একাদশ অধ্যায়: ঐকিক নিয়ম শতকরা এবং অনুপাত
ঐকিক নিয়ম Unitary Method:
নির্দিষ্ট পরিমাণ কোন বস্তু বা পন্যের মূল্যমানের (দাম, পরিমাণ, ওজন ইত্যাদি) উপর ভিত্তি করে এর একক মূল্যমান নিরধারন করে উক্ত পন্যের যেকোণ পরিমানের মূল্যমান নির্ণয় করার পদ্ধতি হলো ঐকিক নিয়ম Unitary Method.
উদাহরণঃ পৃষ্ঠা ১৮৯
১. ডিমের হালি ৩২ টাকা হলে ১ ডজন ডিমের দাম কত?
সমাধানঃ
১ হালি = ৪ টি
১ ডজন = ১২ টি
তাহলে,
৪ টি ডিমের দাম ৩২ টাকা
∵ ১ টি ডিমের দাম ৩২/৪ টাকা = ৮ টাকা
∵ ১২ টি ডিমের দাম = ৮*১২ টাকা = ৯৬ টাকা।
২. ডিমের হালি ৩২ টাকা হলে ৯টি ডিমের দাম কত?
সমাধানঃ
৪ টি ডিমের দাম ৩২ টাকা
∵ ১ টি ডিমের দাম ৩২/৪ টাকা = ৮ টাকা
∵ ৯ টি ডিমের দাম = ৮*৯ টাকা = ৭২ টাকা।
কাজঃ (১৯২ পৃষ্ঠা) এবার একটা মজার কাজ আছে তোমার জন্য। নিচের ধাপ অনুসারে কাজগুলো করো এবং সমগ্র কাজের বিস্তারিত বর্ণনা খাতায় লিখে ও ছবি এঁকে পরবর্তী ক্লাসে শিক্ষককে দেখাও।
ক. কোনো এক মাসে তোমার বাড়ির সকলে মিলে মোট কয়টি ডিম খাওয়া হয়েছে তার হিসাব করো। প্রয়োজনে অভিভাবকের সহায্য নাও।
সমাধানঃ
আমার বাড়িতে মোট সদস্য সংখ্যা ৬ জন এবং প্রত্যেকে প্রতিদিন একটি করে ডিম খায়।
তাহলে,
প্রশ্নমতে,
১ দিনে ১ জনে খায় ১টি ডিম
∵ ১ দিনে ৬ জনে খায় = ১*৬ টি ডিম
∵ ৩০ দিনে ৬ জনে খায় = ১*৬*৩০ টি ডিম
= ১৮০ টি ডিম।
অর্থাৎ, এই মাসে আমার বাড়িতে সবাই মিলে ডিম খাওয়া হয়েছে মোট ১৮০টি।
খ. এবার তোমার এলাকার কোনো একটি দোকানে গিয়ে ডিমের ডজন কত দামে বিক্রি হয় তা জিজ্ঞেস করে জেনে নাও। তুমি কি খাতা-কলম ছাড়াই দোকানে দাঁড়িয়েই বের করতে পারবে ঐ মাসে ডিম কেনার জন্য তোমাদের কত খরচ হয়েছে ?
সমাধানঃ
আমার এলাকায় একটি দোকানে এক ডজন ডিমের দাম ১২০ টাকা।
আমরা জানি,
এক ডজন = ১২ টি।
তাহলে, ১২টি ডিমের দাম ১২ টাকা
∵ ১টি ডিমের দাম ১২০/১২ টাকা = ১০ টাকা।
∵ ১৮০ টি ডিমের দাম = ১০*১৮০ টাকা = ১৮০০ টাকা।
উল্লেখ্য, খাতা কলম ছাড়াই দোকানে দাঁড়িয়েই আমি এই সহজ হিসাবটি করে এই মাসে আমাদের পরিবারের ডিমের জন্য খরচের হসাব বের করেছি বা বের করতে পারব।
গ. বাড়িতে ফিরে খাতা-কলম নিয়ে ছবির মাধ্যমে খরচের হিসাব করে দোকানে থাকা অবস্থায় তোমার হিসাব সঠিক ছিল কিনা নিশ্চিত করো।
সমাধানঃ
আগে আমরা এক ডজন ডিমের হিসাব ছবির মাধ্যমে দেখিঃ
এখানে, প্রতি ঘর = ১ টি ডিম।
অর্থাৎ,
১২টি ডিমের মূল্য ১২০ টাকা
∵ ১টি ডিমের মূল্য ১২০/১২ টাকা = ১০ টাকা।
তাহলে, ১৮০টি ডিমের মূল্য = ১৮০*১০ টাকা = ১৮০০ টাকা।
আবার অন্যভাবে চিন্তা করি,
১২ টি ডিম = ১ ডজন
∵ ১৮০টি ডিম = ১৮০/১২ ডজন = ১৫ ডজন।
তাহলে,
১ ডজন ডিমের মূল্য = ১২০ টাকা
∵ ১৫ ডজন ডিমের ময়্যল্য = ১২০*১৫ টাকা = ১৮০০ টাকা।
যার চিত্র নিন্মরুপঃ
প্রতি ঘর = ১ ডজন ডিমের মূল্য = ১২০ টাকা।
অর্থাৎ, দোকানে থাকা অবস্থায় আমার হিসাবটি সঠিক ছিল।
ঘ. ঐ একটি মাসের হিসাব থেকেই তোমার পরিবারে সারা-বছরের ডিম কেনার জন্য কত টাকা খরচ হয় তা বের করো ?
সমাধানঃ
আমরা জানি,
১ বছর = ১২ মাস
তাহলে,
১ মাসে আমার পরিবারের ডিম কেনার জন্য খরচ = ১৮০০ টাকা।
∵ ১২ মাসে আমার পরিবারের ডিম কেনার জন্য খরচ = ১৮০০*১২ টাকা = ২১৬০০ টাকা।
ঙ. ডিমের দাম প্রতিটা মাসে একই না হলে সারা বছরের হিসাব করতে কী ধরনের সমস্যা হতে পারে বলে তুমি মনে করো ?
সমাধানঃ
ডিমের দাম প্রতি মাসে একই না হলে অর্থাৎ ভিন্ন হলে সারা বছরের সঠিক হিসাব কোন এক মাসের হিসাব থেকে পাওয়া যাবে না। সথিক হিসাব পাওয়ার জন্য প্রতি মাসে আলাদা আলাদা ভাবে হিসাব করে বছরর শেষে সবগুলো মাসের হিসাব অর্থাৎ খরচ যোগ করতে হবে।
ঐকিক নিয়ম:
আমরা পূর্বের অংশে ঐকিক নিয়মের সংজ্ঞা ও ব্যাখ্যা প্রদান করেছি, এখানে আমরা এই ঐকিক নিয়ম বিষয়ক কিছু সমস্যা যা পাঠ্যবইয়ের ১৯৫-১৯৭ পৃষ্ঠায় উল্লেখিত আছে, সেগুলোর সমাধান করব। এগুলো আমরা পর্যায়ক্রমে নিচে প্রদান করেছি।
# একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ৪ দিনের খাদ্য মজুদ আছে । ঐ পরিরিমাণ খাদ্যে ২০ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?
