4 Math 13

অধ্যায় ১৩ঃ রেখা এবং কোণ

১৩.১ রেখা

১. আমাদের চারপাশের লম্ব রেখাসমূহ খুঁজে বের কর।

সমাধানঃ আমাদের চারপাশে অনেক কিছু রয়েছে যাতে আমরা লম্ব রেখা খুঁজে পাই। যেমনঃ জানালা, বইয়ের তাক, মই, দরজা ইত্যাদি।

২. নিচের ছবিগুলোতে পরস্পর ছেদ করবেনা বা মিলিত হবে না এমন কোন রেখা রয়েছে কি?

সমাধানঃ 

হ্যাঁ রয়েছে, গ চিত্রে দুইটি রেখা একে অপরকে ছেদ করবে না কারন রেখাদ্বয় সমান্তরাল আর সমান্তরাল রেখাদ্বয় সব সময় একে অপর থেকে সমান দূরত্বে থাকে এবং কখনো একে অপরের সাথে মিলিত হয় না। যেমন-রেললাইন।

১. আমাদের চারপাশে সমান্তরাল রেখাসমূহ খুঁজে বের কর।

সমাধানঃ

আমাদের চারপাশে সমান্তরাল রেখাসমূহ নিন্মরূপঃ
রেললাইন, দেওয়াল, মই, দরজা, জানাল ইত্যাদি।

১৩.২ কোণ

১. ৩০^০,৪৫^০,৬০^০ এবং ৯০^০ কোন খুঁজে বের করঃ

সমাধানঃ
কোণ ক পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)                 চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ক শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)               কখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)             কগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ ক এর পরিমাপ ৪৫^০

কোণ খ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)                 চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে খ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)               খগ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)             খক বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ খ এর পরিমাপ ৬০^০

কোণ গ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোন পরিমাপ করি-
(i)                 চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে গ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)               গখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)             গক বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ গ এর পরিমাপ ৯০^০

কোণ ঘ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)                 চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ঘ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)               ঘখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)             ঘক বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ ঘ এর পরিমাপ ৩০^০

২. কোণগুলোর আকৃতি পরিমাপ করঃ

সমাধানঃ

কোণ ক পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)              চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ক শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)                কখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iiii)              কগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ ক এর পরিমাপ ৫৫^০

কোণ খ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)              চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে খ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)                খঘ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)              খগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ খ এর পরিমাপ ২০^০

কোণ গ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোন পরিমাপ করি-
(i)              চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে গ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)                গখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)              গঘ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ গ এর পরিমাপ ৯০^০

কোণ ঘ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)              চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ঘ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)                ঘখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)              ঘগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ ঘ এর পরিমাপ ১২৫^০

কোণ ঙ পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-
(i)                 চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ঘ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।
(ii)               ঙখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।
(iii)             ঙগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাথ নিই।
সুতরাং কোণ ঘ এর পরিমাপ ১৮০^০

৩. নিচের ত্রিকোণী সেটের কোণগুলো পরিমাপ করি।

সমাধানঃ

প্রদত্ত কোণগুলোর পরিমাপ নিচে দেখানো হলোঃ

৩. নিচের নির্দেশিত পরিমাপের কোণগুলো আঁকঃ

(ক) ৩০^০  (খ)৭৫^০  (গ)৯০^০   (ঘ)১৩৫^০   (ঙ)১৮০^০

সমাধানঃ

(ক) ৩০^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(i) খগ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।
(ii) খ বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং খগ রেখাকে ০° বরাবর মিলাই।
(iii) খগ রেখার বামপাশে ৩০° পরিমাপে একটি বিন্দু ক নিই।
(iv) চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে খ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।
তাহলে, ∠কখগ=৩০° পাওয়া গেল।

(খ) ৭৫^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(i) কখ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।
(ii) ক বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং কখ রেখাকে ০° বরাবর মিলাই।
(iii) কখ রেখার বামপাশে ৭৫° পরিমাপে একটি বিন্দু গ নিই।
(iv) চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে গ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।
তাহলে, ∠খকগ=৭৫° পাওয়া গেল।

(গ) ৯০^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(i) কখ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।
(ii) ক বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং কখ রেখাকে ০° বরাবর মিলাই।
(iii) কখ রেখার বামপাশে ৯০° পরিমাপে একটি বিন্দু গ নিই।
(iv) চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে গ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।
তাহলে, ∠খকগ=৯০° পাওয়া গেল।

