনীয়কগুলো নির্ণয় ও যাচাই করো।

সমাধানঃ

ভগ্নাংশ	পূর্ণসংখ্যা	গুণনীয়ক নির্ণয়ের ভাগ প্রক্রিয়া	লঘিষ্ঠ আকারে গুণনীয়ক
৩ ১১	১	(৩/১১÷১) = ৩/১১	৩ ১১
	২	(৩/১১÷২) = ৩/২২	৩ ২২
	৩	(৩/১১÷৩) = ৩/৩৩	১ ১১
	৪	(৩/১১÷৪) = ৩/৪৪	৩ ৪৪
	৫	(৩/১১÷৫) = ৩/৫৫	৩ ৫৫
	৬	(৩/১১÷৬) = ৩/৬৬	১ ২২
	৭	(৩/১১÷৭) = ৩/৭৭	৩ ৭৭
	৮	(৩/১১÷৮) = ৩/৮৮	৩ ৮৮
	৯	(৩/১১÷৯) = ৩/৯৯	১ ৩৩
	১০	(৩/১১÷১০) = ৩/১১০	৩ ১১০

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়

কাজ: সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে পূর্বে প্রদত্ত সকল ভগ্নাংশের জোড়ার গসাগু নির্ণয় করো। এরপর গসাগুর সাহায্যে ১০ টি করে সাধারণ গুণনীয়ক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

পূর্বে প্রদত্ত ভগ্নাংশের জোড়াগুলো হলোঃ

১) ^১/_৬; ^১/_৮

২) ^১/_২, ^১/_৩

৩) ^১/_৩, ^১/_৪

৪) ^১/_৩, ^১/_১০

৫) ^১/_৪, ^৩/_১১

সমাধানঃ

১) ^১/_৬; ^১/_৮

ভগ্নাংশ দুইটির হর ৬ ও ৮ এর লসাগু = ২৪

এখন, ২৪÷৬ = ৪

অতএব, ^১/_৬ = ^১×৪/_৬×৪ = ^৪/_২৪

এবং,

২৪÷৮ = ৩

অতএব, ^১/_৮ = ^১×৩/_৮×৩ = ^৩/_২৪

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির সমহর বিশিষ্ট রুপঃ ^৪/_২৪, ^৩/_২৪

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটির লব ৪ ও ৩ এর গসাগু = ১.

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির গসাগু = ^১/_২৪

এবং এদের ১০ টি সাধারন গুণনীয়কঃ ^১/_২৪, ^১/_৪৮, ^১/_৭২, ^১/_৯৬, ^১/_১২০, ^১/_১৪৪, ^১/_১৬৮, ^১/_১৯২, ^১/_২১৬, ^১/_২৪০

২) ^১/_২, ^১/_৩

ভগ্নাংশ দুইটির হর ২ ও ৩ এর লসাগু = ৬

এখন, ৬÷২ = ৩

অতএব, ^১/_২ = ^১×৩/_২×৩ = ^৩/_৬

এবং,

৬÷৩ = ২

অতএব, ^১/_৩ = ^১×২/_৩×২ = ^২/_৬

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির সমহর বিশিষ্ট রুপঃ ^৩/_৬, ^২/_৬

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটির লব ৩ ও ৪ এর গসাগু = ১.

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির গসাগু = ^১/_৬

এবং এদের ১০ টি সাধারন গুণনীয়কঃ ^১/_৬, ^১/_১২, ^১/_১৮, ^১/_২৪, ^১/_৩০, ^১/_৩৬, ^১/_৪২, ^১/_৪৮, ^১/_৫৪, ^১/_৬০

৩) ^১/_৩, ^১/_৪

ভগ্নাংশ দুইটির হর ৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২

এখন, ১২÷৩ = ৪

অতএব, ^১/_৩ = ^১×৪/_৩×৪ = ^৪/_১২

এবং,

১২÷৪ = ৩

অতএব, ^১/_৪ = ^১×৩/_৪×৩ = ^৩/_১২

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির সমহর বিশিষ্ট রুপঃ ^৪/_১২, ^৩/_১২

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটির লব ৪ ও ৩ এর গসাগু = ১.

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির গসাগু = ^১/_১২

এবং এদের ১০ টি সাধারন গুণনীয়কঃ ^১/_১২, ^১/_২৪, ^১/_৩৬, ^১/_৪৮, ^১/_৬০, ^১/_৭২, ^১/_৮৪, ^১/_৯৬, ^১/_১০৮, ^১/_১২০

৪) ^১/_৩, ^১/_১০

ভগ্নাংশ দুইটির হর ৩ ও ১০ এর লসাগু = ৩০

এখন, ৩০÷৩ = ১০

অতএব, ^১/_৩ = ^১×১০/_৩×১০ = ^১০/_৩০

এবং,

৩০÷১০ = ৩

অতএব, ^১/_১০ = ^১×৩/_১০×৩ = ^৩/_৩০

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির সমহর বিশিষ্ট রুপঃ ^১০/_৩০, ^৩/_৩০

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটির লব ১০ ও ৩০ এর গসাগু = ১.

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির গসাগু = ^১/_৩০

এবং এদের ১০ টি সাধারন গুণনীয়কঃ ^১/_৩০, ^১/_৬০, ^১/_৯০, ^১/_১২০, ^১/_১৫০, ^১/_১৮০, ^১/_২১০, ^১/_২৪০, ^১/_২৭০, ^১/_৩০০

৫) ^১/_৪, ^৩/_১১

ভগ্নাংশ দুইটির হর ৪ ও ১১ এর লসাগু = ৪৪

এখন, ৪৪÷৪ = ১১

অতএব, ^১/_৪ = ^১×১১/_৪×১১ = ^১১/_৪৪

এবং,

৪৪÷১১ = ৪

অতএব, ^৩/_১১ = ^৩×৪/_১১×৪ = ^১২/_৪৪

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির সমহর বিশিষ্ট রুপঃ ^১১/_৪৪, ^১২/_৪৪

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুইটির লব ১১ ও ১২ এর গসাগু = ১.

তাহলে, ভগ্নাংশ দুইটির গসাগু = ^১/_৪৪

এবং এদের ১০ টি সাধারন গুণনীয়কঃ ^১/_৪৪, ^১/_৮৮, ^১/_১৩২, ^১/_১৭৬, ^১/_২২০, ^১/_২৬৪, ^১/_৩০৮, ^১/_৩৫২, ^১/_৩৯৬, ^১/_৪৪০

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়

কাজ: গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে ভগ্নাংশ দুটির সাধারণ গুণনীয়ক ও গসাগু নির্ণয় করো। উভয় ভগ্নাংশের জন্যেই ন্যুনতম কতটি গুণনীয়ক নির্ণয় করা হলে গসাগু পাওয়া যায়?