সমাধানঃ
ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য মজুদকৃত খাদ্যে চলে ৪ দিন
∵ ছাত্রাবাসে ১ জন ছাত্রের জন্য মজুদকৃত খাদ্যে চলে ৪×৫০ দিন
∵ ছাত্রাবাসে ২০ জন ছাত্রের জন্য মজুদকৃত খাদ্যে চলে ৪×৫০/২০ দিন
= ১০ দিন।
এখন নিচে প্রদত্ত বাস্তব সমস্যাগুলি ছবির মাধ্যমে (ছবি অঙ্কন করে) সমাধান করো।
১) ৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা হলে, ১৫ কেজি চালের দাম কত?
সমাধানঃ
৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা
∵ ১ কেজি চালের দাম ২৮০/৭ টাকা
= ৪০ টাকা
এখন,
১৫ কেজি চালের দাম
= (৭ কেজি + ৭ কেজি + ১ কেজি) চালের দাম
= ২৮০ টাকা + ২৮০ টাকা + ৪০ টাকা
= ৬০০ টাকা
ছবি ছাড়া সমাধানঃ
৭ কেজি চালের দাম ২৮০ টাকা
∵ ১ কেজি চালের দাম ২৮০/৭ টাকা
∵ ১৫ কেজি চালের দাম ২৮০/৭×১৫ টাকা
= ৬০০ টাকা।
২) একটি ছাত্রাবাসে ৫০ জন ছাত্রের জন্য ১৫ দিনের খাদ্য মজুদ আছে । ঐ পরিমাণ খাদ্যে ২৫ জন ছাত্রের কতদিন চলবে?
সমাধানঃ
মজুদকৃত খাদ্যে ৫০ জন ছাত্রের চলে ১৫ দিন
∵ মজুদকৃত খাদ্যে ১ জন ছাত্রের চলে ১৫×৫০ দিন
∵ মজুদকৃত খাদ্যে ২৫ জন ছাত্রের চলে ১৫×৫০/২৫ দিন
= ৩০ দিন।
৩) শফিক দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে ১২ দিনে ৪৮০ কিমি অতিক্রম করে। দৈনিক ১০ ঘণ্টা করে হেঁটে সে কত দিনে ৩৬০ কিমি অতিক্রম করবে?
সমাধানঃ
শফিক (প্রতিদিন ১০ ঘন্টা করে হেঁটে) ১২ দিনে অতিক্রম করে ৪৮০ কিমি
∵ শফিক (প্রতিদিন ১০ ঘন্টা করে হেঁটে) ১ দিনে অতিক্রম করে ৪৮০/১২ কিমি = ৪০ কিমি
অর্থাৎ,
৪০ কিমি হাঁটে ১ দিনে
∵ ৩৬০ কিমি হাঁটে ৩৬০/৪০ দিনে = ৯ দিনে।
অতএব,
৯ দিনে ৩৬০ কিমি অতিক্রম করবে।
৪) ৬ জন লোক ২৮ দিনে কোনো জমির ফসল কাটতে পারে। ২৪ জন লোক কত দিনে ঐ জমির ফসল কাটতে পারে?
সমাধানঃ
(৬ জন)×৪ = ২৪ জন
৬ জন লোক প্রদত্ত জমির ফসল কাটতে পারে ২৮ দিনে
∵ ৬×৪ বা ২৪ জন লোক ঐ জমির ফসল কাটতে পারে ২৮/৪ দিনে
= ৭ দিনে।
শতকরাঃ
শতকরা হলো এমন একটি ভগ্নাংশ যার হর ১০০ যেখানে ভগ্নাংশটি ১০০ এর সাথে সম্পর্কিত এবং হরটি হলো সেই সংখ্যা যা ১০০ ভাগের নির্দিষ্ট অংশ বোঝায়। যেমন ৭% = ৭/১০০ অর্থাৎ ১০০ ভাগের ৭ ভাগ।
একক কাজঃ এবার নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো।
১) (ক) এখানে শতকরা (%) কত-অংশ সবুজ রং-করা হয়েছে?
সমাধানঃ
এখানে, মোট ঘর সংখ্যা ১০০টি। ১০০টি ঘরের মধ্যে ৪৯টি ঘর সবুজ রং করা হয়েছে। অর্থাৎ শতকরা ৪৯ অংশ বা ৭৯% সবুজ রং করা হয়েছে।
(খ) সবুজ রং করা আকৃতিটির নাম কী? তুমি কি আগে কখনো দেখেছ এমন আকৃতি?
সমাধানঃ
সবুজ রং করা অংশটি বাংলাদেশের মানচিত্রের ন্যায়। হ্যাঁ আমি আগে এমন আকৃতি অর্থাৎ বাংলাদেশের মানচিত্র দেখেছি।
২) নিচের ছবি গুলোতে সম্পূর্ণ অংশের শ ত ক রা (%) কত অংশ সবুজ-রং এবং কত অংশ-লাল রং-করা হ য়ে ছে?
(ক) তোমার উত্তর, সবুজ রং করা অংশ = ……….%
লাল রং করা অংশ = ………%
সমাধানঃ
সবুজ রং করা অংশ = ৫০%
লাল রং করা অংশ = ৫০%
(খ) সবুজ রং করা আকৃতিটির নাম কী? তুমি কি আগে কখনো দেখেছ এমন আকৃতি?
সমাধানঃ
সবুজ রং করা আকৃতি একটি আইসক্রিমের ন্যায়। হ্যাঁ, আগে এমন আকৃতি আমি দেখেছি যা একটি কাঠিসহ আইসক্রিম এর।
(গ)
সবুজ রং করা অংশ = ……%
লাল রং করা অংশ = …….%
সমাধানঃ
সবুজ রং করা অংশ = ৫০%
লাল রং করা অংশ = ৫০%
[এখানে মোট ১০০টি ঘর আছে যার সবুজ ঘরের সংখ্যা ৫০টি ও লাল ঘরের সংখ্যা ৫০টি]
(ঘ)
সবুজ রং করা অংশ = ……..%
লাল রং করা অংশ = …….%
সমাধানঃ
সবুজ রং করা অংশ = ৪৬%
লাল রং করা অংশ = ৫০%
[এখানে মোট ১০০টি ঘর আছে যার সবুজ ঘরের সংখ্যা ৪৬টি ও লাল ঘরের সংখ্যা ৫০টি]
৩) নিচের ছ.বি.তে দর্শকসারি বা গ্যা.লা.রি.র শতকরা (%) কত-অংশ দ.র্শ.ক.পূ.র্ণ-আছে এবং শ ত ক রা কত-অংশ খালি-আছে?