(ঘ) ১৩৫^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ
(i) খগ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।
(ii) খ বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং খগ রেখাকে ০° বরাবর মিলাই।
(iii) খগ রেখার বামপাশে ১৩৫° পরিমাপে একটি বিন্দু ক নিই।
(iv) চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে খ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।
তাহলে, ∠কখগ=১৩৫° পাওয়া গেল।

(ঙ) ১৮০^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(i) কখ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।
(ii) ক বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং কখ রেখাকে ০° বরাবর মিলাই।
(iii) কখ রেখার বামপাশে ১৮০° পরিমাপে একটি বিন্দু গ নিই।
(iv) চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে গ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।
তাহলে, ∠খকগ=১৮০° পাওয়া গেল।

৪. লুকায়িত কোণগুলো খুঁজে বের করঃ

সমাধানঃ

১ম চিত্রে, ৩০^০ কোণ ও লুকায়িত কোণ একে অপরের পূরক কোণ।
অতএব, লুকায়িত কোণ=৯০^০-৩০^০=৬০^০
২য় চিত্রে,
লুকায়িত কোণ ও ১১০^০ কোণ একে অপরের সম্পূরক কোণ।
অতএব, লুকায়িত কোণ=১৮০^০-১১০^০=৭০^০

৫. পরিমাপ না করে ∠ক,∠খ,∠গ,∠ঘ এবং ∠ঙ নির্ণয় করঃ

সমাধানঃ

∠ক নির্ণয়ঃ
∠ক ও ৬০^০ পরিমাপের কোণ পরস্পর সম্পপূরক কোণ।
∴ ∠ক+৬০^০=১৮০^০
বা, ∠ক=১৮০^০-৬০^০
বা, ∠ক=১২০^০

∠খ নির্ণয়ঃ

∠খ সমকোণ হওয়ায় ∠খ=৯০^০

∠গ নির্ণয়ঃ

∠গ ও ২০^০ পরিমাপের কোণ পরস্পর পূরক কোণ।
∴ ∠গ+২০^০=৯০^০
বা, ∠গ=৯০^০-২০^০
বা, ∠গ=৭০^০

∠ঘ নির্ণয়ঃ

∠ঘ ও ৪০^০ কোণ পরস্পর বিপ্রতীপ কোণ।
∴ ∠ ঘ=৪০^০

∠ঙ নির্ণয়ঃ

∠ঙ ও ৪০^০ পরিমাপের কোণ পরস্পর সম্পপূরক কোণ।

∴ ∠ঙ+৪০^০=১৮০^০
বা, ∠ঙ=১৮০^০-৪০^০
বা, ∠ঙ=১৪০^০

৬. ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা দ্বারা সৃষ্ট কোণগুলো বল।

সমাধানঃ
(১) নং ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা দ্বারা সৃষ্ট কোণ সমকোণ।
(২) নং ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা দ্বারা সৃষ্ট কোণ সূক্ষ্মকোণ।
(৩) নং ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা দ্বারা সৃষ্ট কোণ সরলকোণ।
(৪) নং ঘড়ির ঘণ্টা এবং মিনিটের কাঁটা দ্বারা সৃষ্ট কোণ সূক্ষ্মকোণ।

১৩.৩ অনুশীলনী

১. নিচের কোণগুলো নামকরণ করঃ

সমাধানঃ
প্রদত্ত কোণগুলোর নামকরণ করা হলোঃ
কোণ                            নাম
∠ক                              স্থূলকোণ
∠খ                               সমকোণ
∠গ                               সরলকোণ
∠ঘ                               সূক্ষ্মকোণ

২. একটি চাঁদা দিয়ে কোণগুলো পরিমাপ করঃ

সমাধানঃ

কোণ ক পরিমাপকরণঃ
চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-

(vii)            চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে ক শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।

(viii)          কখ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।

(ix)              কগ বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাঠ নিই।