সমাধানঃ

এই কাজের জন্য প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুটি হলোঃ ^৩/_৫ ও ^৬/_১৩

^৩/_৫ এর গুণনীয়গুলোঃ ^৩/_৫, ^৩/_১০, ^১/_৫, ^৩/_২০, ^৩/_২৫, ^১/_১০, ^৩/_৩৫, ^৩/_৪০, ^১/_১৫, ^৩/_৫০, ^৩/_৫৫, ^১/_২০, ^৩/_৬৫,…

^৬/_১৩ এর গুণনীয়গুলোঃ ^৬/_১৩, ^৬/_২৬, ^৬/_৩৯, ^৬/_৫২, ^৬/_৬৫, ^১/_১৩, ^৬/_৯১, ^৬/_১০৪, ^৬/_১১৭, ^৩/_৬৫,…..

অর্থাৎ,  ^৩/_৫ ও ^৬/_১৩ এর গুণনীয়কের তালিকা হতে গরীষ্ঠ সাধারণ গুণনীয়ক বা গসাগু পাই ^৩/_৬৫

তাহলে এদের সাধারন গুননীয়কগুলো হলোঃ ^৩/_৬৫, ^৩/_১৩০, ^৩/_১৯৫, ^৩/_২৬০,……

এখন,

আমাদের নির্ণেয় গসাগুটি ^৩/_৫ এর ১৩তম গুণনীয়ক ও ^৬/_১৩ এর ১০তম গুণনীয়ক। অতএব, উভয় ভগ্নাংশের জন্যেই ন্যুন্যতম ১৩টি গুণনীয়ক নির্ণয় করা হলে গসাগু পাওয়া যাবে।

কাজ: গসাগু নির্ণয়ের যেকোনো একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে ৩০ ও ৩৯ এর গসাগু নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

ভাগ প্রক্রিয়ার মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

৩০)৩৯(১
      ৩০
---------------
        ৯)৩০(৩
            ২৭
--------------------
             ৩)৯(৩
                 ৯
      ------------------
                 ০

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ৩

কাজ:

১) গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে এবং সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে নিম্নোক্ত ভগ্নাংশগুলোর গসাগু নির্ণয় করো।

i) ^১/_৫ ও ^৩/_১০

সমাধানঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৫ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৫, ^১/_১০, ……

^৩/_১০ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^৩/_১০, ^৩/_২০, ^১/_১০,…..

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_১০

আবার,

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

প্রকৃত ভগ্নাংশ = ^১/_৫ ও ^৩/_১০

এদের হর ৫ ও ১০ এর লসাগু ১০

১০÷৫ = ২

১০÷১০=১

তাহলে,

^১/_৫ = ^১×২/_৫×২ = ^২/_১০

^৩/_১০ = ^৩×১/_১০×১ = ^৩/_১০

অতএব, ^১/_৫ ও ^৩/_১০ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ রুপঃ ^২/_১০ ও ^৩/_১০

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ২ ও ৩ এর গসাগু ১.

তাহলে, ভগ্নাংশদ্বয়ের গসাগু = ^১/_১০ [সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর গসাগু/সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর]

ii) ^১/_৬ ও ^৫/_৮

সমাধানঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৬ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৬, ^১/_১২, ^১/_১৮, ^১/_২৪,……

^৫/_৮ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^৫/_৮, ^৫/_১৬, ^৫/_২৪, ^৫/_৩২, ^৫/_৪০, ^৫/_৪৮, ^৫/_৫৬, ^৫/_৬৪, ^৫/_৭২, ^৫/_৮০, ^৫/_৮৮, ^৫/_৯৬, ^৫/_১০৪, ^৫/_১১২, ^১/_২৪,…..

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_২৪

আবার,

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

প্রকৃত ভগ্নাংশ = ^১/_৬ ও ^৫/_৮

এদের হর ৬ ও ৮ এর লসাগু ২৪

২৪÷৬ = ৪

২৪÷৮=৩

তাহলে,

^১/_৬ = ^১×৪/_৬×৪ = ^৪/_২৪

^৫/_৮ = ^৫×৩/_৮×৩ = ^১৫/_২৪

অতএব, ^১/_৬ ও ^৫/_৮ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ রুপঃ ^৪/_২৪ ও ^১৫/_২৪

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ৪ ও ১৫ এর গসাগু ১.

তাহলে, ভগ্নাংশদ্বয়ের গসাগু = ^১/_২৪ [সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর গসাগু/সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর]

iii) ^২/_৭ ও ^৬/_৮

সমাধানঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

^২/_৭ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^২/_৭, ^২/_১৪, ^২/_২১, ^২/_২৮, ^২/_৩৫, ^২/_৪২, ^২/_৪৯, ^২/_৫৬, ……

^৬/_৮ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^৬/_৮, ^৬/_১৬, ^৬/_২৪, ^৬/_৩২, ^৬/_৪০, ^৬/_৪৮, ^৬/_৫৬, ^৬/_৬৪, ^৬/_৭২, ^৬/_৮০, ^৬/_৮৮, ^৬/_৯৬, ^৬/_১০৪, ^৬/_১১২, ^৬/_১২০, ^৬/_১২৮, ^৬/_১৩৬, ^৬/_১৪৪, ^৬/_১৫২, ^৬/_১৬০, ^২/_৫৬,……

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^২/_৫৬

আবার,

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

প্রকৃত ভগ্নাংশ = ^২/_৭ ও ^৬/_৮

এদের হর ৭ ও ৮ এর লসাগু ৫৬

৫৬÷৭ = ৮

৫৬÷৮=৭

তাহলে,

^২/_৭ = ^২×৮/_৭×৮ = ^১৬/_৫৬

^৬/_৮ = ^৬×৭/_৮×৭ = ^৪২/_৫৬

অতএব, ^২/_৭ ও ^৬/_৮ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ রুপঃ ^১৬/_৫৬ ও ^৪২/_৫৬

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ১৬ ও ৪২ এর গসাগু ২.

তাহলে, ভগ্নাংশদ্বয়ের গসাগু = ^২/_৫৬ [সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর গসাগু/সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর]

iv) ^১/_৭ ও ^১/_১১

সমাধানঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৭ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৭, ^১/_১৪, ^১/_২১, ^১/_২৮, ^১/_৩৫, ^১/_৪২, ^১/_৪৯, ^১/_৫৬, ^১/_৬৩, ^১/_১০, ^১/_৭৭, ……

^১/_১১ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_১১, ^১/_২২, ^১/_৩৩, ^১/_৪৪, ^১/_৫৫, ^১/_৬৬, ^১/_৭৭,…

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_৭৭

আবার,

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

প্রকৃত ভগ্নাংশ = ^১/_৭ ও ^১/_১১

এদের হর ৭ ও ১১ এর লসাগু ৭৭

৭৭÷৭ = ১১

৭৭÷১১=৭

তাহলে,

^১/_৭ = ^১×১১/_৭×১১ = ^১১/_৭৭

^১/_১১ = ^১×৭/_১১×৭ = ^৭/_৭৭

অতএব, ^১/_৭ ও ^১/_১১ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ রুপঃ ^১১/_৭৭ ও ^৭/_৭৭

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ১১ ও ৭ এর গসাগু ১.

তাহলে, ভগ্নাংশদ্বয়ের গসাগু = ^১/_৭৭ [সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর গসাগু/সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর]

v) ^১/_২, ^১/_৩, ^১/_৪

সমাধানঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_২ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_২, ^১/_৪, ^১/_৬, ^১/_৮, ^১/_১০, ^১/_১২, ……

^১/_৩ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৩, ^১/_৬, ^১/_৯, ^১/_১২, …..