দর্শকপূর্ণ অংশ = …….%
খালি অংশ = ……….%
সমাধানঃ
দর্শকপূর্ণ অংশ = ২২%
খালি অংশ = ৭৮%
[এখানে গ্যালারিরতে মোট ১০০টি চেয়ার আছে যার ২২টি চেয়ারে দর্শক আছে অর্থাৎ ৭৮টি চেয়ার খালি আছে।]
ভগ্নাংশ ও শতকরার সম্পর্ক
ভগ্নাংশকে আমরা শতকরায় পরিনত করতে পারি, এর জন্য আমরা আগে বুজবো যে শতকরা বলতে ১০০ এর ভিত্তিতে কোন কিছুর পরিমাণ নির্ণয় করার পদ্ধতি। যেমনঃ ১০০ টি ফলের মধ্যে ৬০টি ফল আম হলে, আমের পরিমাণ ৬০% এবং এর ভগ্নাংশের আকার = ৬০/১০০। অর্থাৎ কোন ভগ্নাংশের হর যদি ১০০ হয় তাহলে ভাগ্নাংশটির লবই হবে ঐ ভগ্নাংশের শতকরার পরিমাণ। কিন্তু যদি ভগ্নাংশটির হর ১০০ না হয়, তাহলে উক্ত ভগ্নাংশকে যদি আমরা এমনভাবে পরিবর্তন করি যেন তার হর ১০০ হয়, সেক্ষেত্রে নতুন ভগ্নাংশের লব হবে প্রদত্ত ভগ্নাংশের শতকরার রুপ।
যেমনঃ ধরি, একটি ভগ্নাংশ ৬/১০
এখন, এই ভগ্নাংশকে এমনভাবে পরিবর্তন করি যেন এর হর ১০০ হয় এবং লবও হরের পরিবর্তনের সাথে সঠিক মান বজায় রেখে পরিবর্তন হয় যা নিচে দেখানো হলোঃ
৬/১০ এর হর ও লবকে ১০ দ্বারা গুণ করে পাইঃ
= ৬০/১০০
= ৬০%
এখন, এই কাজটি আমরা সহজে করতে পারি, প্রদত্ত ভগ্নাংশকে আমরা ১০০ দ্বারা গুণ করতে প্রদত্ত ভগ্নাংশের শতকরা রুপ পেয়ে যাব।
৬/১০
= ৬/১০×১০০
= ৬০ অর্থাৎ ৬/১০ এর শতকরা রুপ ৬০%।
নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো (২০৬ পৃষ্ঠা)
১) নিচের ভগ্নাংশ*গুলো ছ*ক কাগজে সবুজ রং ক*রে শতকরায় প্রকাশ করো:
ক) সমাধানঃ
খ) সমাধানঃ
গ) সমাধানঃ
ঘ) সমাধানঃ
২) কোনো পরীক্ষায় মোট ৩০০ নম্বরের মধ্যে তুমি ২৪০ নম্বর পেয়েছ। তাহলে মোট নম্বরের শতকরা কত নম্বর পেলে?
সমাধানঃ
আমি পরীক্ষায় ৩০০ নম্বরের মধ্যে ২৪০ নম্বর পেয়েছি অর্থাৎ একে ভগ্নাংশে প্রকাশ করলে পাই
= ২৪০/৩০০
এখন, হর ৩০০ কে ১০০ তে রুপান্তরের জন্য ভগ্নাংশটির লব ও হরকে ৩ দ্বারা ভাগ করে পাই,
= ৮০/১০০
= ৮০%
অর্থাৎ, আমি শতকরা ৮০ নম্বর পেয়েছি।
অথবা,
২৪০/৩০০
= ২৪০/৩০০×১০০%
= ৮০%
অর্থাৎ, আমি শতকরা ৮০ নম্বর পেয়েছি।
৩) ছবিতে একটি দেয়ালের অংশ রং করা হলো। তাহলে, দেয়ালের শতকরা কত অংশ রং করা হয়েছে?
সমাধানঃ
ছবিতে দেয়ালের ৪ অংশের মধ্যে ৩ অংশে রং করা হয়েছে অর্থাৎ ৩/৪ অংশ রং করা হয়েছে।
এখন,
৩/৪
= ৭৫/১০০
= ৭৫%
৪) নিচে*র ছবিটি*তে মেয়ে শিশুর ছ*বি সম্পূর্ণ ছবি*র কত অংশ?
সমাধানঃ
ছবিতে ৫টি অংশ আছে যার ২টি অংশ হলো মেয়ে শিশুর ছবির অংশ।
অর্থাৎ,
সম্পূর্ণ ছবিতে ২/৫ অংশ হলো মেয়ে শিশুর ছবি।
এখন,
২/৫
= ৪০/১০০
= ৪০%
অর্থাৎ, সম্পূর্ণ ছবিতে মেয়ে শিশুর ছবি হলো = ৪০% = ৪০/১০০ = ২/৫
৫) নিচের ছ*বিতে মো*ট আমে*র শতকরা ক*ত অংশ কাঁচা আম?
সমাধানঃ
ছবিতে ৮টি আমের মধ্যে ৪টি কাঁচা আম।
অতএব, কাঁচা আম মোট আমের ৪/৮ অংশ।
এখন,
৪/৮
= ১/২
= ৫০/১০০
= ৫০%
অর্থাৎ, মোট আমের ৫০% কাঁচা আম।
বার মডেলে শতকরা
কোন বারের নির্দিষ্ট অংশ পূর্নাঙ্গ বারের কত অংশ তা স্কেল ব্যবহার করে শতকরায় প্রকাশ পদ্ধতি হলো বার মডেলে শতকরা। আমরা পাঠ্যবইয়ের ২১০ পৃষ্ঠাতে প্রতিটি বারের কত অংশ সবুজ বা লাল তা উল্লেখিত স্কেলের মাধ্যমে শতকরায় প্রকাশ করেছি। এর জন্য নিন্মোক্ত চিত্রের স্কেল ও বারগুলো লক্ষ্য করি।
#ছবিতে দেখানো স্কেল ব্যবহার করে বারগুলোর শতকরা কত অংশ সবুজ রং এবং শতকরা কত অংশ লাল রং করা আছে নির্ণয় করোঃ
সমাধানঃ
ক) সবুজ অংশ = ৬০% এবং লাল অংশ = ৪০%
খ) সবুজ অংশ = ৫৫% এবং লাল অংশ = ৪৫%
গ) সবুজ অংশ = ৮২% এবং লাল অংশ = ১৮%
ঘ) সবুজ অংশ = ২০% এবং লাল অংশ = ৮০%
#তিশা ২৫০০ টাকা নিয়ে খুলনা থেকে সিলেটে যাওয়ার বাসে উঠল। বাস ভাড়া দিতে হলো ৮০০ টাকা। যাওয়ার পথে বাস থামলে তিশা কিছু খাবার কিনে খেলো। সিলেট পৌঁছানোর পর সে দেখল তার মোট টাকার শতকরা ৮০ ভাগই খরচ হয়ে গেছে।
এখন তুমি কি বলতে পারবে-
ক) বাস ভাড়া তিশার কাছে থাকা মোট টাকার শতকরা কত অংশ?