সুতরাং কোণ ক এর পরিমাপ ১৫^০

কোণ খ পরিমাপকরণঃ

চাঁদার সাহায্যে কোণ পরিমাপ করি-

(vii)            চাঁদার কেন্দ্রবিন্দুকে খ শীর্ষবিন্দুতে স্থাপন করি।

(viii)          খগ বাহুকে চাঁদার ০^০ বরাবর মিলাই।

(ix)              খক বাহু চাঁদার যে দাগটির সাথে মিলিত হয় তার পাঠ নিই।

সুতরাং কোণ খ এর পরিমাপ ১১৫^০

৩. নিচের কোণগুলো একটি চাঁদার সাহায্যে আঁকঃ

(ক) ২৫^০   (খ) ১৭৫^০ (গ) ৯০^০ (ঘ) ১৮০^০

(ক) ২৫^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

      (v)                খগ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।

(vi)              খ বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং খগ রেখাকে ০^০ বরাবর মিলাই।

(vii)            খগ রেখার বামপাশে ২৫^০ পরিমাপে একটি বিন্দু ক নিই।

(viii)          চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে খ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।

তাহলে, ∠কখগ=২৫^০ পাওয়া গেল।

(খ) ১৭৫^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(v)                খগ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।

(vi)              ক বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং খগ রেখাকে ০^০ বরাবর মিলাই।

(vii)            খগ রেখার বামপাশে ১৭৫^০ পরিমাপে একটি বিন্দু ক নিই।

(viii)          চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে খ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।

তাহলে, ∠কখগ=৭৫^০ পাওয়া গেল।

(গ) ৯০^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(v)                খগ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।

(vi)              খ বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং কখ রেখাকে ০^০ বরাবর মিলাই।

(vii)            খগ রেখার বামপাশে ৯০^০ পরিমাপে একটি বিন্দু ক নিই।

(viii)          চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে খ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।

তাহলে, ∠কখগ=৯০^০ পাওয়া গেল।

(ঘ) ১৮০^০  কোণ নিচে আঁকা হলোঃ

অঙ্কনের বিবরণঃ

(v)                কখ যেকোনো সরলরেখা আঁকি।

(vi)              খ বিন্দুতে চাঁদার কেন্দ্রবিন্দু স্থাপন করি এবং খগ রেখাকে ০^০ বরাবর মিলাই।

(vii)            কখ রেখার বামপাশে ১৮০^০ পরিমাপে একটি বিন্দু গ নিই।

(viii)          চাঁদা সরিয়ে ফেলে স্কেলের সাহায্যে ক থেকে গ বিন্দু পর্যন্ত রেখা টানি।

তাহলে, ∠খকগ=১৮০^০ পাওয়া গেল।

৪. লুকায়িত কোণগুলো নির্ণয় করঃ

সমাধানঃ
১ম চিত্রে, লুকায়িত কোণ এবং ∠৩৫^০ একে অপরের পূরক কোণ।
∴ লুকায়িত কোণ+∠৩৫^০=∠৯০^০
বা, লুকায়িত কোণ=∠৯০^০-∠৩৫^০=৫৫^০

২য় চিত্রে,

ধরি, লুকায়িত কোণগুলো যথাক্রমে ∠ক, ∠খ, ∠গ
∠ক এবং ∠৪৫^০ একে অপরের সম্পূরক কোণ।
∴ ∠ক+∠৪৫^০=১৮০^০
বা, ∠ক=১৮০^০-∠৪৫^০
বা, ∠ক=১৩৫^০
∠খ ও ∠৪৫^০ একে অপরের বিপ্রতীপ কোণ।
∴∠খ=∠৪৫^০
∠গ ও ∠ক  একে অপরের বিপ্রতীপ কোণ।
∴∠ঘ=∠১৩৫^০

৫. নিচের কোণগুলর পরিমাপ নির্ণয় করঃ

সমাধানঃ

∠ক এক সরলকোণ থেকে ৩০^০ বড়।
∴ ∠ক=∠১৮০^০+৩০^০=২১০^০
∠খ দুই সমকোণের সমান।
∴∠খ=∠১৮০^০+∠১৮০^০=৩৬০^০

আবার,

∠গ, ৩৬০^০ থেকে ৯০^০ কম।
∴∠গ=∠৩৬০^০-∠৯০^০=২৭০^০

৬. লম্ব ও সমান্তরাল কি তা কথায় প্রকাশ করঃ

সমাধানঃ

লম্বঃ একটি রেখা অপর একটি রেখার উপর লম্ব হবে যদি এরা একে অপরকে সমকোণে ছেদ করে বা মিলিত হয়।
সমান্তরালঃ দুইটি রেখা সমান্তরাল হবে যদি তারা সবসময়ই একে অন্য থেকে সমান দুরত্বে থাকে এবং কখনোই একে অপরের সাথে না মিলে।