^১/_৪ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৪, ^১/_৮, ^১/_১২, …..

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_১২

আবার,

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

প্রকৃত ভগ্নাংশ = ^১/_২, ^১/_৩, ^১/_৪

এদের হর ২, ৩ ও ৪ এর লসাগু ১২

১২÷২ = ৬

১২÷৩=৪

১২÷৪=৩

তাহলে,

^১/_২ = ^১×৬/_২×৬ = ^৬/_১২

^১/_৩ = ^১×৪/_৩×৪ = ^৪/_১২

^১/_৪ = ^১×৩/_৪×৩ = ^৩/_১২

অতএব, ^১/_২, ^১/_৩, ^১/_৪ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ রুপঃ ^৬/_১২, ^৪/_১২, ^৩/_১২

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ৬, ৪ ও ৩ এর গসাগু ১.

তাহলে, ভগ্নাংশদ্বয়ের গসাগু = ^১/_১২ [সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর গসাগু/সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর]

vi) ^১/_৫, ^৩/_১০ ও ^৭/_১৫

সমাধানঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৫ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^১/_৫, ^১/_১০, ^১/_১৫, ^১/_২০, ^১/_২৫, ^১/_{৩০, …..}

^৩/_১০ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^৩/_১০, ^৩/_২০, ^১/_১০, ^৩/_৪০, ^৩/_৫০, ^১/_২০, ^৩/_৭০, ^৩/_৮০, ^১/_{৩০, …..}

^৭/_১৫ এর গুণনীয়কগুলোঃ ^৭/_১৫, ^৭/_৩০, ^৭/_৪৫, ^৭/_৬০, ^৭/_৭৫, ^৭/_৯০, ^৭/_১০৫, ^৭/_১২০, ^৭/_১৩৫, ^৭/_১৫০, ^৭/_১৬৫, ^৭/_১৮০, ^৭/_১৯৫, ^১/_৩০, _…..

অতএব, নির্ণেয় গসাগুঃ ^১/_৩০

আবার,

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয়ঃ

প্রকৃত ভগ্নাংশ = ^১/_৫, ^৩/_১০ ও ^৭/_১৫

এদের হর ৫, ১০ ও ১৫ এর লসাগু ৩০

৩০÷৫ = ৬

৩০÷১০=৩

৩০÷১৫=২

তাহলে,

^১/_৫ = ^১×৬/_৫×৬ = ^৬/_৩০

^৩/_১০ = ^৩×৩/_১০×৩ = ^৯/_৩০

^৭/_১৫ = ^৭×২/_১৫×২ = ^১৪/_৩০

অতএব, ^১/_৫, ^১/_১০, ^১/_১৫ এর সমহরবিশিষ্ট ভগ্নাংশ রুপঃ ^৬/_৩০, ^৯/_৩০, ^১৪/_৩০

এখন সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশদ্বয়ের লব ৬, ৯ ও ১৪ এর গসাগু ১.

তাহলে, ভগ্নাংশদ্বয়ের গসাগু = ^১/_৩০ [সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের লবগুলোর গসাগু/সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশের হর]

২) ১ নং কাজের প্রতিটি সমস্যায় প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য ন্যুনতম কতটি করে গুণনীয়ক বের করতে হয়েছিল তা লেখো।

সমাধানঃ

i) ^১/_৫ ও ^৩/_১০ এর জন্য যথাক্রমে ন্যুনতম গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হয়েছিল ২ ও ৩ বার।

ii) ^১/_৬ ও ^৫/_৮ এর জন্য যথাক্রমে ন্যুনতম গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হয়েছিল ৪ ও ১৫ বার।

iii) ^২/_৭ ও ^৬/_৮ এর জন্য যথাক্রমে ন্যুনতম গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হয়েছিল ৮ ও ২১ বার।

iv) ^১/_৭ ও ^১/_১১ এর জন্য যথাক্রমে ন্যুনতম গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হয়েছিল ১১ ও ৭ বার।

v) ^১/_২ ও ^১/_৩ ও ^১/_৪ এর জন্য যথাক্রমে ন্যুনতম গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হয়েছিল ৬, ৪ ও ৩ বার।

vi) ^১/_৫,^৩/_১০ ও ^৭/_১৫ এর জন্য যথাক্রমে ন্যুনতম গুণনীয়ক নির্ণয় করতে হয়েছিল ৬, ৯ ও ১৪ বার।

৩) সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর লবের উপাদানগুলোর তুলনা করে কি তুমি ২ নং কাজের সাথে কোন সম্পর্ক নির্ণয় করতে পারো।

সমাধানঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর লবের উপাদানগুলোর তুলনা করে আমি ২ নং কাজের সাথে একটি সম্পর্ক নির্ণয় করতে পেরেছি। আমার নির্ণয় করা সম্পর্কটি হলোঃ

গুণনীয়ক নির্ণয়ের মাধ্যমে গসাগু নির্ণয় করার ক্ষেত্রে প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য নির্ণেয় গুণনীয়ক এর সংখ্যা = (প্রকৃত ভগ্নাংশগুলোকে সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর প্রাপ্ত প্রতিটি লবের মান ÷ প্রাপ্ত লবগুলোর গসাগু)।

সাধারণ ভগ্নাংশের গুণিতক ও লসাগু

মনে করি, একটি কাগজকে সমান দুই ভাগে ভাগ করা হলো। তাহলে, প্রতিটি খন্ড মূল কাগজের ^১/_২ অংশ। এখন পাশাপাশি দুইটি কাগজ এর যোগফল হবেঃ ^১/_২+^১/_২ = ১ যার গুণোত্তর প্রকাশঃ ^১/_২×২ = ১। আবার, তিনটি কাগজের ক্ষেত্রে ^১/_২+^১/_২+^১/_২=^৩/_২ যার গুণোত্তর প্রকাশঃ ^১/_২×৩ = ^৩/_২। এই প্রক্রিয়া হলো সাধারণ ভগ্নাংশের গুণিতক প্রক্রিয়া। অর্থাৎ, একটি ভগ্নাংশের সাথে একটি পূর্ণসংখ্যা গুণ করলে আমরা যে আরেকটি ভগ্নাংশ বা পূর্ণসংখ্যা পাই, সেটিই ওই ভগ্নাংশটির একটি গুণিতক। এবার তাহলে আমরা গুণিতক ও লসাগু সম্পর্কিত কাজ সম্পাদন করি।

শিখনঃ ৪.১ ছক পূরণ করো (সাধারণ ভগ্নাংশের গুণিতক প্রক্রিয়া অনুসারে)।

সমাধানঃ

ছক – ৪.১

টুকরার উপর লিখিত ভগ্নাংশ	পাশাপাশি বসানো টুকরার সংখ্যা	গুণ প্রক্রিয়া	মূল কাগজের যত অংশ (লঘিষ্ট আকারে)
১/২	১	(১/২×১) = ১/২	১/২
	২	(১/২×২) = ২/২ = ১	১
	৩	(১/২×৩) = ৩/২	৩/২
	৪	(১/২×৪) = ৪/২ = ২	২
	৫	(১/২×৫) = ৫/২	৫/২
	৬	(১/২×৬) = ৬/২ = ৩	৩
	৭	(১/২×৭) = ৭/২	৭/২
	৮	(১/২×৮) = ৮/২ = ৪	৪
	৯	(১/২×৯) = ৯/২	৯/২
	১০	(১/২×১০) = ১০/২ = ৫	৫