খ) তিশা মোট কত টাকা খরচ করেছে?
গ) তিশার কাছে কত টাকা অবশিষ্ট ছিল?
ঘ) তিশা কত টাকার খাবার খেয়েছিল?
ঙ) খাবার খরচ মোট টাকার শতকরা কত অংশ?
চ) খাবার খরচ মোট খরচের শতকরা অংশ?
সমাধানঃ
ক)
তিশার কাছে মোট টাকা ছিল ২৫০০ টাকা
এবং বাস ভাড়া দিতে হলো ৮০০ টাকা
তাহলে,
বাস ভাড়া মোট টাকার
= বাস ভাড়া/মোট টাকা × ১০০%
= ৮০০/২৫০০×১০০%
= ৩২%
খ)
প্রশ্নমতে,
তিশা মোট টাকার শতকরা ৮০ ভাগ টাকা খরচ করেছে।
অর্থাৎ, তিশা মোট খরচ করেছে মোট টাকার ৮০%
= ২৫০০ এর ৮০%
= ২৫০০ × ৮০/১০০ টাকা
= ২০০০ টাকা।
গ)
তিশার কাছে মোট ছিল ২৫০০ টাকা
এবং সে মোট খরচ করল ২০০০ টাকা (খ হতে পাই)।
তাহলে, তিশার কাছে অবশিষ্ট ছিল
= মোট টাকা – মোট খরচ
= ২৫০০ টাকা – ২০০০ টাকা
= ৫০০ টাকা।
ঘ)
তিশা মোট খরচ করল ২০০০ টাকা
এবং তিশা মোট বাস ভাড়া চিল ৮০০ টাকা।
অতএব,
তিশার খাবার খরচ
= মোট খরচ – বাস ভাড়া
= ২০০০ টাকা – ৮০০ টাকা
= ১২০০ টাকা।
ঙ)
তিশার কাছে মোট ছিল ২৫০০ টাকা
এবং তিশার খাবার খরচ ১২০০ টাকা।
তাহলে,
খাবার খরচ মোট টাকার
= খাবার খরচ/মোট টাকা×১০০%
= ১২০০/২৫০০×১০০%
= ৪৮%
চ)
তিশা মোট খরচ করল ২০০০ টাকা (খ হতে পাই)
তিশার খাবার খরচ = ১২০০ টাকা (ঘ হতে পাই)
অতএব,
খাবার খরচ মোট খরচের
= খাবার খরচ/মোট খরচ ×১০০%
= ১২০০/২০০০×১০০%
= ৬০%
অনুপাত
সচারাচার আমরা প্রায়ই একই প্রকারের দুটি জিনিসের তুলনা করে থাকি। যেমন ধরা যাক, করিমের উচ্চতা ১৬০ ও তার বোন তুলির উচ্চতা ১৫৩ সে.মি.। এখন কিভাবে তুমি দু’জনের উচ্চতা তুলনা করবে বলে মনে হয়? একটা উপায় হল দুই উচ্চতা বিয়োগ করে পার্থক্য নির্নয় করা। অর্থাৎ, করিমের উচ্চতা তার বোন তুলির চেয়ে (১৬০ – ১৫৩) সে.মি. = ৭ সে.মি. বেশি। এবারে চলো একটা টিকটিকি ও একটা পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের তুলনা করি। মনে করো, টিকটিকির দৈর্ঘ্য ৭ সে.মি. এবং পিপড়ার দৈর্ঘ্য ১ সে.মি.। তাহলে এখানেও টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য (৭-১) সে.মি. বা ৬ সে.মি.।
 |
এখানে দেখা যাচ্ছে, করিম ও তুলির উচ্চতার পার্থক্য এবং টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য একই। কিন্তু করিম ও তুলির উচ্চতার পার্থক্য ৭ সে.মি. এই কথাটা থেকে তাদের উচ্চতার ব্যাপারে যে ধারণা পাওয়া যায়; টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের পার্থক্য ৬ সে.মি. এই কথাটা থেকে যদি তুমি একই ধরনের ধারণা পেয়ে থাক, তাহলে সেটা কতখানি সঠিক হবে? তুমিই নিজেই চিন্তা করে দেখো তো।
এর চেয়ে বরং কয়টি পিঁপড়া পরপর বসিয়ে একটা টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সমান হয় সেটা জানলে এক্ষেত্রে আরও ভালো ধারণা পাওয়া যাবে। যা তুমি টিকটিকির দৈর্ঘ্যকে পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে পাবে অর্থাৎ, ৮টি পিঁপড়া পরপর বসিয়ে একটা টিকটিকির দৈর্ঘ্যের সমান হয়। আবার এভাবেও বলতে পারো, টিকটিকির দৈর্ঘ্য পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের ৭ গুণ বা, টিকটিকি দৈর্ঘ্যে পিঁপড়ার তুলনায় ৭ গুণ বড়।
অর্থাৎ,
ভাগের মাধ্যমে কতগুণ বড় বা ছোট তা আমরা তুলনা করতে পারি। আর ভাগের মাধ্যমে কতগুণ ছোট কিংবা বড় সেই বিষয়ক তুলনাকেই অনুপাত বলে। অনুপাতের গাণিতিক চিহ্ন হলোঃ :।
গাণিতিকিভাবে লেখা হয়,
টিকটিকি ও পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ৭ : ১
আবার, পিঁপড়ার দৈর্ঘ্যকে টিকটিকির দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে পাবে: ১/৭
অর্থাৎ, পিঁপড়ার দৈর্ঘ্য টিকটিকির দৈর্ঘ্যের ৮ ভাগের ১ ভাগের সমান। আবার এভাবেও বলতে পারো, পিঁপড়া দৈর্ঘ্যে টিকটিকির তুলনায় ৭ গুণ ছোট।
গাণিতিকিভাবে লেখা হয়,
পিঁপড়া ও টিকটিকির দৈর্ঘ্যে র অনুপাত = ১ : ৭
কাজেই, অনুপাত মূলত একটা ভগ্নাংশ।
অনুপাতের সাহায্যে বাস্তব সমস্যার সমাধানঃ (২১৪ পৃষ্ঠা)
#শওকতের ভর ৩০ কেজি এবং তার পিতার ভর ৬০ কেজি । শওকতের ভর তার পিতার ভরের কতগুণ?
সমাধানঃ
শওকত ও পিতার ভরের অনুপাত
= ৩০ : ৬০
= ৩০/৬০
= ১/২
= ২ : ১
অতএব, শওকতের ভর পিতার ভরের ১/২ গুণ।
#তোমার শ্রেণির জন্য তথ্য সংগ্রহ করে নিচের খালিঘর পূরণ করো। (২১৫ পৃষ্ঠা)
ছাত্র সংখ্যা = □
ছাত্রী সংখ্যা = □
মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = □
* ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত
= □/□ = □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □
* ছাত্র সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত
= □/□ = □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □
* ছাত্রী সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত
= □/□ = □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □
* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্র সংখ্যার অনুপাত
= □/□ = □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □
* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত
= □/□ = □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে) = □ : □
সমাধানঃ
ছাত্র সংখ্যা = ২০
ছাত্রী সংখ্যা = ১৮
মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা = ৩৮
* ছাত্র-ছাত্রীর সংখ্যার অনুপাত
= ২০/১৮ = ১০/৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১০ : ৯
* ছাত্র সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত
= ২০/৩৮ = ১০/১৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১০ : ১৯
* ছাত্রী সংখ্যা-মোট শিক্ষার্থী সংখ্যার অনুপাত
= ১৮/৩৮ = ৯/১৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ৯ : ১৯
* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্র সংখ্যার অনুপাত
= ৩৮/২০ = ১৯/১০ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১৯ : ১০
* মোট শিক্ষার্থী সংখ্যা ও ছাত্রী সংখ্যার অনুপাত
= ৩৮/১৮ = ১৯/৯ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে) = ১৯ : ৯
#নিচের আয়তাকার ক্ষেত্রের সবগুলো অংশ সমান দৈর্ঘ্যের।
সবুজ রং করা অংশ এবং হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = □/□ = □ : □
হলুদ রং করা অংশ এবং সবুজ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = □/□ = □ : □
সবুজ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = □/□ = □ : □
হলুদ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = □/□ = □ : □
সমাধানঃ
আয়তার ক্ষেত্রটিতে সবুজ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য আছে ২ একক ও হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য আছে ৫ একক, অর্থাৎ সম্পূর্ণ রং করা অংশের দৈর্ঘ্য আছে (২+৫) একক = ৭ একক।
তাহলে,
সবুজ রং করা অংশ এবং হলুদ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ২/৫ = ২ : ৫
হলুদ রং করা অংশ এবং সবুজ রং করা অংশের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ৫/২ = ৫ : ২
সবুজ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ২/৭ = ২ : ৭
হলুদ রং করা অংশ এবং সম্পূর্ণ আয়তাকার ক্ষেত্রের দৈর্ঘ্যের অনুপাত = ৫/৭ = ৫ : ৭
#রফিক দোকান থেকে ৬ প্যাকেট লাল কলম এবং ২ প্যাকেট নীল কলম কিনল। (২১৬ পৃষ্ঠা)
লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত
= □/□
= □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)
= □ : □
লাল এবং নীল কলমের প্রতিটি প্যাকেটে ১০ টি করে কলম থাকে।
তাহলে, রফিক লাল কলম কিনেছে = ৬ × □ = □ টি
এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × □ = □ টি
লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত
= □/□
= □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)
= □ : □
লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?
□ হ্যাঁ □না
সমাধানঃ
লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত
= ৬/২
= ৩/১ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে)
= ৩ : ১
লাল এবং নীল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১০টি করে কলম থাকে।
তাহলে, রফিক লাল কলম কিনেছে = ৬ × ১০ = ৬০ টি
এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × ১০ = ২০ টি
লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত
= ৬০/২০
= ৩/১ (লব ও হরকে ২০ দ্বারা ভাগ করে)
= ৩ : ১
লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?
উত্তরঃ হ্যাঁ
#মনিকা দোকান থেকে ৬ প্যাকেট লাল কলম এবং ২ প্যাকেট নীল কলম কিনল।
লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত
= □/□
= □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)
= □ : □
লাল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১০টি করে কলম থাকে। নীল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১২টি করে কলম থাকে।
তাহলে, মনিকা লাল কলম কিনেছে = ৬ × □ = □ টি
এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × □ = □ টি
লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত
= □/□
= □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)
= □ : □
লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?
□ হ্যাঁ □না
সমাধানঃ
লাল এবং নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত
= ৬/২
= ৩/১ (লব ও হরকে ২ দ্বারা ভাগ করে)
= ৩ : ১
লাল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১০টি করে কলম থাকে। নীল কলমের প্রতি প্যাকেটে ১২টি করে কলম থাকে।
তাহলে, মনিকা লাল কলম কিনেছে = ৬ × ১০ = ৬০ টি
এবং, নীল কলম কিনেছে = ২ × ১২ = ২৪ টি
লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত
= ৬০/২৪
= ৫/২ (লব ও হরকে ১২ দ্বারা ভাগ করে)
= ৫ : ২
লাল কলম ও নীল কলমের প্যাকেট সংখ্যার অনুপাত এবং লাল কলম ও নীল কলম সংখ্যার অনুপাত কি একই?