কাজ: ৩, ৪ ও ৫টি সমান খন্ডে টুকরা করা কাগজগুলোর খণ্ডগুলোর জন্য, খাতায় ছক ৪.১ এর অনুরূপ ছক এঁকে তা সম্পূর্ণ করো।

সমাধানঃ

একটি কাগজকে সমান ৩ খন্ডে টুকরা করলে ১টি খন্ড হবে ^১/_৩। সেক্ষেত্রে ৪.১ এর অনুরুপ ছক নিন্মরুপঃ

টুকরার উপর লিখিত ভগ্নাংশ	পাশাপাশি বসানো টুকরার সংখ্যা	গুণ প্রক্রিয়া	মূল কাগজের যত অংশ (লঘিষ্ট আকারে)
১/৩	১	(১/৩×১) = ১/৩	১/৩
	২	(১/৩×২) = ২/৩	২/৩
	৩	(১/৩×৩) = ৩/৩	১
	৪	(১/৩×৪) = ৪/৩	৪/৩
	৫	(১/৩×৫) = ৫/৩	৫/৩
	৬	(১/৩×৬) = ৬/৩ = ২	২
	৭	(১/৩×৭) = ৭/৩	৭/৩
	৮	(১/৩×৮) = ৮/৩ = ৮/৩	৮/৩
	৯	(১/৩×৯) = ৯/৩	৩
	১০	(১/৩×১০) = ১০/৩ = ১০/৩	১০/৩

একটি কাগজকে সমান ৪ খন্ডে টুকরা করলে ১টি খন্ড হবে ^১/_৪। সেক্ষেত্রে ৪.১ এর অনুরুপ ছক নিন্মরুপঃ

টুকরার উপর লিখিত ভগ্নাংশ	পাশাপাশি বসানো টুকরার সংখ্যা	গুণ প্রক্রিয়া	মূল কাগজের যত অংশ (লঘিষ্ট আকারে)
১/৪	১	(১/৪×১) = ১/৪	১/৪
	২	(১/৪×২) = ২/৪ = ১/২	১/২
	৩	(১/৪×৩) = ৩/৪	৩/৪
	৪	(১/৪×৪) = ৪/৪ = ১	১
	৫	(১/৪×৫) = ৫/৪	৫/৪
	৬	(১/৪×৬) = ৬/৪ = ৩/২	৩/২
	৭	(১/৪×৭) = ৭/৪	৭/৪
	৮	(১/৪×৮) = ৮/৪ = ২	২
	৯	(১/৪×৯) = ৯/৪	৯/৪
	১০	(১/৪×১০) = ১০/৪ = ৫/২	৫/২

একটি কাগজকে সমান ৫ খন্ডে টুকরা করলে ১টি খন্ড হবে ^১/_৫। সেক্ষেত্রে ৪.১ এর অনুরুপ ছক নিন্মরুপঃ

টুকরার উপর লিখিত ভগ্নাংশ	পাশাপাশি বসানো টুকরার সংখ্যা	গুণ প্রক্রিয়া	মূল কাগজের যত অংশ (লঘিষ্ট আকারে)
১/৫	১	(১/৫×১) = ১/৫	১/৫
	২	(১/৫×২) = ২/৫	২/৫
	৩	(১/৫×৩) = ৩/৫	৩/৫
	৪	(১/৫×৪) = ৪/৫	৪/৫
	৫	(১/৫×৫) = ৫/৫ = ১	১
	৬	(১/৫×৬) = ৬/৫	৬/৫
	৭	(১/৫×৭) = ৭/৫	৭/৫
	৮	(১/৫×৮) = ৮/৫	৮/৫
	৯	(১/৫×৯) = ৯/৫	৯/৫
	১০	(১/৫×১০) = ১০/৫ = ২	২

শিখনঃ ছক ৪.২ এর ভগ্নাংশগুলোর ১০টি করে গুণিতক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

ছক ৪.২

	গুণিতক (১ থেকে ১০ দ্বারা ভগ্নাংশকে গুণ করে)
ভগ্নাংশ	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯	১০
১ ২	১ ২	১	৩ ২	২	৫ ২	৩	৭ ২	৪	৯ ২	৫
২ ৩	২ ৩	৪ ৩	৩	৮ ৩	১০ ৩	৪	১৪ ৩	১৬ ৩	৬	২০ ৩
১ ৩	১ ৩	২ ৩	১	৪ ৩	৫ ৩	২	৭ ৩	৮ ৩	৩	১০ ৩
৩ ৪	৩ ৪	৩ ২	৯ ৪	৩	১৫ ৪	৯ ২	২১ ৪	৬	২৭ ৪	১৫ ২
১ ৪	১ ৪	১ ২	৩ ৪	১	৫ ৪	৩ ২	৭ ৪	২	৯ ৪	৫ ২
৪ ৫	৪ ৫	৮ ৫	১২ ৫	১৬ ৫	৪	২৪ ৫	২৮ ৫	৩২ ৫	৩৬ ৫	৮
১ ৫	১ ৫	২ ৫	৩ ৫	৪ ৫	১	৬ ৫	৭ ৫	৮ ৫	৯ ৫	২

কাজ: তুমি তোমার পছন্দমত ৫ টি সাধারণ ভগ্নাংশ নাও এবং তাদের ১০ টি করে গুণিতক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

আমার পছন্দমত ৫টি সাধারণ ভগ্নাংশ নিয়ে তাদের ১০ টি করে গুণিতক নির্ণয় করা হলো। (নিচের ছকে দেখানো হলো)

	গুণিতক (১ থেকে ১০ দ্বারা ভগ্নাংশকে গুণ করে)
ভগ্নাংশ	১	২	৩	৪	৫	৬	৭	৮	৯	১০
১ ৭	১ ৭	২ ৭	৩ ৭	৪ ৭	৫ ৭	৬ ৭	১	৮ ৭	৯ ৭	১০ ৭
২ ৫	২ ৫	৪ ৫	৬ ৫	৮ ৫	২	১২ ৫	১৪ ৫	১৬ ৫	১৮ ৫	৪
২ ৩	২ ৩	৪ ৩	২	৮ ৩	১০ ৩	৪	১৪ ৩	১৬ ৩	৬	২০ ৩
৩ ৫	৩ ৫	৬ ৫	৯ ৫	১২ ৫	৩	১৮ ৫	২১ ৫	২৪ ৫	২৭ ৫	৬
৩ ৪	৩ ৪	৩ ২	৯ ৪	৩	১৫ ৪	৯ ২	২১ ৪	৬	২৭ ৪	১৫ ২

কাজ: ১০ টি করে গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে নিচের ভগ্নাংশগুলোর সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করো।