উত্তরঃ না
#ছবিতে দেখানো শিশুটির ভর ও মাছগুলোর ভরের অনুপাত (২১৭ পৃষ্ঠা)
= □/□
= □/□ (লব ও হরকে □ দ্বারা ভাগ করে)
= □ : □
সমাধানঃ
ছবিতে, শিশুটির ভর = ৪.২ কেজি
এবং মাছগুলোর ভর = ১.৪ কেজি।
তাহলে,
শিশুটির ভর ও মাছগুলোর ভরের অনুপাত
= ৪.২/১.৪
= ৩/১ (লব ও হরকে ১.৪ দ্বারা ভাগ করে)
= ৩ : ১
#আবার মনে করি, ভাইয়ের বয়স ৩ বছর ও বোনের বয়স ৬ মাস। তাদের বয়সের অনুপাত বের কত? (২১৮ পৃষ্ঠা)
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
ভাইয়ের বয়স = ৩ বছর = ৩×১২ মাস = ৩৬ মাস [১ বছর = ১২ মাস বলে]
এবং বোনের বয়স = ৬ মাস।
তাহলে,
তাদের বয়সের অনুপাত
= ৩৬/৬
= ৬/১
= ৬ : ১
#একটি শিশুর বয়স ৬ বছর এবং অন্য একটি শিশুর বয়স ৯ বছর ৬ মাস। তাহলে শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত নির্ণয় কর। (২১৮ পৃষ্ঠা)
সমাধানঃ
১ম শিশুটির বয়স
= ৬ বছর
= ৬×১২ মাস
= ৭২ মাস
২য় শিশুটির বয়স
= ৯ বছর ৬ মাস
= ৯×১২ মাস + ৬ মাস
= ১০৮ মাস + ৬ মাস
= ১১৪ মাস
অতএব,
শিশু দুইটির বয়সের অনুপাত
= ৭২/১১৪
= ১২/১৯
=১২ : ১৯
অনুপাত বিষকর সমস্যাবলিঃ
এখানে আমরা ২১৯ পৃষ্ঠার অনুপাত বিষয়ক সমস্যাবলির সমাধান দিয়েছি। আমাদের সাথে থাক এবং সকল সমাধান নিয়ে নাও। ধন্যবাদ।
এবার অনুপাতের ধা র ণা অনুসারে নি চে র সমস্যাগুলোর স মা ধা ন করো:
১) নিচের সংখ্যাদ্বয়ের প্রথম রাশি ও দ্বিতীয় রাশির অনুপাত নির্ণয় করো:
(ক) ২৫ ও ৩৩৫
সমাধানঃ
১ম রাশি = ২৫, ২য় রাশি = ৩৩৫
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ২৫ : ৩৩৫
= ৫ : ৬৭ [উভয় রাশিকে ৫ দ্বারা ভাগ করে]
(খ) ৭১/৩ ও ৯২/৫
সমাধানঃ
১ম রাশি = ৭১/৩ = ২২/৩, ২য় রাশি = ৯২/৫ = ৪৭/৫
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ২২/৩ : ৪৭/৫
= ২২×১৫/৩ : ৪৭×১৫/৫ [উভয় রাশিকে ১৫ দ্বারা গুণ করে]
= ২২×৫ : ৪৭×৩
= ১১০ : ১৪১
(গ) ১.২৫ ও ৭.৫
সমাধানঃ
১ম রাশি = ১.২৫, ২য় রাশি = ৭.৫
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ১.২৫ : ৭.৫
= ১২৫ : ৭৫০ [উভয় রাশিকে ১০০ দ্বারা গুণ করে]
= ১ : ৬ [উভয় রাশিকে ১২৫ দ্বারা ভাগ করে]
(ঘ) ৮২/৩ ও ০.১২৫
সমাধানঃ
১ম রাশি = ৮২/৩, ২য় রাশি = ০.১২৫
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ৮২/৩ : ০.১২৫
= ২৬/৩ : ০.১২৫
= ২৬/৩ : ১২৫/১০০০
= ২৬/৩ : ১/৮
= ২৬ : ৩/৮ [উভয় রাশিকে ৩ দ্বারা গুণ করে]
= ২৬×৮ : ৩ [উভয় রাশিকে ৮ দ্বারা গুণ করে]
= ২০৮ : ৩
(ঙ) ১ বছর ২ মা স ও ৭ মা স
সমাধানঃ
১ম রাশি = ১ বছর ২ মাস = ১২ মাস + ২ মাস = ১৪ মাস,
২য় রাশি = ৭ মাস
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ১৪ : ৭
= ২ : ১ [উ ভ য় রা শি কে ৭ দ্বা রা ভাগ করে]
(চ) ৭ কেজি ও ২ কেজি ৩০০ গ্রাম
সমাধানঃ
১ম রাশি = ৭ কেজি = ৭×১০০০ গ্রাম = ৭০০০ গ্রাম,
২য় রাশি = ২ কেজি ৩০০ গ্রাম = ২×১০০০ গ্রাম + ৩০০ গ্রাম = ২৩০০ গ্রাম
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ৭০০০ : ২৩০০
= ৭০ : ২৩ [উভয় রাশিকে ১০০ দ্বারা ভাগ করে]
(ছ) ২ টাকা ও ৪০ পয়সা
সমাধানঃ
১ম রাশি = ২ টাকা = ২×১০০ পয়সা = ২০০ পয়সা,
২য় রাশি = ৪০ পয়সা
তাহলে, নির্নেয় অনুপাত
= ২০০ : ৪০
= ৫ : ১ [উভয় রাশিকে ৪০ দ্বারা ভাগ করে]
২) তুমি ক্লাসে কত*গুলো বই ও কত*গুলো খাতা নিয়ে এসেছ তা গণনা করে নিচের কাজ*গুলো করো:
ক) খাতা ও বই*য়ের সংখ্যার অনুপাত নি*র্ণয় করো।
খ) খাতা*গুলোর মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা এবং বইগুলোর মোট পৃষ্ঠা*সংখ্যার অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ক)
আমি ক্লাসে ৭টি বই ও ৫টি খাতা নিয়ে এসেছি।
তাহলে,
খাতা ও বইয়ের সংখ্যার অনুপাত
= ৫ : ৭
খ)
প্রতিটি খাতায় ১০০টি পৃষ্ঠা ও প্রতিটি বইয়ে ১৫০টি পৃষ্ঠা আছে।
তাহলে,
৫টি খাতায় মোট পৃষ্ঠা আছে = ৫×১০০ টি = ৫০০ টি।
৭টি বইয়ে মোট পৃষ্ঠা আছে = ৭×১৫০ টি = ১০৫০ টি
অতএব,
খাতাগুলোর মোট পৃষ্ঠা সংখ্যা এবং বইগুলোর মোট পৃষ্ঠাসংখ্যার অনুপাত
= ৫০০ : ১০৫০
= ১০ : ২১ [উভয়পক্ষকে ৫০ দ্বারা ভাগ করে]
৩) স্কেলের সাহায্যে তোমার গণিত বইয়ের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ মেপে বের করো এবং এদের মধ্যকার অনুপাত নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
স্কেলের সাহায্যে আমি আমার গণিত বইয়ের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পেলাম যথাক্রমে ৮ ইঞ্চি ও ৬ ইঞ্চি।
তাহলে, নির্নেয় অনুপাতঃ
= ৮ : ৬
= ৪ : ৩ [উভয়পক্ষকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
৪) তোমার শ্রেণি*কক্ষ, বাড়িতে বা অন্য কোনো স্থা*নে ৩টি ভিন্ন ভিন্ন টেবিল খজেুঁ বের করো।
ক) প্রতিটি টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ পরি*মাপ করো এবং তাদের মধ্য*কার অনু*পাত নির্ণয় করো।
খ) কোন টেবিলের ক্ষেত্রে দৈ*র্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত সব*চেয়ে বেশি তা নির্ণয় করো।
সমাধানঃ
ক)
১ম টেবিল, ২য় টেবিল ও ৩য় টেবিল যথাক্রমে আমি আমার শ্রেণিকক্ষে, আমার বাড়ির ডাইনিঙয়ে ও আমার পড়ার কক্ষে খুঁজে পেলাম।
১ম টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৪ ফুট ও ৩ ফুট
অতএব, ১ম টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত
= ৪ : ৩
২য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৬ ফুট ও ৩ ফুট
অতএব, ২য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত
= ৬ : ৩
= ২ : ১ [উভয়পক্ষকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]
৩য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে ৩ ফুট ও ২ ফুট
অতএব, ৩য় টেবিলের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত
= ৩ : ২
(খ)
১ম টেবিলের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত অনুপাত = ৪ : ৩ = ৪/৩
২য় টেবিলের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত অনুপাত = ২ : ১ = ২/১
৩য় টেবিলের ক্ষেত্রে প্রাপ্ত অনুপাত = ৩ : ২ = ৩/২
অনুপাত ত্রয়ের হরগুলোর লয়াসগু = ৬
৬ ÷৩ = ২, ৪×২/৩×২ = ৮/৬
৬ ÷১ = ৬, ২×৬/১×৬ = ১২/৬
৬ ÷২ = ৩, ৩×৩/২×৩ = ৯/৬
অর্থাৎ, ভগ্নাংশত্রয়কে সমহরে রুপান্তরের পরে আমরা দেখি ভগ্নাংশগুলোর ক্ষেত্রে এদের লবগুলোকে তুলনা করে পাই, ১২>৯>৮
তাহলে, ১২/৬ বা ২/১ বা ২য় টেবিলের ক্ষেত্রে দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত সবচেয়ে বেশি।
৫) তুমি কি এমন কোনো গল্প বা ঘটনা জা*নো যেখানে ‘অনুপাত’ শব্দ*টা ব্যব*হার করা হয়েছে? অথবা কোথাও কি ‘অনুপাত’ শব্দ*টি বা অনুপাত চিহ্ন ‘:’ লেখা দেখে*ছ? এরকম কয়েকটি বাস্তব ঘটনা খজেুঁ বের করো এবং কীভাবে খজেুঁ পেলে বা কোথায় পেয়েছ তার ছবি অথবা বর্ণনা লিখে শিক্ষক ও তোমার সহপাঠীদেরকে বলো।
সমাধানঃ
(১) আমাদের জাতীয় পয়াকার দৈর্ঘ্য ও প্রস্থের অনুপাত
= ১০ : ৬
এবং পতাকার দৈর্ঘ্য ও বৃত্তের ব্যাসার্ধের অনুপাত
= ৫ : ১
(২) বৃত্তের পরিধি ও ব্যাসের অনুপাত
= ২২ : ৭
৬) তোমাদের চারপাশে বাস্তবে দেখেছ বা শুনেছ এমন কিছু উদাহরণ খজেুঁ বের করো যেখানে একই রকম বা সমজাতীয় দুইটি রাশির মধ্যে তুলনা করা হয়েছে কিন্তু একক ভিন্ন ভিন্ন ছিল। তারপর কীভাবে ভিন্ন এককগুলোকে একই এককে রুপান্তর করা হলো তা লেখো।
সমাধানঃ
প্রশ্ন অনুসারে আমি রাসেল ও তার পিতার উচ্চতার ক্ষেত্রে দুইটি ভিন্ন এককে তুলনা করতে দেখেছি।
এখানে,
রাসেলের পিতার উচ্চতা ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি
এবং রাসেলের উচ্চতা ৩৬ ইঞ্চি
এখন, ৫ ফুট ৬ ইঞ্চি কে একই একক ইঞ্চিতে রূপান্তরঃ
৫ ফুট ৬ ইঞ্চি
= ৫×১২ ইঞ্চি + ৬ ইঞ্চি
= ৬০ + ৬ ইঞ্চি
= ৬৬ ইঞ্চি
অর্থাৎ, রাসেল ও তার পিতার উচ্চতার অনুপাত
= ৩৬ : ৬৬
= ৬ : ১১
আবার,
করিম সাহেবের বয়স ৩০ বছর এবং তার বাচ্চার বয়স ৬ মাস।
৩০ বছরকে একই একক মাসে রুপান্তরঃ
৩০ বছর
= ৩০×১২ মাস
= ৩৬০ মাস
তাহলে,
করিম সাহেব ও তার বাচ্চার বয়সের অনুপাত
= ৩৬০ : ৬
= ৬০ : ১
সমতুল অনুপাত
কোনো ভগ্নাংশের লব ও হরকে শুন্য (০) ছাড়া অন্য কোনো সংখ্যা দিয়ে গুণ বা ভাগ করলে ভগ্নাংশের মানের পরিবর্তন হয় না এবং সমতুল ভগ্নাংশ পাওয়া যায়। কোন ভগ্নাংশকে লব ও হরের গসাগু দিয়ে ভাগ করে ভগ্নাংশটিকে লঘিষ্ঠ আকারে প্রকাশ করা যায়। আমরা জানি, অনুপাত একটি ভগ্নাংশ। অনুপাতকে ভগ্নাংশে রূপান্তর করা হলে- অনুপাতের প্রথম পদটি ভগ্নাংশের লব হিসাবে লেখা হয় এবং একে বলা হয় অনুপাতের পূর্ব রাশি। অনুপাতের দ্বিতীয় পদটি ভগ্নাংশের হর হিসাবে লেখা হয় এবং একে বলা হয় অনুপাতের উত্তর রাশি। তাহলে দেখা যাচ্ছে, সমতুল ভগ্নাংশ ও সমতুল অনুপাত মূলত সমার্থক। অর্থাৎ, অনুপাতের ক্ষেত্রে আমরা বলতে পারি- অনুপাতের পূর্ব ও উত্তর রাশিকে শূন্য (০) ব্যতীত কোনো সংখ্যা দ্বারা গুণ বা ভাগ করলে অনুপাতের মানের কোনো পরিবর্তন হয় না এবং প্রাপ্ত অনুপাতগুলোকে সমতুল অনুপাত বলা হয়। সমতুল ভগ্নাংশ গঠন করার উপায়েই সমতুল অনুপাত গঠন সম্ভব। একটি অনুপাতের রাশি দুইটিকে তাদের গসাগু দ্বারা ভাগ করে অনুপাতটিকে সরলীকরণ করা যায়।