১) ^১/_৩ ও ^১/_৫

২) ^১/_৫ ও ^১/_৬

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০

সমাধানঃ

১) ^১/_৩ ও ^১/_৫

^১/_৩ এর ১০টি গুণিতকঃ ^১/_৩, ^২/_৩, ১, ^৪/_৩, ^৫/_৩, ২, ^৭/_৩, ^৮/_৩, ৩, ^১০/_৩

^১/_৫ এর ১০টি গুণিতকঃ ^১/_৫, ^২/_৫, ^৩/_৫, ^৪/_৫, ১, ^৬/_৫, ^৭/_৫, ^৮/_৫, ^৯/_৫, ২

তাহলে, ^১/_৩ ও ^১/_৫ এর জন্য প্রাপ্ত সাধারণ গুণিতকঃ ১ ও ২

২) ^১/_৫ ও ^১/_৬

^১/_৫ এর ১০টি গুণিতকঃ ^১/_৫, ^২/_৫, ^৩/_৫, ^৪/_৫, ১, ^৬/_৫, ^৭/_৫, ^৮/_৫, ^৯/_৫, ২

^১/_৬ এর ১০টি গুণিতকঃ ^১/_৬, ^১/_৩, ^১/_২, ^২/_৩, ^৫/_৬, ১, ^৭/_৬, ^৪/_৩, ^৩/_২, ^৫/_৩

তাহলে, ^১/_৫ ও ^১/_৬ এর জন্য প্রাপ্ত সাধারণ গুণিতকঃ ১

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০

^১/_৩ এর ১০টি গুণিতকঃ ^১/_৩, ^২/_৩, ১, ^৪/_৩, ^৫/_৩, ২, ^৭/_৩, ^৮/_৩, ৩, ^১০/_৩

^১/_১০ এর ১০টি গুণিতকঃ ^১/_১০, ^১/_৫, ^৩/_১০, ^২/_৫, ^১/_২, ^৩/_৫, ^৭/_১০, ^৪/_৫, ^৯/_১০, ১

তাহলে, ^১/_৩ ও ^১/_১০ এর জন্য প্রাপ্ত সাধারণ গুণিতকঃ ১

কাজঃ ভগ্নাংশের গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে এদের লসাগু নির্ণয় করো।

১) ^১/_৩ ও ^১/_৫

২) ^১/_৫ ও ^১/_৬

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০

সমাধানঃ

১) ^১/_৩ ও ^১/_৫

^১/_৩ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৩, ^২/_৩, ১,…..

^১/_৫ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৫, ^২/_৫, ^৩/_৫, ^৪/_৫, ১,…..

তাহলে, ^১/_৩ ও ^১/_৫ লসাগুঃ১ ও ২

[বিঃদ্রঃ সহজে কিভাবে বুঝবে ভগ্নাংশ দুটির লসাগু ১?

পদ্ধতিঃ ভগ্নাংশ দুইটির লব এর লসাগুকে হর এর গসাগু দ্বারা ভাগ করলে ভগ্নাংশদ্বয়ের লসাগু পাওয়া যায়]

২) ^১/_৫ ও ^১/_৬

^১/_৫ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৫, ^২/_৫, ^৩/_৫, ^৪/_৫, ১,……

^১/_৬ এর গুণিতকগুলোঃ^১/_৬, ^১/_৩, ^১/_২, ^২/_৩, ^৫/_৬, ১,…..

তাহলে, ^১/_৫ ও ^১/_৬ লসাগুঃ ১

৩) ^১/_৩ ও ^১/_১০

^১/_৩ এর গুণিতকগুলোঃ^১/_৩, ^২/_৩, ১,…….

^১/_১০ এর গুণিতকগুলোঃ^১/_১০, ^১/_৫, ^৩/_১০, ^২/_৫, ^১/_২, ^৩/_৫, ^৭/_১০, ^৪/_৫, ^৯/_১০, ১,…..

তাহলে, ^১/_৩ ও ^১/_১০ লসাগুঃ ১

কাজ: সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে পূর্বে প্রদত্ত সকল ভগ্নাংশের লসাগু নির্ণয় করো। এরপর লসাগুর সাহায্যে ১০ টি করে সাধারণ গুণিতক নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

পূর্বে প্রদত্ত ভগ্নাংশের জোড় সমূহের লসাগু ও ১০টি সাধারণ গুণিতক পর্যায়ক্রমে নির্ণয় করা হলোঃ

১) ^১/_২ ও ^১/_৩

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_২ = ^৩/_৬ ও ^১/_৩ = ^২/_৬

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৩ ও ২ এর লসাগু = ৬

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৬/_৬ = ১

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০।

২) ^১/_৩ ও ^১/_৪

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৩ = ^৪/_১২ ও ^১/_৪ = ^৩/_১২

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৪ ও ৩ এর লসাগু = ১২

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^১২/_১২ = ১

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০।

৩) ^১/_৪ ও ^১/_৫

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৪ = ^৫/_২০ ও ^১/_৫ = ^৪/_২০

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৫ ও ৪ এর লসাগু = ২০

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^২০/_২০ = ১

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০।

৪) ^১/_২ ও ^১/_৪

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_২ = ^২/_৪ ও ^১/_৪ = ^১/_৪

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ২ ও ১ এর লসাগু = ২

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^২/_৪ = ^১/_২

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ^১/_২, ১, ^৩/_২, ২, ^৫/_২, ৩, ^৭/_২, ৪, ^৯/_২, ৫।

৫) ^১/_৬ ও ^১/_৮

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৬ = ^৪/_২৪ ও ^১/_৮ = ^৩/_২৪

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৪ ও ৩ এর লসাগু = ১২

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^১২/_২৪ = ^১/_২

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ^১/_২, ১, ^৩/_২, ২, ^৫/_২, ৩, ^৭/_২, ৪, ^৯/_২, ৫।

৬) ^১/_৩ ও ^১/_৫

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৩ = ^৫/_১৫ ও ^১/_৫ = ^৩/_১৫

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৫ ও ৩ এর লসাগু = ১৫

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^১৫/_১৫ = ১

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০।

৭) ^১/_৫ ও ^১/_৬

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৫ = ^৬/_৩০ ও ^১/_৬ = ^৫/_৩০

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৬ ও ৫ এর লসাগু = ৩০

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৩০/_৩০ = ১

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০।

৮) ^১/_৩ ও ^১/_১০

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৩ = ^১০/_৩০ ও ^১/_১০ = ^৩/_৩০

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ১০ ও ৩ এর লসাগু = ৩০

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৩০/_৩০ = ১

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ১, ২, ৩, ৪, ৫, ৬, ৭, ৮, ৯, ১০।

৯) ^১/_৪ ও ^২/_৫

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৪ = ^৫/_২০ ও ^২/_৫ = ^৮/_২০

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৫ ও ৮ এর লসাগু = ৪০

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৪০/_২০ = ২

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ২, ৪, ৬, ৮, ১০, ১২, ১৪, ১৬, ১৮, ২০।

১০) ^১/_৪ ও ^৩/_১১

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৪ = ^১১/_৪৪ ও ^৩/_১১ = ^১২/_৪৪

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ১১ ও ১২ এর লসাগু = ১৩২

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^১৩২/_৪৪ = ৩

এবং ভগ্নাংশ দুটির ১০টি সাধারণ গুণিতকঃ ৩, ৬, ৯, ১২, ১৫, ১৮, ২১, ২৪, ২৭, ৩০।

কাজ: গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে ভগ্নাংশ দুটির সাধারণ গুণিতক ও লসাগু নির্ণয় করো। উভয় ভগ্নাংশের জন্যেই ন্যুনতম কতটি গুণিতক নির্ণয় করা হলে লসাগু পাওয়া যায়?

সমাধানঃ

পাঠ্যবইয়ে প্রদত্ত ভগ্নাংশ দুইটি হলোঃ ^৩/_৫ ও ^৬/_১৩

^৩/_৫ এর গুণিতকগুলোঃ ^৩/_৫, ^৬/_৫, ^৯/_৫, ^১২/_৫, ৩, ^১৮/_৫, ^২১/_৫, ^২৪/_৫, ^২৭/_৫, ৬,……

^৬/_১৩ এর গুণিতকগুলোঃ ^৬/_১৩, ^১২/_১৩, ^১৮/_১৩, ^২৪/_১৩, ^৩০/_১৩, ^৩৬/_১৩, ^৪২/_১৩, ^৪৮/_১৩, ^৫৪/_১৩, ^৬০/_১৩, ^৬৬/_১৩, ^৭২/_১৩, ৬,…..

অতএব, ^৩/_৫ ও ^৬/_১৩ এর লসাগু ৬

তাহলে, ^৩/_৫ ও ^৬/_১৩ এর সাধারণ গুণিতকগুলোঃ ৬, ১২, ১৮, ২৪, ৩০,……..

এখন,

^৩/_৫ এর জন্য নুন্যতম ১০টি গুণিতক ও ^৬/_১৩ এর জন্য নুন্যতম ১৩টি গুণিতক নির্ণয় করলে ভগ্নাংশদ্বয়ের লসাগু পাওয়া যাবে।

কাজ: লসাগু নির্ণয়ের যেকোনো একটি পদ্ধতি ব্যবহার করে ৩০ ও ৩৯ এর লসাগু নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

৩০ = ৫×৬ = ৫×৩×২

৩৯ = ৩×১৩

তাহলে, ৩০ ও ৩৯ এর লসাগু = ৫×৩×২×১৩ = ৩৯০

কাজ:

১) গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে এবং সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে নিম্নোক্ত ভগ্নাংশগুলোর লসাগু নির্ণয় করো।

i) ^১/_৫ ও ^৩/_১০

সমাধানঃ

গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৫ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৫, ^২/_৫, ^৩/_৫,……

^৩/_১০ এর গুণিতকগুলোঃ ^৩/_১০, ^৩/_৫,…..

অতএব, ^১/_৫ ও ^৩/_১০ এর লসাগু ^৩/_৫

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৫ = ^২/_১০ ও ^৩/_১০ = ^৩/_১০

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ২ ও ৩ এর লসাগু = ৬

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৬/_১০ = ^৩/_৫

ii) ^১/_৬ ও ^৫/_৮

গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৬ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৬, ^১/_৩, ^১/_২, ^২/_৩, ^৫/_৬, ১, ^৭/_৬, ^৪/_৩, ^৩/_২, ^৫/_৩, ^১১/_৬, ২, ^১৩/_৬, ^৭/_৩, ^৫/_২,……

^৫/_৮ এর গুণিতকগুলোঃ ^৫/_৮, ^৫/_৪, ^১৫/_৮, ^৫/_২, …..

অতএব, ^১/_৬ ও ^৫/_৮ এর লসাগু ^৫/_২

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৬ = ^৪/_২৪ ও ^৫/_৮ = ^১৫/_২৪

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ৪ ও ১৫ এর লসাগু = ৬০

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৬০/_২৪ = ^৫/_২

iii) ^২/_৭ ও ^৬/_৮

গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

^২/_৭ এর গুণিতকগুলোঃ ^২/_৭, ^৪/_৭, ^৬/_৭, ^৮/_৭, ^১০/_৭, ^১২/_৭, ২, ^১৬/_৭, ^১৮/_৭, ^২০/_৭, ^২২/_৭, ^২৪/_৭, ^২৬/_৭, ৪, ^৩০/_৭, ^৩২/_৭, ^৩৪/_৭, ^৩৬/_৭, ^৩৮/_৭, ^৪০/_৭, ৬,……

^৬/_৮ এর গুণিতকগুলোঃ ^৩/_৪, ^৩/_২, ^৯/_৪, ৩, ^১৫/_৪, ^৯/_২, ^২১/_৪, ৬,..

অতএব, ^২/_৭ ও ^৬/_৮ এর লসাগু ৬

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^২/_৭ = ^১৬/_৫৬ ও ^৬/_৮ = ^৪২/_৫৬

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ১৬ ও ৪২ এর লসাগু = ৩৩৬

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৩৩৬/_৫৬ = ৬

iv) ^১/_৭ ও ^১/_১১

গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৭ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৭, ^২/_৭, ^৩/_৭, ^৪/_৭, ^৫/_৭, ^৬/_৭, ১,…..

^১/_১১ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_১১, ^২/_১১, ^৩/_১১, ^৪/_১১, ^৫/_১১, ^৬/_১১, ^৭/_১১, ^৮/_১১, ^৯/_১১, ^১০/_১১, ১,…..

অতএব, ^১/_৭ ও ^১/_১১ এর লসাগু ১

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৭ = ^১১/_৭৭ ও ^১/_১১ = ^৭/_৭৭

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ দুটির লব ১১ ও ৭ এর লসাগু = ৭৭

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^৭৭/_৭৭ = ১

v) ^১/_২, ^১/_৩ ও ^১/_৪

গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_২ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_২, ১,….

^১/_৩ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৩, ^২/_৩, ১,…..

^১/_৪ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৪, ^১/_২, ^৩/_৪, ১,…..

অতএব, ^১/_২, ^১/_৩ ও ^১/_৪ এর লসাগু ১

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_২ = ^৬/_১২ ও ^১/_৩ = ^৪/_১২ এবং ^১/_৪ = ^৩/_১২

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ তিনটির লব ৬, ১ ও ৪ এর লসাগু = ১২

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^১২/_১২ = ১

vi) ^১/_৫, ^৩/_১০ ও ^৭/_১৫

গুণিতক নির্ণয়ের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

^১/_৫ এর গুণিতকগুলোঃ ^১/_৫, ^২/_৫, ^৩/_৫, ^৪/_৫, ১, ^৬/_৫, ^৭/_৫, ^৮/_৫, ^৯/_৫, ২, ^১১/_৫, ^১২/_৫, ^১৩/_৫, ^১৪/_৫, ৩, ^১৬/_৫, ^১৭/_৫, ^১৮/_৫, ^১৯/_৫, ৪, ^২১/_৫,…..

^৩/_১০ এর গুণিতকগুলোঃ ^৩/_১০, ^৩/_৫, ^৯/_১০, ^৬/_৫, ^৩/_২, ^৯/_৫, ^২১/_১০, ^১২/_৫, ^২৭/_১০, ৩, ^৩৩/_১০, ^১৮/_৫, ^৩৯/_১০, ^২১/_৫ …….