উদাহরণঃ
২ : ৩= ২/৩ = ২×২/৩×২ = ৪/৬ =৪ : ৬
এবং,
৬ : ১২= ৬/১২ = ৬÷২/১২÷২ = ৩/৬ =৩ : ৬
নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করো:
১) নিচের অনুপাতগুলোকে সরলীকরণ করো
(ক) ৯ : ১২
সমাধানঃ
৯ : ১২
= ৯/১২
= ৩/৪
= ৩ : ৪
(খ) ১৫ : ২১
সমাধানঃ
১৫ : ২১
= ১৫/২১
= ৫/৭
= ৫ : ৭
(গ) ৪৫ : ৩৬
সমাধানঃ
৪৫ : ৩৬
= ৪৫/৩৬
= ৫/৪
= ৫ : ৪
(ঘ) ৬৫ : ২৬
সমাধানঃ
৬৫ : ২৬
= ৬৫/২৬
= ৫/২
= ৫ : ২
২) নিচের সমতুল অনুপাতগুলোকে চিহ্নিত করো
(১) ১২ : ১৮; (২) ৬ : ১৮; (৩) ১৫ : ১০; (৪) ৩ : ২; (৫) ৬ : ৯; (৬) ২ : ৩; (৭) ১ : ৩; (৮) ২ : ৬; (৯) ১২ : ৮
সমাধানঃ
এখানে,
১ম অনুপাত
= ১২ : ১৮
= ১২/১৮
= ২/৩
২য় অনুপাত
= ৬ : ১৮
= ৬/১৮
= ১/৩
৩য় অনুপাত
= ১৫ : ১০
= ১৫/১০
= ৩/২
৪র্থ অনুপাত
= ৩ : ২
= ৩/২
৫ম অনুপাত
= ৬ : ৯
= ৬/৯
= ২/৩
৬ষ্ট অনুপাত
= ২ : ৩
= ২/৩
৭ম অনুপাত
= ১ : ৩
= ১/৩
৮ম অনুপাত
= ২ : ৬
= ২/৬
= ১/৩
৯ম অনুপাত
= ১২ : ৮
= ১২/৮
= ৩/২
অর্থাৎ, অনুপাতগুলোর সরলীকৃত ভগ্নাংশগুলোর তুলনা করে পাই,
৬ :৯; ১২ : ১৮ ও ২ :৩ সমতুল অনুপাত
৬ : ১৮; ১ : ৩ ও ২ : ৬ সমতুল অনুপাত
১৫ : ১০; ৩ : ২ ও ১২ : ৮ সমতুল অনুপাত।
৩) কোনো একটি স্কুলে ৪৫০ জন ছেলে এবং ৫০০ জন মেয়ে আছে। স্কুলের ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাতকে সরলীকৃত আকারে লেখো।
সমাধানঃ
প্রদত্ত স্কুলে ছেলে ও মেয়ের সংখ্যার অনুপাত = ৪৫০ : ৫০০
এখন,
৪৫০ : ৫০০
= ৪৫০/৫০০
= ৯/১০
= ৯ : ১০
অতএব, নির্নেয় উত্তরঃ ৯ : ১০
৪) নিচের সমতুল অনুপাতগুলোর খালিঘর পূরণ করো
(ক) ২ :৩ = ৮ :⬜
সমাধানঃ
২ : ৩ = ৮ : ⬜
বা, ২/৩ = ৮/⬜
বা, ২×⬜ = ৩×৮
বা, ২×⬜ = ২৪
বা, ⬜ = ২৪/২
বা, ⬜ = ১২
(খ) ৫ : ৬ = ⬜ : ৩৬
সমাধানঃ
৫ : ৬ = ⬜ : ৩৬
বা, ৫/৬ = ⬜/৩৬
বা, ৬×⬜ = ৫×৩৬
বা, ⬜ = ৫×৩৬/৬
বা, ⬜ = ৫×৬
বা, ⬜ = ৩০
(গ) ৭ :⬜ = ৪২ :৫৪
সমাধানঃ
৭ : ⬜ = ৪২ : ৫৪
বা, ৭/⬜ = ৪২/৫৪
বা, ৪২×⬜ = ৭×৫৪
বা, ⬜ = ৭×৫৪/৪২
বা, ⬜ = ৭×৬×৯/৬×৭
বা, ⬜ = ৯
(ঘ)⬜ : ৯ = ৬৩ : ৮১
সমাধানঃ
⬜ : ৯ = ৬৩ : ৮১
বা, ⬜/৯ = ৬৩/৮১
বা, ৮১×⬜ = ৯×৬৩
বা, ⬜ = ৯×৬৩/৮১
বা, ⬜ = ৯×৭×৯/৯×৯
বা, ⬜ = ৭
৫) একটি হলঘরের প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের অনুপাত ২: ৫। প্রস্থ ও দৈর্ঘ্যের সম্ভাব্য মান বসিয়ে সারণিটি পূরণ করো।
প্রস্থ | ১০ | ৪০ | ১৬০ | ২.২৫ | ১৫৩/৫ | |||
দৈর্ঘ্য | ২৫ | ৫০ | ২০০ | ৩/৪ |
সমাধানঃ
দেওয়া আছে,
প্রস্থ : দৈর্ঘ্য = ২ : ৫
বা, প্রস্থ/দৈর্ঘ্য = ২/৫
বা, দৈর্ঘ্য×২ = প্রস্থ×৫
বা, দৈর্ঘ্য = ৫/২×প্রস্থ
বা, প্রস্থ = ২/৫×দৈর্ঘ্য
তাহলে,
দৈর্ঘ্য যখন ৫০ তখন প্রস্থ
= ২/৫×৫০
= ২০
প্রস্থ যখন ৪০ তখন দৈর্ঘ্য
= ৫/২×৪০
= ১০০
দৈর্ঘ্য যখন ২০০ তখন প্রস্থ
= ২/৫×২০০
= ৮০
প্রস্থ যখন ১৬০ তখন দৈর্ঘ্য
= ৫/২×১৬০
= ৪০০
দৈর্ঘ্য যখন ৩/৪ তখন প্রস্থ
= ২/৫×৩/৪
= ৬/২০
= ৩/১০
প্রস্থ যখন ২.২৫ তখন দৈর্ঘ্য
= ৫/২×২.২৫
= ৫.৬২৫
প্রস্থ যখন ১৫৩/৫ তখন দৈর্ঘ্য
= ৫/২×১৫৩/৫
= ৫/২×৭৮/৫
= ৩৯
তাহলে এই মানগুলো বসিয়ে পূরনকৃত সারনীটি নিন্মরুপঃ
প্রস্থ | ১০ | ২০ | ৪০ | ৮০ | ১৬০ | ৩/১০ | ২.২৫ | ১৫৩/৫ |
দৈর্ঘ্য | ২৫ | ৫০ | ১০০ | ২০০ | ৪০০ | ৩/৪ | ৫.৬২৫ | ৩৯ |
# তোমাদে*র শিক্ষা প্রতিষ্ঠানে*র যেকোনো তিনটি কক্ষে*র দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ কত তা পরিমাপ করো অথবা শিক্ষকে*র সহায়তায় তথ্য সংগ্রহ করো।
# প্রতিটি কক্ষে*র দৈর্ঘ্য ও প্রস্থে*র অনুপাত বের করো।
সমাধানঃ
আমার বিদ্যালয়ের তিনটি কক্ষের দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ যথাক্রমে
৫ মিটার ও ৩ মিটার;
৯ মিটার ও ৬ মিটার;
৮ মিটার ও ৬ মিটার।
এখন,
দৈর্ঘ্য ৫ মিটার ও প্রস্থ ৩ মিটার এর জন্য অনুপাত = ৫ : ৩;
দৈর্ঘ্য ৯ মিটার ও প্রস্থ ৬ মিটার এর জন্য অনুপাত
= ৯ : ৬
= ৩ : ২ [উত্তর ও পূর্ব রাশিকে ৩ দ্বারা ভাগ করে]
দৈর্ঘ্য ৮ মিটার ও প্রস্থ ৬ মিটার এর জন্য অনুপাত
= ৮ : ৬
= ৪ : ৩ [উত্তর ও পূর্ব রাশিকে ২ দ্বারা ভাগ করে]
0 Comments