^৭/_১৫ এর গুণিতকগুলোঃ ^৭/_১৫, ^১৪/_১৫, ^৭/_৫, ^২৮/_৫, ^৭/_৩, ^৪২/_১৫, ^৪৯/_১০, ^৫৬/_১৫, ^২১/_৫,…….

অতএব, ^১/_৫, ^৩/_১০ ও ^৭/_১৫ এর লসাগু ^৭/_৫

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের মাধ্যমে লসাগু নির্ণয়ঃ

সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তর করে পাই,

^১/_৫ = ^৬/_৩০ ও ^৩/_১০ = ^৯/_৩০ এবং ^৭/_১৫ = ^১৪/_৩০

এখন, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশ তিনটির লব ৬, ৯ ও ১৪ এর লসাগু = ১২৬

তাহলে, ভগ্নাংশ দুটির লসাগু = ^১২৬/_৩০ = ^২১/_৫

২) (১) এর প্রতিটি সমস্যায় প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য ন্যুনতম কতটি করে গুণিতক নির্ণয় প্রয়োজন তা লেখো।

সমাধানঃ

i) ^১/_৫ এর জন্য নুন্যতম ৩টি ও ^৩/_১০ এর জন্য নুন্যতম ২টি গুণিতক নির্ণয় করা প্রয়োজন।

ii) ^১/_৬ এর জন্য নুন্যতম ১৫টি ও ^৫/_৮  এর জন্য নুন্যতম ৪টি গুণিতক নির্ণয় করা প্রয়োজন।

iii) ^২/_৭ এর জন্য নুন্যতম ২১টি ও ^৬/_৮  এর জন্য নুন্যতম ৮টি গুণিতক নির্ণয় করা প্রয়োজন।

iv) ^১/_৭ এর জন্য নুন্যতম ৭টি ও ^১/_১১  এর জন্য নুন্যতম ১১টি গুণিতক নির্ণয় করা প্রয়োজন।

v) ^১/_২ এর জন্য নুন্যতম ২টি ও ^১/_৩ এর জন্য নুন্যতম ৩টি ও ^১/_৪ এর জন্য নুন্যতম ৪টি গুণিতক নির্ণয় করা প্রয়োজন।

vi) ^১/_৫ এর জন্য নুন্যতম ২১টি ও ^৩/_১০ এর জন্য নুন্যতম ৯টি ও ^৭/_১৫ এর জন্য নুন্যতম ৯টি গুণিতক নির্ণয় করা প্রয়োজন।

৩) সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর লবের উপাদানগুলোর তুলনা করে কি তুমি ২ নং কাজের সাথে কোন সম্পর্ক নির্ণয় করতে পারো?

সমাধানঃ

হ্যাঁ, সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর লবের উপাদানগুলোর তুলনা করে আমি ২নং কাজের সাথে একটি সম্পর্ক নির্ণয় করতে পেরেছি। সম্পর্কটি নিন্মরুপঃ

দুই বা ততোধিক ভগ্নাংশের লসাগু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে প্রতিটি ভগ্নাংশের জন্য নির্নেয় গুণিতকের সংখ্যা =  সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর লবের উপাদানগুলোর লসাগু ÷ সমহর বিশিষ্ট ভগ্নাংশে রুপান্তরের পর ভগ্নাংশটির লব।

দশমিক ভগ্নাংশের গসাগু

দশমিক ভগ্নাংশের গসাগু নির্ণয় করার ক্ষেত্রে আমাদের দশমিক ভগ্নাংশদেরকে প্রথমে পূর্ণসংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে। এক্ষেত্রে দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ করে পূর্ণ সংখ্যায় রুপান্তর করতে হবে। যেমনঃ ১.২ ও ০.১৮ এর গসাগু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে ১.২ কে ১০ দিয়ে ও ০.১৮ কে ১০০ দিয়ে গুণ করলে এরা পূর্ণ সংখ্যার রুপান্তরিত হয়, সেক্ষেত্রে ১০ ও ১০০ কিন্তু একই সংখ্যা হলো না, তাই সবসময় বড় সংখ্যাটি দিয়ে উভয় ভগ্নাংশকে গুণ করতে হয়।

১.২×১০ = ১২

০.১৮×১০০ = ১৮

যেহেতু, ১০≠১০০, সেহেতু বড় সংখ্যা ১০০ দিয়ে গুণ করতে হবে।

১.২×১০০ = ১২০

০.১৮×১০০ = ১৮

এখন, ১২০ ও ১৮ এর গসাগু নির্ণয় করে সেই গসাগুকে ১০০ দ্বারা ভাগ করলে, আমরা ১.২ ও ০.১৮ এর গসাগু পেয়ে যাব।

অথবা,

১.২ = ^১২/_১০ ও ০.১৮ = ^১৮/_১০০ অর্থাৎ দশমিক ভগ্নাংশকে সাধারণ ভগ্নাংশে প্রকাশ করে ভগ্নাংশদ্বয়কে সমহরে রুপান্তর করে গসাগু নির্ণয় করতে পারব যা আমরা পূর্বেই শিখেছি।

কাজঃ

১) উদাহরণটিতে দেখো, ১০ ও ১০০ এর মধ্যে যে সংখ্যাটি বড়, অর্থা ৎ ১০০ দিয়ে উভয় সংখ্যাকে গুণ করা হল। কেন বড় সংখ্যাটিকে নেয়া হল?

সমাধানঃ

১.২ কে ১০ দিয়ে এবং ০.১৮ কে ১০০ দিয়ে গুণ করলে এরা পূর্ণসংখ্যায় পরিবর্তিয় হয় কিন্তু দশমিক সংখ্যার গসাগু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে পূর্ণসংখ্যায় রুপান্তর করতে হলে তাদেরকে একই সংখ্যা দ্বারা গুণ করতে হবে যাতে দশমিক ভগ্নাংশগুলোর প্রত্যেকটি পূর্ণসংখ্যার রুপান্তরিত হয়।

এখন,

১.২×১০ = ১২ যা পূর্ণ সংখ্যা

০.১৮×১০ = ১.৮ যা পূর্ণ সংখ্যা নয়

কিন্তু

১.২×১০০ = ১২০ যা পূর্ণ সংখ্যা

০.১৮×১০০ = ১৮ যা পূর্ণ সংখ্যা

এই কারনে বড় সংখ্যাটি নেয়া হয়েছে।

২) নিচের দশমিক ভগ্নাংশগুলোকে গসাগু নির্ণয়ে র জন্য উপযুক্ত পূর্ণসংখ্যায় রুপান্তর করো।

i) ০.২, ০.৩

ii) ১, ০.৫

iii) ৩, ১.২৫

iv) ০.২, ০.০০৪

সমাধানঃ

i) ০.২, ০.৩

০.২×১০ = ২

০.৩×১০ = ৩

অতএব, ০.২ ও ০.৩ এর গসাগু নির্ণয়ের জন্য উপযুক্ত পূর্ণসংখ্যাঃ ২ ও ৩

ii) ১, ০.৫

১×১০ = ১০

০.৫×১০ = ৫

অতএব, ১ ও ০.৫ এর গসাগু নির্ণয়ের জন্য উপযুক্ত পূর্ণসংখ্যাঃ ১০ ও ৫

iii) ৩, ১.২৫

৩×১০০ = ৩০০

১.২৫×১০০ = ১২৫

অতএব, ৩ ও ১.২৫ এর গসাগু নির্ণয়ের জন্য উপযুক্ত পূর্ণসংখ্যাঃ ৩০০ ও ১২৫

iv) ০.২, ০.০০৪

০.২×১০০০ = ২০০

০.০০৪×১০০০ = ৪

অতএব, ০.২ ও ০.০০৪ এর গসাগু নির্ণয়ের জন্য উপযুক্ত পূর্ণসংখ্যাঃ ২০০ ও ৪

কাজ: গসাগু নির্ণয়ের যেকোনো একটি পদ্ধতির সাহায্যে ১৮ ও ১২০ এর গসাগু নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

১৮ = ৩×৬ = ৩×৩×২

১২০ = ১০×১২ = ৫×২×২×৩×২

তাহলে, ১৮ ও ১২০ এর গসাগু = ৩×২ = ৬

কাজঃ নিচের দশমিক ভগ্নাংশগুলোর গসাগু নির্ণয় করো।

১) ০.২ ও ০.৩

২) ১ ও ০.৫

৩) ৩ ও ১.২৫

৪) ০.২ ও ০.০০৪

৫) ০.২, ০.৩ ও ০.৪

সমাধানঃ

১) ০.২ ও ০.৩

০.২×১০ = ২

০.৩×১০ = ৩

এখন, ২ ও ৩ এর গসাগু = ১

তাহলে, ০.২ ও ০.৩ এর গসাগু = ^১/_১০ = ০.১

২) ১ ও ০.৫

১×১০ = ১০

০.৫×১০ = ৫

এখন, ৫ ও ১০ এর গসাগু = ৫

তাহলে, ১ ও ০.৫ এর গসাগু = ^৫/_১০ = ০.৫

৩) ৩ ও ১.২৫

৩×১০০ = ৩০০

১.২৫×১০০ = ১২৫

এখন, ৩০০ = ৩×১০০ = ৩×২৫×৪ = ৩×৫×৫×২×২

১২৫ = ৫×২৫ = ৫×৫×৫

অতএব, ৩০০ ও ১২৫ এর গসাগু = ৫×৫ = ২৫

তাহলে, ৩ ও ১.২৫ এর গসাগু = ^২৫/_১০০ = ০.২৫

৪) ০.২ ও ০.০০৪

০.২×১০০০ = ২০০

০.০০৪×১০০০ = ৪

এখন, ২০০ = ২×১০০ = ২×২×৫০ = ২×২×২×২৫ = ২×২×২×৫×৫

৪ = ২×২

অতএব, ২০০ ও ৪ এর গসাগু = ২×২ = ৪

তাহলে, ০.২ ও ০.০০৪ এর গসাগু = ^৪/_১০০০ = ০.০০৪

৫) ০.২, ০.৩ ও ০.৪

০.২×১০ = ২

০.৩×১০ = ৩

০.৪×১০ = ৪

এখন, ২, ৩ ও ৪ এর গসাগু = ১

তাহলে, ০.২, ০.৩ ও ০.৪ এর গসাগু ^১/_১০ = ০.১

দশমিক ভগ্নাংশের লসাগু

দশমিক ভগ্নাংশের লসাগু নির্ণয়ের ক্ষেত্রে গসাগু নির্ণয়ের পদ্ধতির ন্যায় ভগ্নাংশগুলোকে পূর্ণসংখ্যায় রুপান্তর করে পূর্ণসংখ্যাগুলোর লসাগু বের করতে হবে, অতঃপর সেই লসাগুকে পূর্ণ সংখ্যায় রুপান্তরের জন্য যে সংখ্যা দ্বারা গুণ করা হয়েছিল সেই সংখ্যা দ্বারা ভাগ করলে ভগ্নাংশের লসাগু পাওয়া যাবে।

কাজ: তোমার জানা যেকোনো একটি পদ্ধতিতে ১৫০, ১২ ও ১০০ এর লসাগু নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

১৫০ = ১৫×১০ = ৫×৩×৫×২

১২ = ৬×২ = ৩×২×২

১০০ = ২৫×২ = ৫×৫×২

অতএব, ১৫০, ১২ ও ১০০ এর লসাগু = ৫×৩×৫×২×২ = ৩০০

কাজ: নিচের দশমিক ভগ্নাংশগুলোর লসাগু নির্ণয় করো।

১) ০.২ ও ০.৩

২) ১ ও ০.৫

৩) ৩ ও ১.২৫

৪) ০.২ ও ০.০০৪

৫) ১.২ ও ০.১৮

৬) ০.২, ০.৩ ও ০.৪

সমাধানঃ

১) ০.২ ও ০.৩

০.২×১০ = ২

০.৩×১০ = ৩

এখন, ২ ও ৩ এর লসাগু = ৬

অতএব, ০.২ ও ০.৩ এর লসাগু = ^৬/_১০ = ০.৬

২) ১ ও ০.৫

১×১০ = ১০

০.০৫×১০ = ৫

এখন, ১০ = ৫×২ এবং ৫ = ৫×১

অতএব, ১০ ও ৫  এর লসাগু = ৫×২ = ১০

তাহলে, ১ ও ০.৫ এর লসাগু = ^১০/_১০ = ১

৩) ৩ ও ১.২৫

৩×১০০ = ৩০০

১.২৫×১০০ = ১২৫

এখন,

৩০০ = ৩×১০০ = ৩×৫০×২ = ৩×২৫×২×২ = ৩×৫×৫×২×২

১২৫ = ৫×২৫ = ৫×৫×৫

অতএব, ৩০০ ও ১২৫ এর লসাগু = ৩×৫×৫×২×২×৫ = ১৫০০

তাহলে, ৩ ও ১.২৫  এর লসাগু = ^১৫০০/_১০০ = ১৫

৪) ০.২ ও ০.০০৪

০.২×১০০০ = ২০০

০.০০৪×১০০০ = ৪

এখন, ২০০ = ১০০×২ = ৫০×২×২ = ২৫×২×২×২ = ৫×৫×২×২×২

এবং ৪ = ২×২

অতএব, ২০০ ও ৪ এর লসাগু = ৫×৫×২×২×২ = ২০০

তাহলে, ০.২ ও ০.০০৪ এর লসাগু = ^২০০/_১০০০ = ০.২

৫) ১.২ ও ০.১৮

১.২×১০০ = ১২০

০.১৮×১০০ = ১৮

এখন, ১২০ = ৬০×২ = ৩০×২×২ = ১৫×২×২×২ = ৫×৩×২×২×২

১৮ = ৩×৬ = ৩×৩×২

অতএব, ১২০ ও ১৮ এর লসাগু = ৫×৩×২×২×২×৩ = ৩৬০

তাহলে, ১.২ ও ০.১৮ এর লসাগু = ^৩৬০/_১০০ = ৩.৬

৬) ০.২, ০.৩ ও ০.৪

০.২×১০ = ২

০.৩×১০ = ৩

০.৪×১০ = ৪

এখন, ২, ৩ ও ৪ এর লসাগু = ১২

তাহলে, ০.২, ০.৩ ও ০.৪ এর লসাগু = ^১২/_১০ = ১.২